圆与方程知识点总结典型例题

1、圆外一点B ,圆上一动点P,讨论PB的最值圆与方程1 .圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2.2 .点与圆的位置关系:(1) .设点到圆心的距离为d,圆半径为r：a.点在圆内='dvr;b.点在圆上=>d=r;c.点在圆外=nd>r(2) .给定点M(xo，yo)及圆C:(xa)2(yb)2r2.M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2MM在圆C上(x0a)2(y0b)2r2Dm在圆C外(x0a)2(y0b)2r2(3)涉及最值:圆内一点A,圆上一动点PA的最值|PBm

2、in|BNBCrPBmaxBMIlBCr1PAminlANr|AC1PAmax1AMir|AC思考：过此A点作最短的弦？(此弦垂直AC)(1)当D2 E2 4F 0时，方程表示一个圆，其中圆心2 ,半径,一 D2 E2 4F23 .圆的一般方程：x2y2DxEyF0.(2)当D2E24F0时，方程表示一个点D,E22当D2E24F0时，方程不表示任何图形.注：方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0且_2_2_一D2E24AF0.4 .直线与圆的位置关系:直线AxByC0与圆(xa)2(yb)21)2)3)圆心到直线的距离d直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交AaBb

3、C,A2B2无交点；只有一个交点；有两个交点；弦长|AB|二2Jr还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组2d2Ax2xByC02一一y2DxEyF求解，通过解0的个数来判断:直线与圆相交;直线与圆相切;(1)当0时，直线与圆有2个交点，(2)当0时，直线与圆只有1个交点,(3)当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离;5 .两圆的位置关系(1)设两圆22222C(xa)(ybjr1与圆C2：(xb2)(yb2)圆心距(aia?)2(匕b2)2rir2外离2)dri外切4条公切线；3条公切线；rir2dI2相交2条公切线；r1r2内切i条公切线；外离(2)两圆公共弦所在直线方程ri内切圆Ci:Di

4、xEiyFi0,圆C2：D2xE2yF20,则D1D2EiE2FiF20为两相交圆公共弦方程补充说明:若Ci与C2相切,则表示其中一条公切线方程;若Ci与C2相离,则表示连心线的中垂线方程(3)圆系问题过两圆Ci:x22yDixEiy2Fi0和C2：x2yD2xe2yF20交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF122xyD2xE2yF2补充:上述圆系不包括C2;2)当1时，表示过两圆交点的直线方程(公共弦)过直线AxByC0与圆x'2一一一yDxEyF0交点的圆系方程为DxEyFAxByC6.过一点作圆的切线的方程:过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到

5、该直线距离二半径，即yiyok(xix°)byik(ax1).R21求解k,得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1,2)点作圆(x+1)2+(y2)2=4的切线，则切线方程为(2)过圆上一点的切线方程：圆(xa)2+(yb)2=r2,圆上一点为(x0,y(o),2则过此点的切线方程为(x。一a)(xa)+(yob)(yb)=r特别地，过圆x2y2r2上一点P(xo,y。)的切线方程为x°xy°yr2.22例2.经过点P(-4,8)点作圆(x+7)+(y+8)=9的切线，则切线万程为。7 .切点弦(1)过OC：(xa)2(yb)2r2外一点P(x。，y。)作OC

6、的两条切线，切点分别为A、B,则切点弦AB所在直线方程为：(x0a)(xa)(y0b)(yb)r28 .切线长：若圆的方程为(xa)2(yb)2=r2,则过圆外一点Rx°,y。)的切线长为d=，(x。a)2+(yob)2r2.9 .圆心的三个重要几何性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C：x2+y2-2x=0和圆Q：x2+y2+4y=0,试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、B,试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。、求圆的方程例1（06

7、重庆卷文）以点（2,1）为圆心且与直线3x4y50相切的圆的方程为（）一 22 一(A) (x 2) (y 1)3一 22 一(B)(x 2) (y 1)32）2 （y 1）29y2 2ay 0 （a 0）没有公共点，则a的取值范1）（C）（ .2 1,、. 2 1）（D）（0, ,2 1）三、切线问题例3 （06重庆卷理）过坐标原点且与圆 x2 y21(A) y 3x或 y -x(B) y 3x或 y3c1c(C) y 3x 或 y -x(D) y 3x 或 y3四、弦长问题例4 （06天津卷理）设直线ax，c 5 c 一 ， 一、,4x 2y 0相切的直线方程为（）21 x31 x32y

8、3 0与圆(x 1)22（y 2）4相交于A、B两点，且五、夹角问题例5 （06全国卷一文）从圆x2 2x y22 y 10外一点 P（3,2） 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）(A) 1(B) 3253(C)一2(D) 0(C)(x2)2(y1)29(D)(x二、位置关系问题例2(06安徽卷文)直线xy1与圆x2围是()(A)(0,21)(B)(、.21,.2六、圆心角问题例6（06全国卷二）过点（1,J2"）的直线l将圆（x2）2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k七、最值问题例7 （06湖南卷文）圆x20的最大距离与2y4x4y100上的点到

9、直线xy14最小距离的差是（）(A)30(B)18(C)6.2(D)5,2例8 （06湖南卷理）若圆x2八、综合问题y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l:axby0的距离为2J5,则直线l的斜率k取值范围圆的方程则t的取值范围是1.方程x2+y22(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(tR)表示圆方程A.-1<t<1B.-1<t<1C.-1<t<1D.1<t<27272. 一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2J7,求此圆的方程3. 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>

10、0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（）A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=04. （2004年全国口，8）在坐标平面内，与点A（1,2）距离为1,且与点B（3,1）距离为2的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条5. （2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称，则k=.6. （2004年全国卷W,16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x-4y-10=0的距离的最小值为.7. 已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）、的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.经过两已知圆的交点的圆系2222_例1.求经过两已知圆：xy4x60和xy4y60的交点且圆心的横坐标为的圆的方程。例2.设圆方程为：22(4)x2(4)y2(24)x(1240)y481640其中-4求证：不论为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系22例1：求由下列条件所决定圆xy4的圆的切线方程;经过点P(点1),经过点Q(3,0),斜率为1直线和圆1 .自点（一3,3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆2 2_.,xy4x4y70