6-3 静电场的环路定理 电势

1、2012年春季学期年春季学期第第6章章 第第3节节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势一一 静电场力所做的功静电场力所做的功0ddWq Ellerqqrd4200rrqqWd4d200 点电荷的电场点电荷的电场q0qArABBrErreldrdrllerdcosdd可以看出可以看出上式可写为上式可写为0020dd4BBAArrrrqqrWqElr)11(400BArrqq结论结论: : W 仅与仅与q0 0的始末的始末位置有关，与路径无关位置有关，与路径无关. .rrqqWd4d200q0qArABBrErreldrd于是，试验电荷于是，试验电荷q0从从A点运动至点运动至B点的过程中，

2、点的过程中，电场力所作的总功为电场力所作的总功为二二 静电场的环路定理静电场的环路定理ADCABClEqlEqdd000)dd(0CDAABClElEq0dllE静电场是保守场静电场是保守场结论：结论：沿闭合路径一沿闭合路径一周，周，电场力作功为零电场力作功为零.EABCD电场力为保守力，因而电荷在静电场中具有势能，称电场力为保守力，因而电荷在静电场中具有势能，称为电势能。电势能是属于电荷与电场系统共有的。为电势能。电势能是属于电荷与电场系统共有的。静电场力对电荷所作的功等于电荷势能的改变量。静电场力对电荷所作的功等于电荷势能的改变量。ppApBpBpAABEEEEEW)(若将电荷由点若将电荷

3、由点A沿任意的路径移动到沿任意的路径移动到B处，静电场力对处，静电场力对电荷所作的功为电荷所作的功为q0在在A点的点的电势能电势能q0在在B点的点的电势能电势能或或ppApBpBpAABEEEEEl dEq)(0电场力作功等于电势能电场力作功等于电势能增量的负值。增量的负值。三三 电势能电势能注意注意:1.电势能是属于电荷电场系统的。电势能是属于电荷电场系统的。3.电荷在静电场中的电势能，在数值上等于把它从该点电荷在静电场中的电势能，在数值上等于把它从该点移动到零势能处静电场力所作的功。移动到零势能处静电场力所作的功。BApAl dEqE02.电势能是相对量，其大小与零电势能点的选取有关。电势

4、能是相对量，其大小与零电势能点的选取有关。要决定电荷在电场中某点电势能的值，必须先选择零电要决定电荷在电场中某点电势能的值，必须先选择零电势能点。势能点。令令0pBEABABVE dlV若若VB称为参考电势。称为参考电势。为方便起见，通常取点为方便起见，通常取点B电势为零，电势为零，VB 0。AAl dEV电势定义：电场中某点单位电荷的电势能，在数电势定义：电场中某点单位电荷的电势能，在数值上等于把单位正试验电荷值上等于把单位正试验电荷q0从点从点A移到零电势移到零电势V0处时，静电场力所作的功。处时，静电场力所作的功。四四 电势和电势差电势和电势差AABVE dl电势是标量，单位是伏特（符号

5、电势是标量，单位是伏特（符号V）。）。2.电势差：电势差：ABBAABl dEVVU静电场中静电场中A、B两点的电势差两点的电势差UAB，在数值上等于把单位，在数值上等于把单位正试验电荷正试验电荷q0从点从点A移到点移到点B时，静电场力所作的功。时，静电场力所作的功。3.静电场力所作的功为静电场力所作的功为)(BAABABABVVqqUl dEqW1电子伏特电子伏特eV：1个电子通过个电子通过1V电势差时所获得电势差时所获得的能量。的能量。 1eV1.6021019Jm电荷分布在有限范围电荷分布在有限范围选无穷远为电势零点选无穷远为电势零点( )pV pE dr通常选地球为无穷远电势零点。通常

6、选地球为无穷远电势零点。m电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无限远。限远。电势零点的选择：电势零点的选择：电势是标量，它有正负，而无方向。电势是标量，它有正负，而无方向。电场中任意两点的电势差与零电势的选取无关。电场中任意两点的电势差与零电势的选取无关。电场中某点的电势值与零电势（参考点）的选取有关。电场中某点的电势值与零电势（参考点）的选取有关。电势能电势能EP与电势与电势V的区别的区别电势电势V只与场源电荷只与场源电荷q有关，而与场中电荷有关，而与场中电荷q0无关；无关；电势能电势能EP与场源电荷与场源电荷q和场中电荷和场中电荷q0均有关。当电场中均

7、有关。当电场中某点的某点的电势电势V的确定后，随的确定后，随q0的正负，在该点的电势能的正负，在该点的电势能EP也有正有负。也有正有负。场源为点电荷场源为点电荷Q，在距离，在距离r处的处的P点的电场强度为点的电场强度为rerqE2041rql dEVr140点电荷电场的电势：点电荷电场的电势：则则P点的电势为点的电势为表明，当表明，当Q0时，电场中各点的电势都是时，电场中各点的电势都是正正值，随值，随r的增的增加而减小；当加而减小；当Q0时，电场中各点的电势则是时，电场中各点的电势则是负负值，随值，随r的增加而增大，无限远处的电势为零，但电势却最高。的增加而增大，无限远处的电势为零，但电势却最

8、高。OxyQ0OxyQ0QErre可得可得+Q1A1E+Q2Q31r3r2r2E3E上式表明，点电荷系所激发的电场中某点的电势，上式表明，点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点建立的电势的代等于各点电荷单独存在时在该点建立的电势的代数和。数和。静电场的电势叠加原理。静电场的电势叠加原理。rqV140niiiniiArqVV10141五五 电势的叠加原理电势的叠加原理1.点电荷系电场的电势：点电荷系电场的电势：如图：带电体上的电荷为连续分布，将其分成无限多个如图：带电体上的电荷为连续分布，将其分成无限多个电荷元电荷元dq，每一电荷元在电场中点，每一电荷元在电场中点P处建立

9、的电势为处建立的电势为rdqdV041对上式积分，得对上式积分，得rdqV041Pdq2.电荷连续分布的带电体电场的电势：电荷连续分布的带电体电场的电势：r由于求电势的积分是一个标量由于求电势的积分是一个标量积分，所以求电势比求电场强积分，所以求电势比求电场强度来得简便一些。度来得简便一些。rdqV0411.由点电荷电势定义由点电荷电势定义qEqWVpAAA02.点电荷系电势点电荷系电势niiiniiArqVV101413.积分法（对连续带电体）积分法（对连续带电体）4.场强的线积分法（对具有高度对称性的场）场强的线积分法（对具有高度对称性的场）BABAVl dEVVB为参考点为参考点B的电势

10、，常取的电势，常取 VB0。计算电势的方法计算电势的方法例例1 真空中有一电荷为真空中有一电荷为Q，半径为，半径为R的均匀带电的均匀带电球面球面. 试求试求（1）球面外两点间的电势差；球面外两点间的电势差；（2）球面内两点间的电势差；球面内两点间的电势差；（3）球面外任意点球面外任意点 的电势；的电势；（4）球面内任意点球面内任意点 的电势的电势.RABorArBr解解RrrQRrE2040)11(40BArrQ0d BABArrrEVV（1）Rr RABorArBrBABArrrEVVdBArrrrQ20d4rdr（2）Rr RABorrd（3）Rr 0VrB令令rQrV04)()11(40

11、BABArrQVVRABorArBr（4）Rr RrERrrErVdd)(RQ04RQ04 RoVrQ04 r例例2 “无限长无限长”带电直导线的电势带电直导线的电势.解解 令令0BVBPrrrEVdBrrrrd20rrBln20讨论：能否选讨论：能否选?0VBBrPror 例例3 正电荷正电荷q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的细圆环上的细圆环上. 求环轴线上距环心为求环轴线上距环心为x处的点处的点P的电势的电势.解解xPoxxRqdrrqVPd 41d0qrVPd4102204Rxqrq04RqVx0040 ，xqVRxP04 ，2204RxqVP讨讨 论论xPoxxRl drxoVRq

12、042204Rxq 通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴线上任意点的电势的轴线上任意点的电势.rrqd2d)( 2220 xRxRrxrrV0220d241Rx xRxRx2222xQV04xx22rx rrdRoP六六 等势面等势面 电荷沿等势面移动时，电场力做功为零电荷沿等势面移动时，电场力做功为零.0d)(baBAABlEqVVqW电场中电势相等的点所构成的面电场中电势相等的点所构成的面.lEd 某点的电场强度与通过该点的等势面垂直某点的电场强度与通过该点的等势面垂直.任意两任意两相邻相邻等势面间的等势面间的电势差相等电势差相等. . 用等势面的用等势

13、面的疏密疏密表示电场的强弱表示电场的强弱. . 等势面越密的地方，电场强度越大等势面越密的地方，电场强度越大. .-+等势面等势面电偶极子的等势面电偶极子的等势面电场线电场线两相等点电荷的等势面两相等点电荷的等势面等势面等势面电场线电场线等势面等势面电场线电场线等势面等势面电场线电场线平行板电容器平行板电容器人心脏的等电势人心脏的等电势线，类似于电偶线，类似于电偶极子。极子。VVVE低电势低电势ld高电势高电势ndlne七、电场强度与电势梯度七、电场强度与电势梯度场强与电势都是描写电场性质的物理量，它们之间必存场强与电势都是描写电场性质的物理量，它们之间必存在某种关系。下面是场强与电势关系推导

14、在某种关系。下面是场强与电势关系推导. .VVVBA lE coslE lEE coslEVl lVEl 为为E在在l上的上的分量分量式中负号表明，沿着电场强度的方向电势由高到低；式中负号表明，沿着电场强度的方向电势由高到低；逆着电场强度的方向电势由低到高。逆着电场强度的方向电势由低到高。为电势沿为电势沿l方向的方向的单位单位长度上电势的变化率。长度上电势的变化率。lV 如图所示，设如图所示，设AB两点非常靠近，两点非常靠近，E可认为是不变的。可认为是不变的。方向方向 由高电势处指向低电势处由高电势处指向低电势处nddlVE 大小大小nnddlVEnddll lEE nnnddelVElVEl

15、ddVVVE低电势低电势ld高电势高电势ndlnennnedldVEE 电场中任一点的电场强度，等于该点沿等势面法线方向单电场中任一点的电场强度，等于该点沿等势面法线方向单位长度的电势变化率的负值。位长度的电势变化率的负值。 方向与法线的方向相反。方向与法线的方向相反。在直角坐标系中在直角坐标系中，电势是坐标电势是坐标 x，y 和和 z 的函数。则电的函数。则电场强度在这三个方向上的分量分别为场强度在这三个方向上的分量分别为xVExyVEyzVEz写成矢量式写成矢量式nnedldVkzVjyVixVE)(VgradE电场强度为电势梯度的负值。电场强度为电势梯度的负值。1.“ .“” ”表示表示

16、 E 的方向为电势降的方向。的方向为电势降的方向。2. .沿等势面法线方向场强最大。沿等势面法线方向场强最大。nnedldVkzVjyVixVE)(3. .只要知道只要知道E和和V中一个量的分布就可得知另一个量中一个量的分布就可得知另一个量的分布。的分布。l dEVaa 4. .场强反映场点处的电势的场强反映场点处的电势的“变化率变化率”，E 与与 V 无直无直接的关系。接的关系。场强大处，电势不一定大。场强大处，电势不一定大。场强小处，电势不一定小。场强小处，电势不一定小。如两等量异号电荷连线中点上。如两等量异号电荷连线中点上。如两等量同号电荷连线中点上。如两等量同号电荷连线中点上。5. .

17、如如 E=0，, 0 ndldVCV 该区域为等势区该区域为等势区如如 E=C，,CdldVn 该区域电势均匀变化。该区域电势均匀变化。例例1：点电荷的电势为点电荷的电势为 , ,求：点电荷的场强。求：点电荷的场强。 40rqV 解：解：由于等势面法线由于等势面法线 n方向与方向与 r 相同，相同，nnedldVE 0rrV 004rrqr 0204rrq rne例例2 2：均匀带电圆盘半径为均匀带电圆盘半径为 R ，面电荷密度为，面电荷密度为 ，求，求轴线轴线上一点的场强。上一点的场强。解：解：由带电圆盘轴线上一点的电势公式由带电圆盘轴线上一点的电势公式)(2220 xRxV 由于等势面法线由于等势面法线 en方向与方向与 x 轴相同，轴相同，ixV oRxnenVE neixxRx )(2220 ixRx) 1221(2220 ixRx 22012 例例3 3