第二章 随机变123节

1、第二章第二章 随机变量随机变量第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布第四节随机变量函数的分布第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数.),(,)(, 随随机机变变量量称称之之为为上上的的单单值值函函数数得得到到一一个个定定义义在在这这样样就就与与之之对对应应有有一一个个实实数数中中每每一一个个元元素素如如果果对对空空间间为为是是随随机机试试验验，它它的的样样本本设设eXXeXeE 定义定义2.1:)(xXPxF 称为随机变量称为

2、随机变量X的分布的分布函数。函数。定义定义2.2:设设X是一随机变量，是一随机变量，x为任意实数，函数为任意实数，函数上一页上一页下一页下一页返回返回用随机变量表示事件用随机变量表示事件n若若X X是随机试验是随机试验E E的一个随机变量，的一个随机变量，S SRR，那那么么 XS S可表示可表示E E中的事件中的事件 如在掷骰子试验中，用如在掷骰子试验中，用X X表示出现的点数表示出现的点数, ,则则 “ “出现偶数点出现偶数点”可表示为：可表示为： X=2X=2 X=4X=4 X=6X=6 “出现的点数小于出现的点数小于”可表示为：可表示为： X 4X 4 或或XX 3 3 n E中的事件

3、通常都可以用中的事件通常都可以用X的不同取值来表示的不同取值来表示.某个灯泡的使用寿命某个灯泡的使用寿命X X。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.Y.在在00，11区间上随机取点，该点的坐标区间上随机取点，该点的坐标X.X.X X 的可能取值为的可能取值为 0,+0,+ ) )Y Y 的可能取值为的可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，.,.,X X 的可能取值为的可能取值为 00，11上的全体实数。上的全体实数。随机变量的实例随机变量的实例随机变量的类型随机变量的类型n 离散型离散型n 非离散型非离散型随机变量的所有取值是有限个或可列个随机变量的

4、所有取值是有限个或可列个随即变量的取值有无穷多个，且不可列随即变量的取值有无穷多个，且不可列其中连续型随机变量是一种重要类型其中连续型随机变量是一种重要类型 ，有有实实数数是是右右连连续续的的。即即对对任任意意且且是是一一个个单单调调不不减减函函数数；xxFxFxFxFxFxx)3(; 1lim, 0lim, 10)2()1( xFxF 0证明：证明：:,)1(2121得得则则如如xXxXxx 21xXPxXP :分分布布函函数数的的性性质质 21xFxF 上一页上一页下一页下一页返回返回(2) 可直观理解补（4） 随机变量在某一点的概率 P29例：2.1.3 P29练习练习，1.口袋里装有口

5、袋里装有3个白球个白球2个红球，从中任取三个球，个红球，从中任取三个球，求取出的三个球中的白球数的分布函数求取出的三个球中的白球数的分布函数 2: 考虑如下试验：在区间考虑如下试验：在区间0，1上任取一点，记录它的上任取一点，记录它的坐标坐标X。那么。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到取到0，1上任一点的可能性相同。求上任一点的可能性相同。求X的分布函数。的分布函数。例例1： 口袋里装有口袋里装有3个白球个白球2个红球，从中任取三个球，个红球，从中任取三个球，求取出的三个球中的白球数的分布函数求取出的三个球中的白球数的分布函数解：解： 设设X表示取

6、出的表示取出的3个球中的白球数。个球中的白球数。X的可能的可能取值为取值为1，2，3。而且由古典概率可算得。而且由古典概率可算得3 . 0/1351322 CCCXP6 . 0/2352312 CCCXP1 . 0/33533 CCXP 0 xXPxF 3 . 01 XPxXPxF是是不不可可能能事事件件，因因而而时时当当1xXx ，因因而而时时，当当121 XxXx上一页上一页下一页下一页返回返回 9 . 021 XPXPxXPxF因因而而且且时时当当,21,21 ,32 XXXXxXx为为一一必必然然事事件件，因因而而时时，当当3xXx 1 xF于是，于是，X的分布函数为：的分布函数为：

7、31329 . 0213 . 010 xxxxxF上一页上一页下一页下一页返回返回 例例2: 考虑如下试验：在区间考虑如下试验：在区间0，1上任取一点，记录它上任取一点，记录它的坐标的坐标X。那么。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到取到0，1上任一点的可能性相同。求上任一点的可能性相同。求X的分布函数。的分布函数。 当当x0时时 0 xF时时当当10 x xxXPxXPxF 0时时当当1 x 110 XPxXPxF解解 ： 由几何概率的计算不难求出由几何概率的计算不难求出X的分布函数的分布函数 1 110 0 0 xxxxxF所以：所以：上一页上一

8、页下一页下一页返回返回.21概概率率还还能能算算出出其其它它各各事事件件的的的的概概率率，计计算算事事件件利利用用分分布布函函数数，不不仅仅能能xXx 0 0 0 1 :1221 xFxXPxFxFxXxPxFxFxXPxFxXP例例如如上一页上一页下一页下一页返回返回计算概率的公式计算概率的公式 第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布分布律常用表格分布律常用表格形式表示如下：形式表示如下：X x1x2xkpkp1p2pk 如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量离

9、散型随机变量。,.2 , 1 kpxXPkk 设离散型随机变量设离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为xk (k=1,2,),事事件件 发生的概率为发生的概率为pk ,即即称为称为随机变量随机变量X的概率或分布律的概率或分布律。kxX 上一页上一页下一页下一页返回返回内的概率为内的概率为区间区间落入落入离散型随机变量离散型随机变量为实轴上一区间，那么为实轴上一区间，那么设设IXI IxiipIXP的的分分布布函函数数的的计计算算公公式式量量由由此此可可得得离离散散型型随随机机变变X xxiipxXPxF 。跳跳跃跃的的高高度度为为处处的的在在的的第第一一类类间间断断点点，而而且且是是，值值的

10、的可可能能，的的分分布布函函数数是是阶阶梯梯函函数数离离散散型型随随机机变变量量iipxxFxFxxXX21分布律的两条分布律的两条基本性质基本性质： 11)2(kkp0)1( kp, 2 , 1 k上一页上一页下一页下一页返回返回的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量例例X:3（）确定常数（）确定常数a的值的值;（）求（）求的分布函数的分布函数因此因此61 aa 31211解：（）由分布律的性质知解：（）由分布律的性质知机机变变量量的的分分布布情情况况。随随布布函函数数都都能能描描述述离离散散型型分分布布律律。用用分分布布律律和和分分的的的的分分布布函函数数，也也能能确确定定已已知知离离散

11、散型型随随机机变变量量XX p31a21上一页上一页下一页下一页返回返回（2 2）由分布函数计算公式易得的分布函数为：）由分布函数计算公式易得的分布函数为： 1 1 21 65 10 21 0 0 xxxxxF上一页上一页下一页下一页返回返回1.两点分布（也称两点分布（也称0-1分布）分布） 若在一次试验中若在一次试验中X只可能取只可能取x1 或或x2 两值两值(x1x2),它的概率分布是它的概率分布是则称则称X服从两点分布。服从两点分布。 ,1),(0 121pxXPppxXP 当规定当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（时两点分布称为（01）分布。）分布。简记为简记为X(0-1)分布。分

12、布。X 0 1pk 1-p p上一页上一页下一页下一页返回返回 , 1 , 0)1(nkppCkXPknkkn 若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为2.二项分布二项分布其中其中0p0是一常数，是一常数，n是任意整数，是任意整数，设设npn=，则对任意一固定的非负整数，则对任意一固定的非负整数k，有，有 ekppCkknnknknn!1limknknnkknnn 1!)1()1(时时，当当对对于于固固定定的的 nk证明证明knknnnknnk 111121111!11111121n111 knnennkn 有有由由npn knnknknppC 1上一页上一页下一页下一页返回返回

13、定理的条件定理的条件npn=，意味着，意味着n很大很大时候时候pn必定很小必定很小。因此当因此当n很大，很大，p很小时有近似公式很小时有近似公式 ekppCkknkkn!1其中其中=np。 ekk!在实际计算中，当在实际计算中，当 时用时用 （=np）作为作为 的近似值效果很好。的近似值效果很好。而当而当 时效果更佳。时效果更佳。 05. 020n p， knnknknppC 110np100n ， ekk!的值有表的值有表2-5可查。可查。 ekppCkknnknknn!1lim从而从而上一页上一页下一页下一页返回返回例例5： 有同类设备有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已台，各台工

14、作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？ 130001. 0!3!1111NkkNkkNkknkknkekeppCNXPNXP 查表可知，满足上式最小的查表可知，满足上式最小的N是是8。至少需配备至少需配备8个工人才能满足要求。个工人才能满足要求。 解：解： 设设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意

15、知X(300,0.01)，若配备，若配备N位维修人员，所需解决的问题是位维修人员，所需解决的问题是确定最小的确定最小的N，使得：，使得：PXN0为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布，记的泊松分布，记为为X ( )。上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回泊松分布的特点：泊松分布的特点：1、平稳性、平稳性2、无后效性、无后效性3、普通性、普通性 P34 例例2.2.5服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y;矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发

16、生事故的次数; ;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 实际问题中若干实际问题中若干R.v.XR.v.X是服从或近似服从是服从或近似服从 PoissonPoisson分布的分布的实际应用中实际应用中当当n n较大较大,p,p较小，较小，npnp适中时，即适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式可用泊松公式近似替换二项概率公式ekppCkknkkn!)1 (二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似

17、The Poisson Approximation to the Binomial Distributionnp若某人做某事的成功率为若某人做某事的成功率为1%，他重复努力，他重复努力400次，次，则至少成功一次的概率为则至少成功一次的概率为400110 =1 0.990.9820P XP X 成功次数服从二项概率成功次数服从二项概率 (400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 例例设一个袋中装有设一个袋中装有3 3个红球和个红球和7 7个白球，现在从中个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，随机抽取一球，如果每个球抽取的

18、机会相等，并且用数并且用数“1”1”代表取得红球，代表取得红球，“0”0”代表取得代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量随机变量10X（取得红球）（取得白球）其概率分布为其概率分布为3(1)10P X 7(0)10P X 即即X X服从两点分布。服从两点分布。 练习：练习： 从一批由从一批由9 9件正品、件正品、3 3件次品组成的产品中件次品组成的产品中, ,有放回地抽取有放回地抽取5 5次次, ,每次抽一件每次抽一件, ,求恰好抽到两次次品的求恰好抽到两次次品的概率概率. . 从一批由从一批由9 9件正品、件正品、3 3件次品组成的产

19、品中件次品组成的产品中, ,有放回有放回地抽取地抽取5 5次次, ,每次抽一件每次抽一件, ,求恰好抽到两次次品的概率求恰好抽到两次次品的概率. . 有放回地抽取有放回地抽取5 5件件, ,可视为可视为5 5重重BernoulliBernoulli实验实验记记X X为共抽到的次品数，则为共抽到的次品数，则)41,5( BX25 225112144P XC A=“A=“一次实验中抽到次品一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,P(A)=3/12,n=5 pn=5 p=1/4=1/4练习练习解：解： 练习 一大批种子一大批种子发芽率为发芽率为90%，今从中任取，今从中任取10粒粒.求播种后求播种

20、后, 求求（1 1）恰有）恰有8 8粒发芽的概率；（粒发芽的概率；（2 2）不小于不小于8 8粒发芽的概率。粒发芽的概率。例例 一大批种子一大批种子发芽率为发芽率为90%，今从中任取，今从中任取10粒粒.求播种后求播种后, 求求（1 1）恰有）恰有8 8粒发芽的概率；（粒发芽的概率；（2 2）不小于不小于8 8粒发芽的概率。粒发芽的概率。解解XB（10, 0.9）(1) P(X=8)=1937. 01 . 09 . 028810 C2( ) P(x8)= 8829910101010100.90.10.90.10.90.9298CCCP(X=8)+P(X=9)+P(X=10) 已知某电话交换台每

21、分钟接到的呼唤次数已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X X服从服从4 的泊松分布，分别的泊松分布，分别 求（求（1 1）每分钟内恰好接到）每分钟内恰好接到3 3次呼唤的概率；（次呼唤的概率；（2 2）每分钟不超过）每分钟不超过4 4次的概率次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)P XP XP XP XP XP X4,3k()!kP Xkek344(3)3!P Xe例例解解0.195630.628838第三节第三节 连续随机变量及其分布连续随机变量及其分布0)()1( xf 1)()2(dxxf 21)()3(21xxdxxfxXxP（4）若）若x为为f(x)的连续点，则有的连续点，则有

22、 xfxF 概率密度概率密度f(x)具有以下具有以下性质性质：定义定义2.3: 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x)，若存在非，若存在非负函数负函数f(t),使得对于任意实数使得对于任意实数x，有，有 xdttfxF)(则称则称X为连续型随机变量，称为连续型随机变量，称f(t)为为X的概率密度函数，的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。简称概率密度或分布密度。上一页上一页下一页下一页返回返回由性质（由性质（2）知：）知：介于曲线介于曲线y=f(x)与与Ox轴之间的面积等于轴之间的面积等于1（见图（见图1）。）。由性质（由性质（3）知：）知： X落在区间（落在区间（x1,x2

23、）的概率等于区间（）的概率等于区间（x1,x2）上曲线）上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积（见图之下的曲边梯形的面积（见图2）。）。由性质（由性质（4）知：）知：若已知连续型随机变量若已知连续型随机变量X的分布函数的分布函数F(x)求导得概率密求导得概率密度度f(x)。)(xfxO1图图)(xfxO1x2x图图上一页上一页下一页下一页返回返回(1)若若X为具有概率密度为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。的连续型随机变量。则有则有 xxxdxxfxxxxXxP00)(100如果如果x0为为f(x)的连续点，有的连续点，有 )(lim0000 xfxxxXxPx f(x)在在x0处的函数值

24、处的函数值f(x0)反映了概率在反映了概率在x0点处的点处的“密密集程度集程度”，而不表示，而不表示X在在x0处的概率处的概率。设想一条极细。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各，概率密度相当于各点的质量密度。点的质量密度。 00 aFaFaXP aXP （2）若）若X为连续型随机变量，由定义知为连续型随机变量，由定义知X的分布函数的分布函数F(x)为连续函数（注意：反之不然）。为连续函数（注意：反之不然）。X取一个点取一个点a的的概率概率 为零，事实上为零，事实上 两点说明两点说明在计算连续型随机变量在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，

25、可落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有间，即有 badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)(事件事件X=a 并非不可能事件并非不可能事件概率为零的事件不一定是不可能事件概率为零的事件不一定是不可能事件；概率为概率为1的事件不一定是必然事件。的事件不一定是必然事件。 上一页上一页下一页下一页返回返回求：（求：（1）常数）常数a；（；（2） （3）X的分布函数的分布函数F（x） 40P X（1）由概率密度的性质可知）由概率密度的性质可知 222cos)(1 axdxadxxf所以所以 a1/2 42cos21)

26、(40)2(4400 xdxdxxfXP 其其他他20cos)( xxaxf例例1：设随机变量：设随机变量X具有概率密度具有概率密度 解：解：上一页上一页下一页下一页返回返回22221)sin1(210)( xxxxxFX的分布函数为的分布函数为于是于是 xdttfxF)()(31cos212 xdxF(x)x22-时 当当0)(2 xFx时时当当 )sin1(21cos21)(222xxdxxFxx 时时当当上一页上一页下一页下一页返回返回概率密度函数概率密度函数f(x)与分布函数与分布函数F(x)的图形可用图示的图形可用图示abO xfabO xF1上一页上一页下一页下一页返回返回其他其他

27、bxaabxf 01)(则称则称X在区间在区间(a,b)上服从均匀分布，记为上服从均匀分布，记为XU(a,b)，bxbxaaxabaxxF 10)(1.均匀分布均匀分布设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 X的分布函数为的分布函数为 ：上一页上一页下一页下一页返回返回f(x)和和F(x)可用图形表示可用图形表示)(xfxO )(xfxO1上一页上一页下一页下一页返回返回设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度0( )(0)00 xxef xx为常数则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分布。的指数分布。0001)( xxexFx 2.指数分布指数

28、分布X的分布函数为的分布函数为 上一页上一页下一页下一页返回返回利用利用 可以证明可以证明 ，,222 dxex 1)(dxxf3.正态分布正态分布 dxedxxfx 22221)( 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 xexfx222)(21)( 其中其中 , ( 0)为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 , 的正态分的正态分布或高斯分布布或高斯分布,记为记为XN( , 2).X的分布函数为的分布函数为 dtexFxt 222)(21)( 则则令令tx 122121)(22 dtedxxft上一页上一页下一页下一页返回返回（1） 最大值在最大值在x=处，最大值为处，最大值

29、为 ; 21（3）曲线）曲线y=f(x)在在 处有拐点；处有拐点； x正态分布的密度函数正态分布的密度函数f(x)的的几何特征几何特征： hXPXhP （2） 曲线曲线y=f(x)关于直线关于直线x= 对称，于是对于任对称，于是对于任意意h0，有，有 x（4）当）当 时，曲线时，曲线y=f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线 上一页上一页下一页下一页返回返回当当 固定，改变固定，改变 的值，的值，y=f(x)的图形沿的图形沿Ox轴平移而不轴平移而不改变形状，故改变形状，故 又称为位置参数。若又称为位置参数。若 固定，改变固定，改变 的的值，值，y=f(x)的图形的形状随的图形的形状随 的增大而变得

30、平坦。的增大而变得平坦。 越小，越小，X落在落在 附近的概率越大附近的概率越大。)(xfxO )(xfxO1h h 1 5 . 0 1 2 上一页上一页下一页下一页返回返回参数参数 =0， =1的正态分布称为标准正态分布，记为的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用。其概率密度函数和分布函数分别用 和和 表示，即表示，即)(x )( x 2221)(xex dtexxt 2221)( 和和 的图形如图所示。的图形如图所示。 )(x )( x )(x xO)(x xO21aa 上一页上一页下一页下一页返回返回由正态密度函数的几何特性易知由正态密度函数的几何特

31、性易知 )(1)(xx 一般的正态分布，其分布函数一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标准正态分布可用标准正态分布的分布函数表达。若的分布函数表达。若X , X的分布函数的分布函数F(x)为为),(2 NdtexFxt 222)(21)( 则则令令st )(21)(22 xdsexFxs因此，对于任意的实数因此，对于任意的实数a,b(ab)，有，有 abaFbFbXaP)()()(x 函数函数 写不出它的解析表达式，人们已编制了它写不出它的解析表达式，人们已编制了它的函数表，可供查用。的函数表，可供查用。上一页上一页下一页下一页返回返回)(1)(xx 5 . 0)0( 22()12xxxPX

32、xedx标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算n 分布函数分布函数( )yxX -x ( )( )P aXbba （）标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算12PX（）1P X （）(1)( 1)2 (1) 10.6826 0()1( )xxx 时,0( )xx时，的值可以查表( )P Xbb （）1( )P Xaa （）n 公式公式n 查表查表n 例例(0,1)XN(2)(1)0.97720.84130.1359 ( 1)1(1)1 0.84130.1587 1P X （）一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化2( ,),( )xXNF x 如果则n 定理定理()()()baP

33、 aXb 2( ,)XN 若查标准正态分布表n 概率计算概率计算()P aXb2( ,)XN 一般正态分布的区间概率一般正态分布的区间概率()P Xb()P Xa( )x为标准正态分布函数n 。n 。n 。()()ba ()b 1()a 设设XN（1，4），求），求 P(0X1.6)解解(0.3)1(0.5) ()()()baP aXb 例例1,2(01.6)PX1.6 10 1()()22(0.3)( 0.5)0.6179 1 0.6915 0.3094 正态分布的实际应用正态分布的实际应用2( ,)XN 已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若从高分人，若从高

34、分到低分依次录取，某人成绩为到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录分，问此人能否被录取？取？ 某单位招聘某单位招聘155155人，按考试成绩录用，共有人，按考试成绩录用，共有526526人报名，假设报名者的考试成绩人报名，假设报名者的考试成绩n 分析分析 首先求出首先求出和和然后根据录取率或者分数线确定能否录取然后根据录取率或者分数线确定能否录取解解 成绩成绩X服从服从 2,N 12900.0228526P X 83600.1588526P X 录取率为录取率为 1550.2947526可得可得 909011 0.02280.9772P X 60600.1588P X 601 0.15880.8412 得得 查表得查表得 601.0902.0解解 查表得查表得 601.0902.0. 解得解得 70 , 10故故 270,10XN设录取的最低分为设录取的最低分为 x则应有则应