全等三角形证明经典题及答案

1、实用标准文档文案大全全等三角形证明经典 50题（含答案）1.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求 AD1 CD = AB2解：延长 AD至ij E,使AD=DE,. D是BC中点BD=DC在 ACD和 BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DCACDA BDE.AC=BE=2在 ABE 中AB-BE V AE V AB+BE.AB=4即 4-2V2AD <4+21<AD <3.AD=22.已知：D是AB中点，/ ACB=90 ° ,求证:延长CD与P,使D为CP中点。连接 AP,BP .DP=DC,DA=DB .ACBP为平行四边

2、形又/ ACB=90 平行四边形ACBP为矩形，AB=CP=1/2AB3 .已知：BC=DE, /B=/E, /C=/D, F 是 CD 中点，求证:B证明：连接BF和EF BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF三角形BCF全等于三角形 EDF（边角边） BF=EF, / CBF= / DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF/EBF=/BEF。 / ABC= / AED。/ ABE= / AEB。AB=AE 。在三角形 ABF和三角形 AEF中AB=AE,BF=EF,/ ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF 三角形ABF和三角形AEF全等

3、。/BAF=/EAF （ Z 1 = /2）。4 .已知：/ 1 = /2, CD=DE , EF/AB ,求证：EF=AC过C作CG / EF交AD的延长线于点 GCG/EF,可得,/ EFD=CGDDE= DCZFDE=Z GDC （对顶角）AEFDACGDEF=CGZCGD=Z EFD又，EF / ABZ EFD=Z 1Z1= Z2 ./ CGD=Z 2 AGC为等腰三角形,AC=CG又 EF= CG.EF=AC5.已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ,求证：Z B=2 Z C证明：延长 AB取点E,使AE=AC,连接DE . AD 平分/ BACZ EAD = Z CAD

4、 . AE = AC , AD =AD.'.A AEDA ACD (SAS) ,Z E=Z C .AC =AB+BD .AE = AB+BD .AE = AB+BE.BD = BE ./ BDE = Z E / ABC = Z E+Z BDE ./ ABC = 2 Z E ./ ABC = 2 Z C6.已知：AC 平分/ BAD , CEXAB , Z B+ ZD=180c ,求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF=EB,连接CF.CEXAB ./ CEB = Z CEF=90° . EB = EF, CE = CE, CEBACEF./ B=Z CFE . Z

5、B+Z D= 180 , Z CFE + Z CFA=180 .Z D=Z CFA'. AC 平分/ BAD . / DAC = Z FAC,.AC =AC .A ADC AFC (SAS).'.AD = AF .AE = AF + FE= AD + BE7.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求 AD解：延长 AD至U E,使AD=DE. D是BC中点BD=DC在 ACD和 BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DCACDA BDE，AC=BE=2在 AABE 中AB-BE V AE V AB+BE,.AB=4即 4-2 V2AD V 4+2

6、1 v AD v 3.AD=21-8,已知：D 是 AB 中点，/ ACB=90 ,求证：CD=AB 2解：延长 AD至ij E,使AD=DE. D是BC中点BD=DC在 ACD和 BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DCACDA BDE.AC=BE=2在 AABE 中AB-BE <AE< AB+BE,.AB=4即 4-2 V2AD V 4+21 v AD v 3.AD=29.已知：BC=DE, /B=/E, ZC=ZD, F 是 CD 中点，求证：/ 1 = /2证明：连接BF和EF。 BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF。三角形BCF全等于三角形 ED

7、F（边角边）。BF=EF, ZCBF=ZDEFo连接BE。在三角形 BEF中,BF=EF。/EBF=/BEF。又 /ABC=/AED。/ ABE= / AEB。AB=AE。在三角形ABF和三角形 AEF中，AB=AE,BF=EF,/ ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF。三角形ABF和三角形AEF全等。/BAF=/EAF （ Z 1 = /2）。10.已知：/ 1 = /2, CD=DE , EF/AB ,求证：EF=AC过C作CG / EF交AD的延长线于点 GCG/EF,可得,/ EFD=CGDDE= DCZFDE=Z GDC （对顶角）.EFDAC

8、GDEF=CGZCGD=Z EFD又 EF/I ABEFD=Z 1Z 1= Z 2CGD=Z 2.AGO为等腰三角形，AC=CG又 EF= OG，EF=AC11.已知：AD 平分/ BAO , AO=AB+BD ,求证：/ B=2 / C证明：延长 AB取点E,使AE=AC,连接DE. AD 平分 / BAC/ EAD = / CAD . AE = AC , AD =ADAEDA ACD (SAS)E=Z C .AC =AB+BD .AE = AB+BD .AE = AB+BE.BD = BE ./ BDE = / E . / ABC = Z E+Z BDE ./ ABC = 2 Z E ./

9、 ABC = 2 Z CAE=AD+BE12.已知：AC 平分/ BAD , CEXAB , /B+/D=180° ,求证:在AE上取F,使EF=EB,连接CF ,.CEXAB ./ CEB = Z CEF=90° . EB = EF, CE = CE, .A CEBACEF ./ B=Z CFE,. Z B+Z D= 180 , Z CFE + Z CFA=180 ./ D = Z CFA'. AC 平分/ BADZ DAC = Z FAC又 = AC = AC .A ADC AFC (SAS).AD =AF.AE = AF + FE= AD + BE12.如图，

10、四边形 ABCD中，AB / DC, BE、CE分别平分/ ABC、Z BCD ,且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC o在BC上截取BF=AB ,连接EF,. BE 平分/ ABC ./ ABE= ZFBE又BE=BE/ABEEFBE (SAS)Z A= Z BFE. AB/CDA+/ D=180o. / BFE+Z CFE=180oD=/ CFE 又. / DCE=/FCECE平分/ BCDCE=CEDCEE FCE (AAS ) .CD=CFBC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB/ED , /EAB=/BDE, AF=CD , EF=BC ,求证：/ F=Z CEDABAB |

11、 ED,得：/ EAB+ ZAED= / BDE+ / ABD=180 度, / EAB= / BDE ,/ AED= / ABD , 四边形ABDE是平行四边形。 .得：AE=BD , . AF=CD,EF=BC ,三角形AEF全等于三角形DBC,F=Z Co14.已知：AB=CD , /A=/D,求证：/ B=/C证明：设线段 AB,CD所在的直线交于 E,（当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当 AD>BC时，E点是射线 AB,DC的交点）。则： AED是等腰三角形。.AE=DE而 AB=CD"1 BE=CE （等量加等量，或等量减等量）. BEC是等腰三角

12、形 ./ B=Z C.PC-PB<AC-AB15. P是/ BAC平分线 AD上一点，AC>AB ,求证:在AC上取点E , 使 AE = AB。 .AE = ABAP = AP/ EAP = / BAE , . EAP BAP .PE = PB。PC V EC + PE .PC V ( ACAE) + PB .PC PB VAC AB。16.已知/ ABC=3/C, / 1 = /2, BEXAE ,求证:AC-AB=2BE证明：在AC上取一点D,使得角 DBC二角C / ABC=3 / C/ ABD= / ABC- / DBC=3 / C- / C=2 / C ; / ADB=

13、 / C+ / DBC=2 / C;.AB=AD .AC - AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形 ABD中，AE是角BAD的角平分线, AE 垂直 BD . BE ±AE，点E 一定在直线 BD上，在等腰三角形 ABD中，AB=AD , AE垂直BD 点E也是BD的中点 .BD=2BE BD=CD=AC-AB .AC-AB=2BE17.已知，E 是 AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7 ,求DC 作AG / BD交DE延长线于 G .AGE 全等 BDE.AG=BD=5 .AGFsCDFAF=AG=5 . DC=CF=2ADXBC.18.如图，在 ABC 中，B

14、D=DC, / 1 = /2,求证:A 解：延犷/口至BC于点E,: BD=DC BDC是等腰三角形/1><PBC= / DCBB 又/ 1=/S . DBC+ /1=/DCB+ /2即/ ABC= / ACBABC是等腰三角形AB=AC在ABD和AACD中AB=AC/ 1=/2BD=DC.ABD和AACD是全等三角形（边角边）/ BAD= / CADAE是4ABC的中垂线AE ±BCAD ±BC实用标准文档19.如图，OM 平分/ POQ, MA±OP,MB±OQ, A、B 为垂足，AB 交 OM 于点 N.证明： . OM 平分/ POQ

15、 ./ POM = Z QOM. MA ±OP, MB ±OQ / MAO = / MBO = 90. OM =OM . AOM BOM (AAS ).OA = OB .ON = ONAONA BON (SAS)/ OAB= / OBA , / ONA= / ONB . / ONA+ / ONB = 180 ./ ONA =/ ONB = 90.-.OM ±AB20 . (5分)如图，已知 AD/BC, / PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于 E, CE的连线 交 AP 于 D.求证：AD+BC=AB.BE 均为/ PAB 和/ CBA ./ EAB+ Z

16、EBA=90 ° . . / AEB=90 ° , EAB 为直角三角形在三角形 ABF中，AELBF,且AE为/ FAB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，/ EBC= / DFE,且 BE=EF , / DEF= / CEB ,三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC21 .如图， ABC中，AD是/ CAB的平分线，且 AB=AC+CD,求证：/ C=2Z BA文案大全CDB实用标准文档文案大全延长AC到E使AE=AC连接EDAB=AC+CDCD=CE可得/ B=Z E

17、CDE为等腰ZACB=2 ZB22. (6分)如图，E、F分别为线段 AC上的两个动点，且 DELAC于E, BFLAC于F, 若 AB=CD, AF=CE, BD 交 AC 于点 M.(1)求证：MB = MD, ME=MF(2)当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立 请给予证明；若不成立请说明理由.(1)连接 BE, DF.DE ±AC 于 E, BFAC 于 F, ./ DEC= / BFA=90 °, DE / BF, 在 Rt DEC 和 Rt BFA 中， AF=CE , AB=CD , RtADECRtABFA (HL), DE

18、=BF . 四边形BEDF是平行四边形.MB=MD , ME=MF ;(2)连接 BE, DF. DE LAC 于 E, BFAC 于 F, ./ DEC= / BFA=90 °, DE / BF, 在 Rt DEC 和 Rt BFA 中， AF=CE , AB=CD , RtADECRtABFA (HL), DE=BF . 四边形BEDF是平行四边形.MB=MD , ME=MF 3.已知：如图， DC/AB,且DC=AE, E为AB的中点，(1)求证： AEDA EBC.(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除 EBC外，请再写出两个与 AED的面积 相等的三角形.(直接写出结果，

19、不要求证明)：证明：. DC / AB ./ CDE = / AED . DE = DE, DC = AEAEDA EDC .E为AB中点.AE = BE.BE = DC. DC / AB ./ DCE = Z BEC .CE = CE . EBCA EDCAEDA EBC24. (7分)如图， ABC中，/ BAC=90度，AB=AC, BD是/ ABC的平分线，BD的延长 线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.证明：/ CEBh CAB=90 ABCE四点共元 / AB E=Z CB E，AE=CE .Z ECA4 EAC取线段BD的中点 G 连接 AG

20、则：AG=BG=DGGABh ABG而：/ ECA=/ GBA （同弧上的圆周角相等） / ECA4 EAC4 GBA= GAB而：AC=AB . AEC AGBEC=BG=DGBE=2CE25、如图：DF=CE AD=BC / D=Z Co 求证： AEN BFG证明： DF=CE ,DF-EF=CE-EF ,即 DE=CF ,在 AED和 BFC中， AD=BC , / D= / C , DE=CFAEDA BFC （SAS）26、（10 分）如图：AE、BC交于点 M F 点在 AMLh, BE/ CF, BE=CF求证：AM是 ABC的中线。E证明：. BE | CFE=/ CFM /

21、 EBM= FCM,.BE=CF . BE阵 CFM，BM=CM .AM是 ABC的中线.27、（10分）如图：在 ABC中，BA=BC D是AC的中点。求证： BD± AG ABDA BCD的三条边都相等 . ABDKBCDADB=/ CD/ ADB=/ CDB=90BD± AC28、（10分）AB=AC DB=DC F是AD的延长线上的一点。求证： BF=CF在 ABDA ACD中AB=ACBD=DCAD=AD .ABN ACDADB=/ ADCBDF之 FDC在 8口5与4 FDC中BD=DC/ BDF=Z FDCDF=DF . FBg FCD.BF=FC29、（12

22、 分）如图：AB=CD AE=DF CE=FB 求证：AF=DE.AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB . ABE= ACDF / DCB= / ABF AB=DC BF=CE ABF= ACDE .AF=DE30.公园里有一条“ Z"字形道路 ABCD,如图所示，其中 AB/CD,在AB , CD, BC三段路 旁各有一只小石凳 E, F, M,且BE=CF, M在BC的中点，试说明三只石凳 E, F, M恰 好在一条直线上.证明：连接EF1. AB / CD ./ B=Z CM是BC中点 .BM=CM在 BEM和4CFM中BE=CFZB= ZCBM=CMB

23、EMA CFM (SAS)，CF=BE31.已知：点 A、F、E、C 在同一条直线上， AF = CE,BE/ DF,BE=DF.求证：AABE CDF .C莪题）,.AF=CE,FE=EF.AE=CF. DF/BE,，/AEB=/CFD (两直线平行，内错角相等).BE=DF: AABEA CDF (SAS)32.已知：如图所示， AB = AD, BC = DC, E、F分别是 DC、BC的中点，求证： AE = AF。连接BD;.AB=AD BC=D/ ADB= / ABD / CDB= / ABD;两角相加， / ADC= / ABC ;BC=DC EF 是中点.DE=BF ;.AB=

24、AD DE=BFZADC= Z ABC.AE=AF。33.如图，在四边形 ABCD中，E是AC上的一点，/ 1 = 72, / 3=74,求证：证明：在ADC ABC中 AC=AC / BACh DAC / BCA之 DCA . AD隼 ABC （两角加一边） AB=AD BC=CD在 DEC! BEC 中/ BCAh DCA CE=CE BC=CD . DE隼 BEC （两边夹一角）/ DEC= BEC34.已知 AB/1 DE, BC/EF, D, C 在 AF 上，且 AD=CF,求证：AABCADEF.1 .AD=DF.AC=DF2 . AB/ DE/ A= / EDF又 BC/ EF

25、/ F= / BCA3 .ABCA DEF （ASA）35.已知：如图，AB=AC, BDJAC, CE_L_AB,垂足分别为 D、E, BD、CE相交于点F,求 证：BE=CD.证明： . BD XAC/ BDC=90 ° .CEXAB/ BEC=90 °/ BDC= / BEC=90 ° .AB=AC/ DCB= / EBCBC=BCRtABDCRtABEC (AAS).BE=CD36、如图，在 ABC 中，AD 为/ BAC 的平分线，DEAB 于 E, DFXAC T Fo求证：DE=DF .证明：.AD是/ BAC的平分线/ EAD= / FAD . D

26、EXAB , DF± AC/ BFD= / CFD=90 °AED 与/ AFD=90 °在 AED与 AFD中/ EAD= / FADAD=AD/AED= Z AFDAEDA AFD (AAS)AE=AF在 AEO与 AFO中/ EAO= / FAOAO=AOAE=AFAEOA AFO (SAS)/ AOE= / AOF=90 °.-.AD ±EF37.已知：如图，AC _LBC 于 C , DE_L AC于 E , AD _LAB 于 A , BC =AE,若 AB = 5，求 AD 的 长？. AD ±AB/ BAC= / AD

27、E又.ACLBC 于 C, DE LAC 于 E根据三角形角度之和等于 180度/ ABC= / DAE BC=AE , ABC 9 DAE (ASA ).AD=AB=538.如图：AB=AC , MEXAB , MFXAC ,垂足分别为 E、F, ME=MF。求证：MB=MC.AB=AC ./ B=Z C. ME ±AB , MF ±AC ./ BEM= / CFM=90 ° 在 BME和 CMF中 /B=/C / BEM= / CFM=90 ° ME=MFBMEA CMF (AAS) .MB=MC .39 .如图，给出五个等量关系：AD = BCAC

28、 = BDCE = DE /D=/C.DAB=. CBA.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结 论(只需写出一种情况)，并加以证明.已知： AD=BC ,/ DAB= / CBA 求证：DABCBA证明： AD=BC , / DAB= / CBA 又 AB=AB . DAB CBA40 .在 ABC 中，NACB =901 AC = BC ,直线 MN 经过点 C ,且 AD _L MN 于 D , BE_LMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：&ADC且&CEB ； DE = AD +BE ；请给出证明;(2)当直线MN绕点C旋转到

29、图 若不成立，说明理由.(1)/ADCh ACB土 BEC=90 , ./ CAD吆 ACD=90 , / BCE吆 CBE=90 , / ACD吆 BCE=90 . / CADh BCE .AC=BC . ADC CEB. AD室 CEB .CE=AD CD=BE . DE=CE+CD=AD+B E(2) / ADCh CEBh ACB=90 , / ACDh CBE又 AC=BC.AC阴 CBE.CE=AD CD=BE DE=CE- CD=AD BE41.如图所示，已知 AE± AB, AF± AC, AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF (2) EC

30、77; BF(1) AE! AB, AF± AC, / BAE土 CAF=90° , / BAE+Z BAC4 CAF吆 BAC即 / EAC4 BAF, 在 ABF和 AEC中，,. AE=AB / EAC4 BAF, AF=AC .ABH AEC (SAS, .EC=BF(2)如图，根据(1), ABf AEGAEC4 ABF, .AE± AB,/ BAE=90 , /AEC4Z ADE=90 , / ADEM BDM(对顶角相等)， / ABF+/ BDM=90 ,在BDM43, / BMD=180 - ZABF-Z BDM=180 -90 ° =

31、90 EC± BF.42.如图：BE ±AC, CFXAB , BM=AC , CN=AB。求证：(1) AM=AN ; (2) AM LAN。证明：(1). BE LAC, CFXAB / ABM+ / BAC=90 ° , / ACN+ / BAC=90/ ABM= / ACN BM=AC , CN=ABABM NAG.AM=AN. ABM NAG/ BAM= / N/ N+ Z BAN=90 ° / BAM+ / BAN=90 °即/ MAN=90 °.-.AM ±AN43.如图，已知/ A= / D,AB=DE,AF

32、=CD,BC=EF.求证：BC / EF在 ABF ACDE 中,AB=DEZA= ZDAF=CDABFACDE （边角边）.FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF四边形BCEF是平行四边形.BC | EF44.如图，已知 AC / BD, EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA , CD过点E,则AB与AC+BD 相等吗？请说明理由在AB上取点N ,使得AN=AC / CAE= / EAN AE为公共，CAEA EAN/ ANE= / ACE又 AC平行BD ./ ACE+ ZBDE=180而/ ANE+ / ENB=180 ./ ENB= ZBDE/ NBE= / EBNBE为公共边 . EBNA EBD.BD=BN，AB=AN+BN=AC+BD45、（10分） 如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE ,求证：BE / CF.证明：.AD是4ABC的中线BD=CD.DF=DE（已知）/ BDEW FDC.BD且 AFDC贝U/ EBDW FCDBE/ CF （内错