利用平面向量的坐标运算优化解题过程

1、学习好资料欢迎下载利用平面向量的坐标运算优化解题过程向量的运算在向量中占有重要的地位，在一些实际问题的解决中作为一种工具有着重要的作用，向量的运算表现在两个方面，几何运算及坐标运算，在解决问题时 ,应选用哪一种运算要根据实际情况来定 ,但并不是唯一的，只是繁与简的问题，下文通过具体事例谈如何利用向量的坐标运算来优化解题过程 .1利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1 已知向量123 满足条件1230，OP1OP2OP31，求证：OP ,OP ,OPOPOPOPP1P2 P3 是正三角形解：令 O 为坐标原点，可设 P1cos 1, sin 1,P2 cos2 ,si

2、n 2, P3cos 3 , sin 3由 OP1OP2OP3 ，即 cos 1 ,sin 1cos 2 ,sin2cos3sin 3cos 1cos 2cos 3sin 1sin 2sin 3两式平方和为 12 cos121 1， cos121 ，由此可知 12 的最小正角为 1200 ，2即 OP1 与 OP2 的夹角为1200 ，同理可得 OP1与 OP3 的夹角为 1200 ， OP 2与 OP3的夹角为 1200 ，这说明1 2 3 三点均匀分部在一个单位圆上，所以P1P2 P3为等腰三角形.yP,P ,P例 2 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角B的度数解：如图 1，分别

3、以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、 y轴建立直角坐标系，设 A 2a,0, B 0,2a ，则 D a,0 ,C 0, a ，从而可求：AC2a, a , BDAC BD2a, aa, 2aa, 2a , cosAC BD5a5a4a24a r c c o s4 .=2.5a55CoDAx图 12利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题ABC ，AD 为中线，求证 AD 2 12例 3已知AB2AC 2BC22证明：以 B 为坐标原点，以BC 所在的直线为 x 轴建立如图 2 直角坐标系，设 A a, b ,C c,0 ，2c20 b 2c2ac a2b2 ，D c ,0 ，则 ADa22

4、42y122BC.ABAC2A2= 1 a2b2c ab22a2b2acc2c，2244(B) oDxC图 2学习好资料欢迎下载22122BC从而ADABAC，221 AB22AD 2AC 2BC.223利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例 4已知点是00O内的一点， AOB150，BOC90 ，设 OA, 且ABCa OBb OCca2, b1, c3, 试用 a,和b表示 c.解：以 O 为原点， OC， OB 所在的直线为 x 轴和 y 轴建立如图 3 所示的坐标系 .由 OA=2 ，0，所以 A00即，易求B 0，-1，C 3,0，设AOx1202cos120 ,2 sin120 ,A-1 ,3y-1321-31 . AOA1OB2OC,即 -1，31 0，-123,0 ，3-，-123oCx1 c .a3bB3图 3例5 如图，OAOB1, 与OB的夹角为 1200，OC与 OA的夹角为 300 , OC5，用 OA，OB 表示OAOC .解：以 O 为坐标原点，以 OA 所在的直线为 x 轴，建立如图4 所示的直角坐标系，则 A 1,0 ，由 COA300，所以 C 5cos300,5sin 30053513,即 C， ，同理可求B,22225315351