集合及集合的表示B

1、集合及集合的表示B一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：1. 了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系2. 能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用3. 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等学习策略：数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论二、学习与应用“凡事预则立，不预则废” 科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里

2、想、手上记知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？1.数轴上表示两个数，边的数总比边的数大 .2. 一元二次方程根的判别式为：当0 时，一元二次方程有实根；当0 时，一元二次方程有实根；当0 时，一元二次方程有实根 .要点梳理预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习课堂笔记或者其它补充填在右栏预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID ： #2232#388560集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上. 另一方面，集合论及其所反映的数学思想，

3、在越来越广泛的领域中得到应用.要点一：集合的有关概念1集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2一般地，研究对象统称为，一些组成的叫集合 (set)，也简称.要点诠释：（ 1）对于集合一定要从整体的角度来看待它例如由“我们班的同学”组成的一个集合 A，则它是一个整体，也就是一个班集体（ 2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级

4、各班”组成的集合B 的元素3关于集合的元素的特征(1)性：设 A 是一个给定的集合， x 是某一个具体对象，则x 或者是 A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)性：集合中的元素的次序无先后之分. 如：由 1， 2，3 组成的集合，也可以写成由1， 3，2 组成一个集合，它们都表示同一个集合.要点诠释：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集

5、合的依据解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口” ；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性” 4元素与集合的关系：(1) 如果 a 是集合 A 的元素，就说aA，记作 a(2) 如果 a 不是集合 A 的元素，就说aA，记作 a5集合的分类(1)空集：元素的集合称为空集 (empty set)，记作：.(2)有限集：元素的集合叫做有限集 .(3)无限集：元素的集合叫做无限集 .6常用数集及其表示非负整数集 ( 或自然数集 ) ，记作正整数集，记作* 或+整数集，记作有理数集，记作实数集，

6、记作要点二：集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用法和法来表示集合 .1.法：用文字叙述的形式描述集合的方法. 如：大于等于2 且小于等于8 的偶数构成的集合.2.法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内. 如： 1 ，2，3，4， 5 ，x 2， 3x+2，5y3 -x ，x2+y2 ，；3.法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值( 或变化 ) 范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.要点诠释：（1）用描述表示集合时应注意：弄清元素所具有的形式

7、（即代表元素是什么） ，是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑（ 2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围4.法：图示法主要包括Venn 图、数轴上的区间等. 为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法 .如下图，就表示集合1,2,3,4 .1，2，3，4典型例题自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升

8、各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三 课堂笔记或者其它补充填在右栏更多精彩内容请学习网校资源ID ：#2244#388560类型一：集合的概念及元素的性质例 1 集合 A 由形如 m3n(m Z ,n Z ) 的数构成的，判断1是不是23集合 A 中的元素？【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式 1】设 S=x|x=m+2n,m,nZ(1)若 aZ，则是否有aS？(2)对 S 中任意两个元素x1，x2 ，则 x 1+x2， x1·x2，是否属于集合S？【解析】类型二：元素与集合的关系例 2.（2015 北京西城区学探诊）给出下列六个关系：（1）0 ? N *（2）0? 1，

9、1（3） ? 0（ 4） ? ü 0（ 5） 0 ? 0 ， 1（6）0 í0其中正确的关系是【答案】【思路点拨】 首先要熟悉集合的常用符号，空集，记作 ? ，N 表示自然数集，N + 或 N *表示正整数集，Z 表示正整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集；然后要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为 a ? A ，或者 a ? A ，二者必居其一解答这类问题的关键是：弄清a 的结构，弄清 A 的特征，然后才能下结论【解析】【总结升华】举一反三：【变式 1】 用符号 “ ”或 “ ”填空1A ；-2A

10、.（ 1）若 A=Z ,则2（ 2）若 Bx | 2 x2x 1 0 , 则1B .B ；-22【答案】类型三：集合中元素性质的应用例 3.设 S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*（”即对任意的 a,bS ，对于有序元素对（a,b） ,在 S 中唯一确定的元素a * b 与之对应），若对任意的 a,bS ，有 a *( b* a)b ，则对任意的 a,bS ，下列等式中不恒成立的是（）A.(a * b)* aaB. a *( b * a)*( a * b)aC.b *( b * b)bD.(a * b)* b *( a * b)b【答案】【解析】【总结升华】例 4. M

11、=aZ,| 6N ，则 M=( )5-aA. 2 ，3B. 1 ， 2， 3，4C. 1 ，2， 3， 6D. -1 ，2，3，4【答案】【解析】举一反三：【变式1】（2015北京西城区期末）设M=1，2，N=1，2，3 ，P = c c = a + b ,a 挝M,bN ，则集合 P 中元素的个数为【答案】【解析】例 5. 设集合 A =x R | ax2A 为单元素集时，求实数a 的值 .2 x 1 0 ，当集合【答案】【解析】例 6.（2016 秋 南安市月考）已知集合A xR ax23x40 ，（ 1）若 A 中有两个元素，求实数 a 的取值范围；（ 2）若 A 中至多有一个元素，求实

12、数a 的取值范围【思路点拨】（ 1）由 A 中有两个元素，知关于x 的方程 ax23x40有两个不等的实数根，由此能求出实数 a 的取值范围（ 2）当 a=0时，方程为 3x 4=0，所以集合A 4x 的方程 ；当 a0时，若关于3ax23x 4 0有两个相等的实数根， 则 A 也只有一个元素， 此时 a9a9 ；若关1616于 x 的方程 ax23x 4 0 没有实数根，则A 没有元素，此时a9由此能求出实数 a16的取值范围【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】（ 2015 秋 无为县期中）已知集合A =a- 2 ,12 ,2a2 + 5a ，且 3A ，求 a 的值【答案】【解

13、析】例 7（2016 春 徐州期中）设A 是由一些实数构成的集合，若a A，则1? A ，且1- a1 ? A（ 1）若 3A ，求 A；（ 2）证明：若 a A，则 1 ? A ；1- a（ 3）A 能否只有一个元素，若能，求出集合A，若不能，说明理由【思路点拨】（ 1）根据集合A 的定义，找出A 的所有元素即可；（ 2）由集合 A 的定义证明即可；（ 3）假设 A 只有一个元素，然后转化为一元二次方程解的问题【答案】【解析】【总结升华】类型四：集合的表示方法例 8试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程 x23 0 的所有实数根组成的集合；(2)由大于 15 小于 25 的所有整数组

14、成的集合 .【答案】【解析】【总结升华】（ 1）法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用 “， ”隔开 .（ 2）列举法适合表示集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.（ 3）用法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质 .举一反三：【变式 1】用列举法表示集合：(1)A=xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x 3 -8)=0(2)B=(x， y)|x+y=3 ，xN，yN(3)C=y|x+y=3，xN，yN(4)Dyx(x, y )xy(5)My xxxy(6)P=x|x(x-a)=0 ， aR【答案】【解析】【总

15、结升华】 此例题（ 2）与（ 3），（ 4）与（ 5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的性，遇到代数式时，能否意识到字母a R，需要.【变式 2】用适当的方法表示下列集合：（1）比 5大 3的数；（ 2）方程 x2y24x6y 13 0 的解集；（ 3）二次函数 yx210 的图象上的所有点组成的集合。【答案】【解析】【总结升华】用法与法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。三、测评与总结要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力成果测评

16、现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统 和模拟考试系统 进行相关知识点的测试知识点：集合及集合的表示测评系统 分数：模拟考试系统 分数：如果你的分数在85 分以下，请进入网校资源ID ：#2229#388553进行巩固练习 ，如果你的分数在85 分以上，请进入网校资源ID ：#2293#388560进行能力提升 自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流我的收获习题整理题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题好题错题注： 本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录网 校重 要 资源知识导学：集合及集合的表示（提高）（#388560）高