导数(逐题详解)

1、一、选择题 （2012年高考（重庆文）设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是 （2012年高考（浙江文）设a>0,b>0,e是自然对数的底数（）A若ea+2a=eb+3b,则a>bB若ea+2a=eb+3b,则a<bC若ea-2a=eb-3b,则a>bD若ea-2a=eb-3b,则a<b （2012年高考（陕西文）设函数f(x)=+lnx 则（）Ax=为f(x)的极大值点B x=为f(x)的极小值点Cx=2为 f(x)的极大值点Dx=2为 f(x)的极小值点 （2012年高考（山东文）设函数,.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公

2、共点,则下列判断正确的是（）ABCD （2012年高考（辽宁文）函数y=x2x的单调递减区间为（）A(1,1B(0,1C1,+)D(0,+) （2012年高考（湖北文）如图,在圆心角为直角的扇形中,分别以为直径作两个半圆. 在扇形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）ABCD （2012年高考（福建文）已知,且.现给出如下结论:;.其中正确结论的序号是（）ABCD二、填空题 （2012年高考（上海文）已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,1),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为_ . （2012年高考（课标文）曲线在点(1,1)处的切线方程为_三、解答题（2

3、012年高考（重庆文）已知函数在处取得极值为(1)求a、b的值;(2)若有极大值28,求在上的最大值.（2012年高考（浙江文）已知aR,函数(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0x1时,f(x)+ >0.（2012年高考（天津文）已知函数(I)求函数的单调区间; (II)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(III)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值.（2012年高考（陕西文）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设n为偶数,求b+3c的最小值和最大值;(3)设,若对任意,有,求的取值范围;（2012年高考（山东文）已知函数为常

4、数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线在点处的切线与x轴平行.()求k的值;()求的单调区间;()设,其中为的导函数.证明:对任意.（2012年高考（辽宁文）设,证明:()当x1时, ( )()当时,（2012年高考（课标文）设函数f(x)= ex-ax-2()求f(x)的单调区间()若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f´(x)+x+1>0,求k的最大值（2012年高考（江西文）已知函数在上单调递减且满足.(1)求的取值范围;(2)设,求在上的最大值和最小值.（2012年高考（湖南文）已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.、中国教育出版&am

5、p;网(1)若对一切xR,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1),B(x2, f(x2)(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0(x1,x2),使恒成立.（2012年高考（湖北文）设函数,为正整数,为常数,曲线在处的切线方程为.(1)求的值; (2)求函数的最大值; (3)证明:.（2012年高考（广东文）(不等式、导数)设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点.（2012年高考（福建文）已知函数且在上的最大值为,(1)求函数的解析式;(2)判断函数在内的零点个数,并加以证明.（2012年高考（大纲文

6、）已知函数.()讨论的单调性;()设有两个极值点,若过两点,的直线与轴的交点在曲线上,求的值.（2012年高考（北京文）已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.（2012年高考（安徽文）设定义在(0,+)上的函数()求的最小值;(II)若曲线在点处的切线方程为,求的值.2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案一、选择题【答案】:C【解析】:由函数在处取得极小值可知,则;,则时,时【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题.【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调

7、性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若,必有.构造函数:,则恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除.解析:,令得,时,为减函数;时,为增函数,所以为的极小值点,选D.解析:设,则方程与同解,故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样,必须且只须或,因为,故必有由此得.不妨设,则.所以,比较系数得,故.,由此知,故答案应选B.另解:令可得.设不妨设,结合图形可知,即,此时,即.答案应选B.【答案】B 【解析】故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如

8、图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4,则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=,而S1+S3 与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆,即S1+S3 +S2+S3.-得S3=S4,由图可知S3=,所以. .由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率P=.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.【答案】C【解析】,又,所以在和上单调增加,在上单调递减,故,【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力

9、、必然与或然的思想.二、填空题xyABC11图1(O)NxyODM1P图2解析 如图1,所以,易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题. 【解析】,切线斜率为4,则切线方程为:.三、解答题【答案】:()()【解析】:()因 故 由于 在点 处取得极值故有即 ,化简得解得()由()知,令 ,得当时,故在上为增函数;当 时, 故在 上为减函数当 时 ,故在 上为增函数.由此可知 在 处取得极大值, 在 处取得

10、极小值由题设条件知 得此时,因此 上的最小值为【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数进行求导,根据=0,求出a,b的值.(1)根据函数=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间

11、,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】(1)由题意得,当时,恒成立,此时的单调递增区间为.当时,此时函数的单调递增区间为.(2)由于,当时,.当时,.设,则.则有01-0+1减极小值增1所以.当时,.故.解:(1),由,得解:(I),由已知,.(II)由(I)知,.设,则,即在上是减函数,由知,当时,从而,当时,从而.综上可知,的单调递增区间是,单调递减区间是.(III)证明:由(II)可知,当时,0<1+,故只需证明在时成立.当时,>1,且,.设,则,当时,当时,所以当时,取得最大值.所以.综上,对任意,.另证:因为,设,则,令,当时,单调递增;当时,时,而

12、当时,所以当时,综上可知结论成立.【答案与解析】【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. () 解:的定义域为,;若,则恒成立,所以在总是增函数若,令,求得,所以的单增区间是;令, 求得 ,所以的单减区间是() 把 代入得:,因为,所以,所以:,所以:令,则,由()知:在单调递增,而 ,所以在上存在唯一零点,且;故在上也存在唯一零点且为,当时, ,当时,所以在上,;由得:,所以,所以,由于(*)式等价于,所以整数的最大值为2 【解析】(1)由,则,依题意须对于任意,有,当时,因为

13、二次函数的图像开口向上,而,所以须,即,当时,对任意,有,符合条件;当时,对任意,符合要求,当时,因,不符合条件,故的取值范围为.(2)因当时,在上取得最小值,在上取得最大值;当时,对于任意,有,在上取得最大值,在上取得最小值;当时,由,【解析】解:令.当时单调递减;当时单调递增,故当时,取最小值于是对一切恒成立,当且仅当. 令则当时,单调递增;当时,单调递减.故当时,取最大值.因此,当且仅当时,式成立.综上所述,的取值集合为.()由题意知,令则令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当,即从而,又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使即成立.取最小值对一切xR,f(x)

14、 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.【解析】(1)因为,由点在上,可得因为,所以又因为切线的斜率为,所以,所以(2)由(1)可知,令,即在上有唯一的零点.在上,故单调递增;而在上,单调递减,故在的最大值为.(3)令,则在上,故单调递减,而在上,单调递增,故在上的最小值为,所以即,令,得,即所以,即由(2)知,故所证不等式成立.【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思

15、想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.解析:()考虑不等式的解.因为,且,所以可分以下三种情况:当时,此时,.当时,此时,.当时,此时有两根,设为、,且,则,于是.当时,所以,此时;当时,所以,此时.综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,.(),令可得.因为,所以有两根和,且.当时,此时在内有两根和,列表可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1,极小值点.当时,此时在内只有一根,列表

16、可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点.当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点.当时,此时,于是在内恒大于0,在内没有极值点.综上所述,当时,在内有极大值点1,极小值点;当时,在内只有极小值点时,在内没有极值点.【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想.解:当时,不合题意;当时,单调递减,不合题意;当时,单调递增,所以综上(2)在上有两个零点.证明如下:由(1)知,在上至少有一个零

17、点,又由(1)知在上单调递增,故在上只有一个零点,当时,令,在上连续,在上递减,当时,递增,当时,在上递增,在上只有一个零点,综上在上有两个零点.【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.解:(1)依题意可得当即时,恒成立,故,所以函数在上单调递增;当即时,有两个相异实根且故由或,此时单调递增由,此时此时单调递增递减综上可知当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在单调递增,在单调递减.(2)由题设知,为方程的两个根,故有因此同理因此直线的方程为设与轴的交点为,得而由题设知,点在曲线的上,故,解得或或所以所求的值为或或.【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题