数值分析插值拟合

1、题库分类填空题1. 绪论部分(1). 设x=3.214, y=3.213，欲计算u=, 请给出一个精度较高的算式u= . u=(2). 设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为: e £| |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|(3). 要使的近似值的相对误差限£0.1%, 应至少取_位有效数字？0.4´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1%故可取n³4, 即4位有效数字。

2、(4). 要使的近似值的相对误差限£0.1%, 应至少取_位有效数字？0.4´10, a1=4, er£´10-(n-1)< 0.1%故可取n³3.097, 即4位有效数字。(5). 对于积分In=e-1xnexdx试给出一种数值稳定的递推公式_。In-1=(1-In)/n , In»0易知 I0=1-e-1In=1-nIn-1 故In-1=(1-In)/n0<In£1/(n+1)®0 (n®¥)取In»0选择填空(6). 计算 f=(-1)6 , 取1.4 , 利用下列算

3、式，那个得到的结果最好？(C)(A) , (B) (3-2)2,(C) , (D) 99-702. 方程的根(1). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 则x1= (3) x1=1.5970149(2). 迭代公式xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求a1/2的 (12) 阶方法(3).3. 方程组直接解法4. 迭代解法(1). 设线性方程组的系数矩阵为A=,全主元消元法的第一次可选的主元素为 (13) ，第二次可选的主元素为 (14) .列主元消元法的第一次主元素为 (15) ；第二次主元素为(用小数表示) (16) ; 记此方

4、程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为BG=(aij)4´4，则a23= (17) ； -8，或8； 8+7/8或-8-7/8； -8； 7 .5；第 1 章 插值§1. 填空(1). 设Pk(xk,yk) , k=1,2,5 为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过P1,P5且次数不超过4次的插值多项式是 _ 。y=x2-3x+1(2). 设x0, x1,x3是区间a, b上的互异节点，f(x)在a, b上具有各阶导数，过该组节点的2次插值多项式的余项为： _ . R2(x)= (3). 设 (i=0,1,n)，则 _ , 这里（xi¹xj,i¹j, n&#

5、179;2）。x(4). 三次样条插值与一般分段3次多项式插值的区别是_ 三次样条连续且光滑，一般分段3次连续不一定光滑。(5). 插值多项式与最小二乘拟合多项式都是对某个函数f(x)的一种逼近，二者的侧重点分别为 _ 。用个作不超过次的多项值插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插值方法所得多项式 相等 (相等, 不相等)(6).§2. 计算题(1). (a10分)依据下列函数值表，建立不超过3次的lagrange 插值多项式L3(x).x0123f(x)19233解：基函数分别为l0(x)=-x3+x2-x+1l1(x)=l2(x)=l2(x)=Lagrange 插

6、值多项式L3(x)= =.(2). (b10分)已知由插值节点(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造的3次插值多项式P3(x)的x3的系数为6，试确定数据y.解：P3(x)故最高次项系数为 带入数值解得y=4.25.(3). (c15分)设lk(x)是关于互异节点x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函数，证明证明：其中，wn+1(x)=故当0£j£n时， =xj, 当j=n+1时，xn+1=将x=0带入ok!(4). (c10分)设lk(x)是关于互异节点x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函数，证明是n次多项式，且最高次系数为x

7、0+ xn,证：查-5分注意余项=xn+1-wn+1(x) -5分ok!(5). (c10分)设函数f(x)是k次多项式，对于互异节点x1, xn,， 证明当n>k时，差商f x, x1,xnº0，当n£k时，该差商是k-n次多项式。证明：因注意到n>k时， f(n)(x)=0，n=k时， f(n)(x)=k!ak，ak为f(x)的k次项系数。(7f)n£k-1 由差分定义递推,查n=k-1,k-2, (3f)ok!(6). (c10分)设g(x)和h(x)分别是f(x)关于互异节点x1, xn-1以及互异节点x2, xn的插值多项式，试用g(x)和h

8、(x)表示f(x)关于互异节点x1, xn的插值多项式.解：令(f(x)q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1)为待定n(n-1)次多项式，A,B为待定系数，注意到g(xk)=f(xk), k=1,n-1h(xk)=f(xk), k=2,n -(7f)带入得A=1/x1-xn,B=1/xn-x1,带入ok!(7). (a10f)设lk(x)是关于互异节点x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函数，证明(1) m=0,1,n(2) º0 m=1,2,n证明：由插值唯一性定理知(1)。展开知（2）(8). (a10f)证明对于不超过k次的多项式p(x)有 k&

9、#163;nlk(x)是关于互异节点x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函数证明：由插值唯一性定理知。(9). (a10f)设p(x)是任意首次项系数为1的n+1次多项式，lk(x)是关于互异节点x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函数证明 其中证明：插值余项直接计算ok!(10). (a10f)已知函数y=f(x)在点x0的某邻域内有n阶连续导数，记xk=x0+kh (k=1,2,n), 证明证明：因 xÎ(x0,x0+nh)注意到n阶导数连续性，两边取极限ok!(11). (c10f)用等节距分段二次插值函数在区间0,1上近似函数ex, 如何估算节点数

10、目使插值误差£´10-6 .解：考虑子区间xi-1,xi二次插值余项令x=xi+1/2+s(h/2)上式化简为令 得h£0.028413故子区间个数为N=2/h»70.4, 取N=71故插值节点数为2N+1=143 (12). (b10分)设f(x) 在区间a,b上有二阶连续导数，P1(x)为其以a,b为节点的一次插值多项式，证明证明：利用插值余项结果可得线性插值多项式P1(x)在子区间a,b上的余项估计式，再估计最值ok!(13). (b10分)已知s(x)是0,2上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定s(x)=中的参数b,c,d解：利用边界条件s

11、/(2-0)=0 及样条函数定义可得b=-1,c=-3,d=1(14). (b10分)判断下面2个函数是否是-1,1上以0为内节点的三次样条函数。设(1) S(x)=(2) S(x)= 解：(1)是，(2)否。(15). (a10f)令f(x)=x7+ x4+3x+1求f20, 21,27及f20, 21,28解：f20, 21,27=1f20, 21,28=0(16). (a10f)证明n阶均差有下列性质：(1) 若F(x)=cf(x), 则Fx0, x1,xn=c fx0, x1,xn(2) 若F(x)=f(x)+g(x), 则Fx0, x1,xn= fx0, x1,xn+ gx0, x1

12、,xn证明：其中，ak=ok!(17). (a10f)回答下列问题：（1）什么叫样条函数？（2）确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？（3） 三转角法中参数mi的数学意义是什么？答：（1）略（2）4n个（3） mi=S/(xi) 即样条函数在节点xi处的一阶导数。(18). (a10f)回答下列问题：（1）何谓Hermite 插值问题？（2）Hermite 插值与一般多项式插值有什么区别？第 2 章 拟合(1). 采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的 (9) 问题.(2). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数. 在函数

13、的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数. 无穷范数 |f|¥；2-范数(3).§3. 计算题(1). (b10f)设f(x)Î-a,a的最佳一致逼近多项式为P(x),试证明(1) f(x)是偶函数时P(x)也是偶函数；(2) f(x)是奇函数时P(x) 也是奇函数。证明：（1）令t=-x, 考查|f(x)-P(x)|= |f(-t)-P(-t)|= |f(t)-P(-t)|, 故P(-x)也是f(x)Î-a,a的最佳一致逼近多项式，由最佳一致逼近多项式的唯一性知P(-x)=P(x).（2）略。(2). (a10f)试确定0,

14、1区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？解： p(x)=(3/2)x, 唯一。(3). 求f(x)=2x3+x2+2x-1在-1,1上的最佳二次逼近多项式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解: f(x)=2x3+x2+2x-1-P(x)=2.T3(x)= T3(x)故P(x)= f(x)-T3(x)= 2x3+x2+2x-1-2 x3+3x = x2+x-1(4). 求f(x)=2x4在-1,1上的3次最佳一致逼近多项式P

15、(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解：P(x)= 2x2-1/4(5). 求f(x)=2x4在0,2上的3次最佳一致逼近多项式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解：令x=t+1, tÎ-1,1, f(x)=g(t)=(t+1)4故g(t)的3次最佳一致逼近多项式为P3(t)=4t3+7t2+4t+7/8故f(x

16、)的3次最佳一致逼近多项式为P(x)=P3(x-1)= 4x3-5x2+2x-1/8(6). 设f(x)ÎCa,b, ,证明f(x)的最佳零次一致逼近函数为s(x)=(M+m)/2 ,其中M和m分别为f(x)在a,b上的最大与最小值。(7). 证明a,b上的正交函数系H=h1(x), h2(x), hm(x)是线性无关的函数系。证：写出线性组合式子 2分作内积求系数2分(8). （10分）求f(x)=lnx ,xÎ1,2上的二次最佳平方逼近多项式的法(正规)方程组。（要求精确表示，即不使用小数）解：取F=span1,x,x2,a,b=1,2 法方程组为 计算知解之得：a0=

17、-1.142989, a1=1.382756,a2=-0.233507最佳平方逼近多项式为P2(x)=-1.42+1.38x-0.233x2平方误差为|f-P2|22=(f,f)-a0(f,j0) a1(f,j1) a2(f,j2)»0.4´10-5 (9). 设f(x)在有限维内积空间Fspanj0,jn上的最佳平方逼近为p(x),试证明，f(x)-p(x)与F中所有函数正交。证明：查(f(x)-p(x), jj)=(f, jj)- (p(x), jj)注意到ak是法方程组的解。而法方程组两边的j-th 分量为 (jj,j0) (jj,j1) (jj,jn) =(p(x)

18、, jj)ok!(10). 设是在空间Fspanj0,jn中对f(x)ÎCa,b的最佳平方逼近,证明：(f-p, f-p)=(f,f)- 证：注意到ak是法方程组的解。而法方程组故"k=1,n, (f(x)-p(x), jk)=0, -(5分)(p-f),p)=0 -(5分)(f-p, f-p)=(f,f)-2(f,p)+(p,p)=(f,f)-(f,p)+(p-f),p)=(f,f)-(f,p) -(5分)(11). 求下列矛盾方程组的最小二乘解解：x1=-29/12, x2=-39/12写出相应的法方程组ATAx=ATb 5分求解x1=-29/12, x2=-39/12

19、 5分(12). 推导用最小二乘法解矛盾方程组Ax=b 的法方程组ATAx=ATb解：给出目标函数h (x)=|Ax-b|2 -5=xTATAx-2xTATb+bTb -5求偏导得到驻点方程组ATAx-ATb=0 -5(13). 证明：j0,jn为点集ximi=1上的线性无关族Û法方程GTGa=GTy有唯一解。其中证：充分性）。首先注意到若a0,a1,.,an为方程组a0j0+a1j1+anjn=0 （9）的解，则必为方程组(j0,j0) a0+ (j1,j0)a1 +(jn,j0)an=0(j0,j1) a0+ (j1,j1)a1 +(jn,j1)an=0.(j0,jn) a0+

20、(j1,jn)a1 +(jn,jn)an=0(10)的解。事实上，令j0, j1,jn 分别与(9)两端作内积得(10)，知也！设|GTG|¹0Þ（10）仅有0解Þ(9) 也仅有0解故j0,jn无关。证必要性）。 j0,jn无关Þ (9)仅有0解 即 "a =(a0,a1,.,an)¹0ÞGa¹0ÞaTGTGa=(Ga)T(Ga)=|Ga|22>0ÞGTG正定Þ|GTG|>0|GTG|¹0.(14). 若j0(x), j1(x), jn(x)是点集x1,x2,xm

21、上的离散正交族。为给定数据对(xi,yi) (i =1,2,m)的最小二乘拟和函数。证明：证：法方程系数矩阵为QTQ= 此时法方程为故(15). 若j0(x), j1(x), jn(x)是a,b上的正交族。为f(x)的最佳平方逼近。证明：证：法方程系数矩阵为QTQ= 此时法方程为故(16). 求函数f(x)=|x| 在-1,1上求关于函数族span1,x2,x4的最佳平方逼近多项式。解：由内积(f,g)= , 令j0=1，j1=x2, j2=x4, 计算知法方程得 解之得：a0=15/185=0.117a1=105/64=1.64a2=-105/128=-0.820最佳平方逼近多项式为: 0.117+1.64x2-0.820x4(17). 求函数f(x)= 在1,3上求关于函数族span1,x的最佳平方逼近多项式。解：由内积(f,g)= , 令j0=1，j1=x, 计算法方程得解之得：a0=(13/2)ln3-6=1.14a1=3-3ln3=0.295最佳平方逼近多项式为: 1.14-0.295x(18). 求a,b,c的值，使达到最小解：就是求f(x)=sinx关于函数族span1,x,x2 在0,p上的最佳平方逼近。由内积(f,g)= , 令j0=1，j1=x, j