2018寒假半角模型44304

1、半角模型过等腰 ABC（AB=AC 顶角 A 引两条射线且它们的夹角为与底角顶点的相关直线交于 M、N 两点，贝UBM、MN、NC 之间必然存在固定的 关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角 A 相关解决办法：以 A 为中心，把CAN （顺时针或逆时针）旋转a度，至ABN,连接 MN 结论：、 AMNAAMN，MN=MN2、若 BM、MN、N 洪线，则存在 x+y+z 型的关系若不共线，则BMN 中，/ MB必与/A 相关应用环境：1、 顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30 45、60、75 90,或它 们的补角为这些特殊角度的时候；2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、过底角顶点的两条相关

2、直线：底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的 邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边4、此等腰三角形的相关弦半角模型-且1800.条件：2思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM连AE或延长CB到F，使FB=DN,连AF）这两条射线Aff（出躁）澀駆（乙）l/INa 7 NIAI9 7 9 水昭 9NV IAIVav3N咀oNQ+l/ia=NI/l：决彩思路:分别将ABM和厶ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.(/B+/D=1800且AB=AD)例题应用：例1、在正方形ABCD，若M N分别在边BC CD上移动

3、，且满足MN=BMDN求证：./MAN=45思路同上略.例2拓展：在正方形ABC冲，已知/ MAN=45,若M、N分别在边CB DC勺延长线上移动,CCMN2AB.AM AN分别平分/BMN和/DNM.DBM1.试探究线段MN BM、DN之间的数量关系2.求证：AB=AH.（提示）例3在四边形ABC中,ZB+/D=180,AB二AD，若E、F分别在边1 EAF BAD.BG CDh,且满足EF=BE+DF.求证：21)（提示）例 4,在厶 ABC 中, AB=AC / BAC=2 DAE=120，若 BD=5 CE=8 求 DE例五.请阅读下列材料: 已知：如图 1 在Rt ABC中，BAC

4、90,AB AC，点D、E分别为线段BC上 两动点，若DAE 45探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED,使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；(2) 当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时，如图 2,其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图1例 6 探究:(1)如图 1,在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且/ EA&45试判断 BE、DF 与 EF 三

5、条线段之间的数量关系，直接写出判断结(2) 如图 2,若把(1)问中的条件变为 在四边形 ABCD 中，AB= AD, / B+/ D1=180, E、F 分别是边 BC CD 上的点，且/ EAF/ BAD”贝 U( 1)问中的结2论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3) 在(2)问中，若将 AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E、F 运动到 BCCD 延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给 出结论并予以证明.图】练习巩固1:如图，在四边形ABC呼,ZB=/D=90,AB=AD,若E、F分别在边BC CD上的点，且E

6、AF-BAD.2.求证：EF=BE+DF.B1.提示)练习巩固2,已知：正方形 ABCD 中，MAN 45，绕点 A 顺时针旋转，它 的两边分别交 CB DC(或它们的延长线)于点 M N.(1)如图 1,当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时，有 BM DN MN .当 MAN绕点 A 旋转到 BM DN 时，如图 2,请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立， 请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2) 当 MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样 的等量关系？请写出你的猜想，并证明.练习巩固3(1)如图，在四边形ABCD中，AB AD ,

7、B D 90,E,F分别是1边BC,CD上的点，且EAF = - BAD.求证：EF BE FD；2(2)如图在四边形ABCD中，AB AD, B+ D 180，E,F分别是边BC,CD上的 点，且EAF-BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3) 如图，在四边形ABCD中，AB AD，B ADC 180，E ,F分别是边BC,CD延长线上的点，且EAF - BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.DDFF(4)如图，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)，使点 B落在

8、AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P,连接 EP.(1)如图，若 M 为 AD 边的中点， AEM 的周长=6 cm；求证：EP=AE+DP ;(2 )随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置(点 M 不与 A、D 重合)，PDM 的周长是 否发生变化？请说明理由.(1)若/ EAF=40.求证：EF=BE+DF(5).如图 17,正方形 ABCDE、F 分别为 BC、CD 边上一点.ABDCE(2) 若/ AEF 绕 A 点旋转，保持/ EAF=450,问/CEF 的周长是否随/ AEF 位置 的变化而变化？(3) 已知正方形 ABCD 的边长为 1,

9、如果/ CEF 的周长为 2 .求/ EAF 的度数.练习巩固4.女口图，五边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DE=EACAD丄BAE，求2/ BAECD练习巩固5.如图，已知在正方形 ABCD 中, MAF4450，连接 BD 与 AM AN 分 别交于 E、F 两点。求证： （1）MN=MB+DN（2）点 A 到 MN 的距离等于正方形的边长；（3）VCMN 勺周长等于正方形 ABCDi长的 2(4)练习巩固6.在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M , N , D为ABC外一点，且MDN 60，BDC 120，BD CD，探究：当点M ,N分别爱 直线AB，AC上移动时，

10、BM , BN，MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.(1)如图，当点M ,N在边AB ,AC上，且DM DN时，BM , NC , MN之间的数 量关系式(5) 若MAB=20 ，求AMN(6) 若MAB0 pp 45o，求c AMNEF2EB2DF2；(9)SVAEFSVAMN2ABMN(8) VAEN 与 VAFh 是等腰三角形;CD图D图(4)；此时QL(2)如图， 当点M ,N在边AB ,AC上， 且DM DN时， 猜想(1)问的两个结论 还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3)如图，当点M ,N分别在边AB ,CA的延长线上时，若AN x，则Q _(用x，L

11、表示)练习巩固7.如图所示，ABC 是边长为 1 的等边三角形，BDC 是顶角为 120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60的/ MDN 点 M N 分别在 AB, AC 上,求 AMN勺周长B-匸练习巩固8.如图，在正方形 ABCD 中, BE=3 EF=5, DF=4 求/ BAE/ DCF 为 多少度。巩固练习 9、（三新练习册 P131）如图 1, Rt ABC 也 RtAEDF，/ ACB=/ F=90，/ A=/ E=30 . EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转，DE，DF 分别交线段.AC 于点M，K.如图 2、图 3,当/ CDF=0或 60时，AM+CKMK（填=”

12、)如图 4,当/CDF=30 时，AM+CK_MK(只填“或“”.)猜想：如图 1,当 0ZCDFv60寸，AM+CK_ K，证明你所得到的结论.*必会结论- 图形研究正方形半角模型【例】已知：正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上，且EAF 45，AE、AF分别交BD于H、G，连EF.一、全等关系(1)求证：DF BE EF；DG2BH HG2;AE平 分BEF，AF平分DFE.二、相似关系(2)求证：CE , 2DG;CF 2BH;EF 2HG.(3)如果MK2CK2AM2，请直接写出/图 1CDF 的度数和匹的值.B图 3B图 4/(3)求证：AB2BG DH:AG2BG HG; -

13、BE DFCE CF三、垂直关系(5)、和差关系a求证：BG DG 2BE;AD DF . 2DH;| BE DF |. 2 |BH DG |.(4)求证：AG EG;AHFHtan HCFABBE中考链接-正方形二相关题型-半角模型1, (2016 石景山 28).在正方形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，连接 BE(1)请你在图-1 画出 BEM,使得 BEM 与ABEC 关于直线 BE 对称；(2)若边 AD 上存在一点 F,使得 AF+CE=EJF 请你在图 2 中探究/ ABF 与/ CBE 的数量关系并证明；(3)在(2)的条件下，若点 E 为边 CD 的三等分点，且 CED

14、E 请写出求cos/ FED 的思路.(可以不写出计算结果)图 1答案备用图1 所示.(2) ABF 与 CBE 的数量关系：ABF CBE 45 .2证明：连接 BF , EF，延长 DC 到 G,使得 CG AF ,连接 BG3 分四边形 ABCD 为正方形, AB BC , A BCD 二BAF = BCG .ABC BF BG , ABF CBG . AF CE EF , EF GE .2-4ABEFBEG ./ FBE =Z MBE ABF CBE .ABF CBE 45 . .分(3)求解思路如下:a.设正方形的边长为 3a , AF 为x，则 EFx a, DF 3a x ；可得

15、 x3a x22a(2) ABF 与 CBE 的数量关系：ABF CBE 45 .2从而得到x与a的关系 2x 3a ;c.根据 cos/ FED 匹 -2色，可求得结果.分 EF x a2, (2016 门头沟 28).在正方形 ABCD 中，连接 BD.(1)如图 1, AE 丄 BD 于 E.直接写出/ BAE 的度数.(2) 如图 1,在(1 )的条件下，将 AEB 以 A 旋转中心，沿逆时针方向旋 转30后得到 ABE； AB 与 BD 交于 M,AE的延长线与 BD 交于 N.依题意补全图 1;2 2 2b.在 RtAEFD 中，由EF DF DE,又TZ仁Z3, Z2+Z1=45

16、. 用等式表示线段 BM、DN 和 MN 之间的数量关系，并证明.（3）如图 2，E、F 是边 BC CD 上的点， CEF 周长是正方形 ABCD 周长的 一半，AE、AF 分别与 BD 交于 M、N,写出判断线段 BM、DN、MN 之 间数量关系的思路.（不必写出完整推理过程）门头沟 28.（本小题满分 7 分）解：（1）ZBAE=45.1分（2）依题意补全图形（如图 1）;.2分 B M、 D N 和 MN 之间的数量关系是B M2+ N D2= M N2. 3 分证明：如图 1,将厶 AND 绕点 A 顺时针旋转 90得厶 AFB./ADB=ZFBA/仁/ 3,DN=BF,AF=AN.

17、正方形 ABCD AE BD,/ADB=ZABD=45./FBM=ZFBA+ZABD旋转 ABE 得到ABE；ZEAB=45,Z2+Z3=9045=45,EFAADAD即/ FAM=45./FAM =ZEAB=45.又 TAM 二 AM, AF=AN,AFMAANM.图 2 FM=MN .又VFB2 3+BM2=FM2,DN2+BM2=MN2. .5分(3)判断线段 BM、DN、MN 之间数量关系的思路如下：a.如图 2,将厶 ADF 绕点 A 瞬时针旋转 90 得厶 ABG,推出 DF=GB;匕由厶 CEF 的周长等于正方形 ABCD 周长的一半，得 EF=DF+BEc.由 DF=GB 和

18、EF=DF+BE 推出 EF=GE,进而得 AE3AAEF4.由厶 AEGAAEF 推出/ EAF=ZEAG=45;e .与 同 理，可 证MN2= BM2+DN2. . 7 分3 (. 2016 一模(1)如图 1,点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点,/ EAF=45,连接 EF,贝 U EF、BE、FD 之间的数量关系是：EF=BEFD.连结 BD, 交AE、AF 于点 M、N,且 MN、BM、DN 满足MN2BM2DN2，请证明这个 等量关系；(2)在厶 ABC 中，AB=AC,点 D、E 分别为 BC 边上的两点.如图 2,当/ BAC=60, / DAE=30时，BD DE、EC 应满足的等量关系是2如图 3,当/BAC= , (0 90),/ DAE=丄 时，BD DE、EC 应满足的等量3关系是_ .【参考：sin2cos21】5. (1)如图