微积分下册知识点

1、微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数(一)向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设a (ax,ay,az)，b (bx,by,bz)，则 a b (ax bx ,ay by, az bz),a (ax, ay, az)；5、向量的模、方向角、投影：1) 向量的模：| 获y2z2 ；2) 两点间的距离公式：AB|xj2 (y2 yi)2 Z zj23) 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4)方向余弦:COSx一，cos r,c

2、os r2 2 2 dCOS cos cos 15)投影：Prjua a cos ，其中为向量a与u的夹角(二)数量积，向量积1、数量积：ablabcos1)a aa22)aa baxbxaybyazbz2、向量积：cab大小：|a|b sin ，方向：a ,b , c符合右手规则1)aa02)a/ bab0 i jkabaxayazbxbybz运算律：反交换律 b a a b(三) 曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, z) 0，/ 2 2绕y轴旋转一周：f (y,x z )0/ 2 2绕z轴旋转一周：f( X y , z

3、) 03、柱面：F(x,y) 0F (x, y) 0表示母线平行于z轴，准线为的柱面z 04、二次曲面(不考)2x1）椭圆锥面：亍az22x2）椭球面：a2 y b22 x 旋转椭球面：孑2y2a2z-2c3)单叶双曲面:2x2ay b22z2c4)双叶双曲面:2x2a2 y b22z2c5)椭圆抛物面:2x2a2 y b26)双曲抛物面（马鞍面）2x2a7)椭圆柱面:2x2a2yb28)双曲柱面:9)抛物柱面:2x2a2x2yb2ay（四）空间曲线及其方程1、F (x, y,z) 般方程：G(x,y,z)xx(t)xa cos t2、参数方程：yy(t)，如螺旋线：ya sin tzz(t)

4、zbt3、空间曲线在坐标面上的投影F(x,y,z)0H(x,y) 0，消去z，得到曲线在面xoy上的投影G(x, y,z)0z 0(五) 平面及其方程1、点法式方程:A(x x°) B(y y°) C(z z°)2、法向量：n(A,B,C)，过点(x°, y°, z°)般式方程:AxBy Cz Dx截距式方程：a3、两平面的夹角:ni(A1, B1, C1)， n2(A2 , B2, C2)，COSAiA2B12B1B2 C1C212 、A b24、1A A2AA2B1B2 C1C2B1 C1B2C2点 P°(X°

5、, y°, z°)到平面 AxByCz D 0的距离:Ax0 By。 Cz0 DA2 B2 C2(六) 空间直线及其方程A1xB1 yC1 z D101、一般式方程：A2x B2 y C2z D202、对称式(点向式)方程:XX。yy°ZZom np方向向量：s (m,n, p)，过点(Xo, yo, Zo)xx0mt3、参数式方程：yy。ntZZopt4、两直线的夹角:Si (g,ni,Pi)，S2 (m2,n2, P2)，cos|m1 m2门小2p1 p2'2 2 2 2 2 2、m1 n p1 m2n2p2m1m2ngp1 p2oLi L2m2niP

6、in2 P25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,sin|Am Bn Cp|. 'A2 B2 C2 . m2 n2 p2L /Am Bn Cp 0ABCLm n p第二章多元函数微分法及其应用(一) 基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域,有界集，无界集。2、多元函数：z f (x, y)，图形：3、极限：(、i叩)f(x, y)(x,y) (xo,yo)A4、连续：(、1叩)f (x, y)(x,y) (xo，y°)f (x°,y°)5、偏导数：fx(x°,y°)lim f(x

7、°X, y°) f (x°, y。)x 0fy(x°,y°)limyxf(x°,y°y) f(x°,y。)0y6、方向导数:cosl xycos其中l的方向角。7、梯度：zf (x, y)，则 gradf (x°,y°)fx(x°,y°)ify(x°,y°)j。8全微分：设z f(xy)，则dz Vdx ：dy(二) 性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:12、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分

8、法1）定义：2）复合函数求导：链式法则若 z f（u,v）,u u（x, y）,v v（x, y），则11 xzzuzvzzuz vxuxvx，yuyv y3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值求函数z f （x, y）的极值fx0解方程组fy0ya fxxgy。)，B若ACB20若ACB20若ACB20，若ACB20，1）无条件极值:A 0，函数有极小值，A 0，函数有极大值;函数没有极值;2）条件极值:不定。求出所有驻点，对于每一个驻点（x°,y°），令fxy(Xo,y°)，Cfyy(xo,yo)，求函数z f （x,y）在条件（x,

9、y） 0下的极值令: L(x,y)f(x,y)(x,y)Lagrange 函数Lx解方程组Ly(x, y) 02、几何应用 1)曲线的切线与法平面x(t)曲线：yy(t)，则上一点z(t)M(Xo,y°,z°)(对应参数为to)处的切线方程为:X Xo y yo x(to) y(to)zzoz(to)法平面方程为：X (to)( XXo)y (to)(y y。) z(t°)(z z°) o2)曲面的切平面与法线 曲面：F (x, y,z) o ,贝S上一点M(x°,yo,zo)处的切平面方程为:Fx(Xo, yo,zo)(xXo) Fy(Xo,

10、y°,zo)(y y。) Fz(x。，y°,zo)(z zo) o法线方程为:xXoyyozZ°Fx(Xo，y°，z)Fy(Xo，yo，z。)Fz(Xo，yo，z。)第三章重积分(一) 二重积分(一般换元法不考)1、定义：f(x,y)d li叫Dnf( k, k)k 12、性质：(6条)3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算:1)直角坐标(x,y)1(X) y 2(x)2)f (x, y)dxdy(x,y)i(y)cf (x, y)dxdy极坐标1(bdx2(X)f (x,y)d yl(x)2(y)d ，2(y)cdy I(y) f(xy)dx2()f

11、(x, y)dxdyD2()1()f ( cos , sin ) d1、定义：f (x,y,z)dvlim f(k, k, k)0 k 12、性质：3、计算：1)直角坐标z2(x, y)f (x, y,z)dvDdxdy()f (x,y,z)dzZ1 (x,y)bf(x,y,z)dv adz Dad zf (x, y,z)dxdy-nVk) 三重积分2) 柱面坐标“先二后一 ”ysinf (x, y, z)d vf(cos , sin ,z) d d dzzz3)球面坐标xr sincosyr sinsinzr cosf (x, y, z)d vf (r sin cos,r si n2sin

12、, r cos )r sin drd dxcos（三）应用曲面 S: z f(x, y),(x, y) D 的面积:屮（-x）2（Z）2 dxdy第五章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：L f(x, y)ds ii叫nf( i, i) si 12、性质：1）L f (x,y) (x,y)dsL f (x, y)dsLg(x, y)ds.2）,f(x,y)ds l f(x,y)dsLL1L2 f(x, y)ds.(LL1L2).3)在 L上，若 f (x, y) g(x, y)，则 L f (x,y)ds Lg(x, y)ds.4) Lds 1 ( l为曲线弧L的长度)3、计算:

13、x(t),设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为(ty(t),其中(t), (t)在,上具有一阶连续导数，且2(t)2(t) o，则Lf(x,y)ds f (t),(t)J 2(t)2(t)dt ,()(二) 对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数P(x, y)，Q(x, y)n在 L 上有界，定义 L P(x,y)dx 1im0P( k , k) Xk，k 1nQ(x, y)dy 1imoQ( k, k) *向量形式：lF dr LP(x, y)dx Q(x, y)dy2、性质:*9-用L表示L的反向弧，贝S L F(x, y) dr l F

14、 (x, y) dr3、计算:设P(x, y), Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为x(t),从(t:)，其中(t),(t)在,上具有一阶连续导数，且y(t),2(t)2(t)0，则LP(x,y)dxQ(x, y)d yP (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt4、两类曲线积分之间的关系:(t)设平面有向曲线弧为L：yL上点(x, y)处的切向量的方向角为:cos(t)2(t)2(t)cos(t)/ 2(t)2(t)，则 l Pdx Qdy jPcosQcos )ds.(三) 格林公式1、格林公式：设区域 D是由分段光滑正向曲线L围成，函数P(x,y)

15、,Q(x,y)在Q PD上具有连续一阶偏导数，则有 二 y dxdy ° Pdx Qdy d x yl2、G为一个单连通区域，函数QxP(x, y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则f曲线积分PdxyLQdy在g内与路径无关曲线积分？PdxQdy 0P(x,y)dx Q(x,y)dy在G内为某一个函数u(x, y)的全微分(四)对面积的曲面积分1、定义:设 为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在 上的一个有界函数, n定义 f (x,y,z)dS lim f ( i , i , i) Si0 i 12、计算：“ 一投二换三代入”:z z(x,y)，(x, y) Dxy，则2

16、 2f (x,y,z)dS D fx,y,z(x,y) 1 zx (x, y) Zy (x,y)dxdyDx y(五) 对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设 为有向光滑曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在 上的有界函数,n定义 R(x,y,z)dxdy lim。R( i , i, J( SJxy0 i 1n同理， P(x, y, z)d ydz lim。P( i, i, J( SJyzQ(x, y, z)d zdxnlim R(0i 1i 1i i i)(S.)i ， i ， ii zx3、性质：1)12，则Pdydz

17、QdzdxRdxdyPdydz Qdzdx1RdxdyPdydz Qdzdx Rdxdy22)表示与 取相反侧的有向曲面，贝SRdxdyRdxdy4、计算：一一“ 一投二代三定号”:z z(x,y), (x, y) Dxy, z z(x, y)在 Dxy 上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在上连续，则 R(x, y, z)dxdy D Rx, y,z(x,y)dxdy,为上侧取“ + ”，Dxy为下侧取“-”.5、两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy Pcos Qcos Rcos dS其中，为有向曲面在点(x,y,z)处的法向量的方向角(六) 高斯公式1、高斯公式：设

18、空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成， 的方向取外侧函数P,Q, R在上有连续的一阶偏导数，则有P Qx ydxd yd z- Pdydz Qdzdx RdxdyP Qx ydxd yd zPcosQcosRcos d S(七) 斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是分段光滑曲线， 的侧与 的正向符合右手法则，P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有R QPRQPd ydzdzd xdxdy二 Pdx Qd y Rdzy zzxx y为便于记忆，斯托克斯公式还可写作：d ydz dzdx dxd y0 Pdx Qd y

19、 Rdzx y zP Q R第六章常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程 ；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.)任意常数如果微分方程的解中含任意常数，且独立的(即不可合并而使个数减少的 的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程：g(y)dy f(x)dx或dy h(x)g(y)dx对于第1种形式，运用积分方法即可

20、求得变量可分离方程的通解：g(y)dy f (x)dx2、齐次微分方程：y (上)或者x(-)xy在齐次方程y(')中，令u -,可将其化为可分离方程y靳dux令 u 丄，贝 U y xu, x u,xdxdx代入微分方程即可。(1) 形如 y f(ax by c)的方程.令u ax by c,则u a by ,原方程可化为 ua f (u). bb形如yf(aix blY °)的方程.a2x b2y c2可通过坐标平移去掉常数项。3、一阶线性微分方程型如y p(x)y q(x)称为一阶线性微分方程。p (x) d x 其对应的齐次线性微分方程的解为y Ce 。利用常数变异法

21、可得到非齐次的线性微分方程的通解p (x)dxp(x)d xy e ( q(x)e d x C )。4、 伯努利方程：y p(x)y q (x) yn(n 0,1)将方程两端同除以yn,得y ny p(x)y1 n q(x) (n 0,1)令u y1n，则乎(1 n)y字,y呼+乎，于是U的通解为d：dx dx 1 n dx(1 n)p(x)dxe ( (1(1 n) p(x)dxn)q(x)e5、全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程(1) y(n)f(x)型的微分方程(2) (n)f(x,y(n1)型的微分方程(3) 型的微分方程&线性微分方程解的结构(1)函数组的线性无关和线性相关(2) 线性微分