反常积分与级数2

1、第九章 反常积分前面讨论的定积分，事实上有两个前提：积分区间是有限的；被积函数是有界的.但实际问题常常要突破这两个前提,要求我们将函数在区间上的定积分从不同方面予以推广.例如，将区间推广到无限区间，就有无限区间的反常积分，简称无穷积分；将区间的有界函数推广到无界函数，就有无界函数的反常积分，简称瑕积分.将被积函数由一元函数推广到多元函数就有含参变量积分，等等.第一节 无穷积分的性质与敛散性的判别一、无穷积分的概念引例 求曲线和直线及轴所围成的开口曲边梯形的面积.解: 在区间中任取一点,那么由轴、曲线及直线与所围图形的面积是可以用定积分计算的，即很自然，把极限1b当作所求曲边梯形的面积，写作 由

2、此可得一般的无穷积分的概念.定义9-1 设函数在区间连续,任取,则称极限为函数在区间上的反常积分(无穷积分).记作,即=若此极限存在,称无穷积分收敛. 若此极限不存在,则称无穷积分发散. 发散时仍用记号表示,但它不表示任何数.类似可定义函数在上的无穷积分为定义函数在上的无穷积分为其中为任意常数.当且仅当上式右端的两个无穷积分都收敛时,称无穷积分收敛,否则称无穷积分发散. 根据积分区间可加性，不难证明，上式的右端与数无关.为了方便常取=0.设是的一个原函数,并记, 则无穷积分可表示为=即得到了与牛顿-莱布尼茨公式相似的表达式,所不同的是与是一种极限运算,当极限存在时, 与表示极限值,当极限不存在

3、时与只是记号,不表示数值.因此无穷积分的敛散性,取决于极限与是否存在.显然,求无穷积分的基本思路是:先求定积分,再取极限.例1 计算下列无穷积分（1） （2） （3） （4）解: （1）=（2）=1（3）=+=（4）=1例2 判别无穷积分的敛散性（>0）解: 当时，有=当时，有于是，当时，无穷积分收敛，无穷积分（的值）是；当时，无穷积分发散.例3 判别无穷积分的敛散性解：当时，有=当时，有=于是，当时，无穷积分收敛，无穷积分（的值）是；当时，无穷积分发散.在上述三例中,无论是求无穷积分的值还是判别无穷积分的敛散性,都是首先求出被积函数的原函数,然后再取极限.显然用这种方法只有被积函数存在

4、初等函数的原函数才是可行的.如果被积函数的原函数不易求出或不是初等函数,上述方法不能使用.因此,要进一步讨论判别无穷积分敛散性和求无穷积分值的方法.二、无穷积分的性质下面讨论的无穷积分总是假设函数在区间有定义，且对于任意函数在上可积.由无穷积分的定义,无穷积分收敛当时,函数存在极限.于是,无穷积分也有柯西收敛准则:定理9-1 (柯西收敛准则) 无穷积分收敛的充分必要条件是:对于任给正数,存在,当， 时，有 .推论1 若无穷积分收敛，则证明：根据定理1，与，有.令,即或.推论2 若无穷积分收敛,则无穷积分也收敛.证明: 根据定理1，与，有从而,有即无穷积分收敛.推论3 无穷积分收敛,无穷积分也收

5、敛.读者自证.定理9-2 若无穷积分收敛,则无穷积分也收敛,其中是常数,且=定理9-3 若无穷积分与都收敛，则无穷积分也收敛，且=定理9-4 若函数与在区间上存在连续导数，极限存在，且无穷积分收敛，则无穷积分也收敛，有=或.这是无穷积分的分部积分公式.定理9-5 若函数在区间上连续，无穷积分收敛，且函数在严格增加（或减少），存在连续导数，而，则.这是无穷积分的换元公式.例4 求无穷积分解：根据定理4，有=1=.有 2K=1 或 ， 即例5 求无穷积分解：设 则.根据定理5,有=三、无穷积分敛散性的判别法1、非负函数无穷积分收敛的判别法定理9-6 （非负函数无穷积分判别法）无穷积分，收敛的充分必

6、要条件是：存在正数M，对一切，有证明：由于，所以函数是单调递增函数，故收敛的充要条件是函数在上有界，即定理9-7 （比较判别法）设定义在上的正值函数与在任何区间上都可积，若存在正数c(c>a)及k,当x>c时，有， k>0， 当收敛时，也收敛； 当发散时，也发散.证明： 若收敛，则也收敛.又因,根据定理6,存在M>0,对一切u>c, 有 ,由条件当x>c时, ,所以当u>c时,有所以, 无穷积分收敛,从而也收敛. 是的逆否命题,所以成立.例6 判别的收敛性解：显然，由于收敛，因此，收敛.例7 设,是上的非负连续函数,证明: 若和收敛,则收敛.证明： 由

7、于 , 而=收敛,因此, 收敛.推论4 若，且，则 当时，与同时收敛或同时发散. 当L=0, 且收敛时,则也收敛;当L=,且发散时, 则也发散.证明：由假设>0，对，总存在c>a,当时，有或，即 又因为>0，故当时，有.若收敛,由式,当时,有 .根据比较判别法,无穷积分也收敛.若发散,由式, 当时，有,根据比较判别法,无穷积分也发散. 由,存在c>a, 当时，有 ,即, .根据比较判别法,若收敛时, 也收敛. , 必存在c>a, 当时，有 或 .根据比较判别法, 若发散时, 也发散.推论5 设，且，则 当，p>1时，收敛； 当， p1时, 发散.证明： 令或

8、，由例2，当p>1时，收敛，根据推论4,当时，收敛. 由例2, p1时, 发散,再根据推论4,当时, 也发散.例8 证明收敛.证明：因为，根据推论5，无穷积分收敛.例9 证明收敛.证法1：当x>1时，有由于，收敛，根据比较判别法，也收敛.证法2： 令 ，x>1，于是，.根据推论5, 收敛.2、一般函数无穷积分收敛的判别法.定义9-2 若无穷积分收敛，则称无穷积分绝对收敛.若无穷积分收敛,而发散, 则称无穷积分条件收敛.定理9-8 (狄利克雷判别法) 若在上有界, 在上当时,单调趋于0,则收敛.证明： 设, ,由于, , 故,时, . 因为g为单调函数,由积分第二中值定理,对

9、任意的, 使得于是, =<因此,由柯西准则, 收敛.定理9-9 （阿贝尔判别法） 若收敛，在上单调有界，则收敛.证明：因在上单调有界，故存在A，使令 ，则在上单调趋于0. 又因收敛, 故在上有界,由狄利克雷判别法, 收敛,所以,=+A 收敛.例10 讨论与 （p>0）的收敛性.解：当p>1时，收敛，由于， 因此，绝对收敛.若, 则当时,而单调趋于0, 因此, 由狄利克雷判别法知, 收敛.另一方面, ,其中, 满足狄利克雷判别法的条件,是收敛的.而, 发散, 因此, 发散.总之, 当时, 条件收敛;当时, 绝对收敛.类似可证, 当时, 条件收敛;当时, 绝对收敛.第二节 瑕积分

10、的性质与敛散性的判别一、瑕积分的概念本节讨论无界函数的积分，即瑕积分.若函数在点b的任意领域无界,则称b是函数的瑕点.例如:a是函数的瑕点. -1和1都是函数的瑕点.定义9-2设函数在区间上连续,而,取称极限为函数在区间上的反常积分(瑕积分).记作,即=若此极限存在,称反常积分收敛. 若此极限不存在,则称反常积分发散. 发散时仍用记号表示.类似可定义: =其中为瑕点,=+=+其中为瑕点,当上式右端的两个反常积分都收敛时,称反常积分收敛,否则发散.例1 求下列瑕积分 解： 为被积函数的瑕点, 有= 是为被积函数的瑕点, 则=+=+=+=+=是为被积函数lnx的瑕点, 则=-1.例2 判别瑕积分的

11、敛散性.解：为被积函数的瑕点, 有=.即, 瑕积分发散.例3 判别瑕积分的敛散性 （a<b）解：当时，是被积函数的瑕点.当,有 ,=当,有 =.于是,当时,瑕积分收敛,其瑕积分(的值)是;当时, 瑕积分发散.二、瑕积分的性质与收敛判别法瑕积分的性质与收敛判别法与无穷积分的性质与收敛判别法相类似，因此，下面只给出瑕积分的性质与收敛判别法的几个重要结果，并举例加以应用，再不进行重复论证.定理9- （柯西收敛准则）瑕积分（a为瑕点）收敛的充要条件是：对任给的正数,存在正数,当时，有 .推论1 瑕积分收敛的充要条件是：对任何，瑕积分收敛.推论2 若瑕积分收敛，则瑕积分收敛.定理2 设正值函数在包

12、含于内的任何闭区间上都可积，则瑕积分收敛的充要条件是：存在正数M，对任何，有.定理3 （比较原则）设定义在上的正值函数与在任何区间（u>a）上可积，且则 当瑕积分收敛时，瑕积分也收敛；当瑕积分收敛时，瑕积分也收敛.推论3 设，且则 当时，瑕积分与同时收敛或同时发散； 当L=0, 且瑕积分收敛时,则也收敛;当L=,且发散时, 则也发散.推论4 设且，则 当，时，收敛； 当， p1时, 发散.利用 ()，可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.以上判别法都是以为瑕点的情形给出,读者不难仿此给出以为瑕点的判别法.例4 判别瑕积分的敛散性.解: 是为被积函数的瑕点, 由=1根据推论4, 瑕积分收敛.

13、例5 判别瑕积分的敛散性.解: 是瑕点, 由,根据洛比达法则,有=0根据推论4,这个瑕积分收敛.第十章 数项级数无穷级数的理论不仅是研究函数的一个重要工具，而且对微积分学的进一步发展及讨论微分方程的解都是十分重要的.第一节 数项级数的敛散性一、级数收敛与发散的概念.定义1 把一个数列: 的项依次用加号连接起来,得到表达式: （1）简写为即=称为无穷数项级数,简称级数,其中称为级数(1)的项,为级数的第项或通项.定义2 设级数(1)前n项的和是,即称为级数(1)的项部分和.当n趋于无限大时,可构造出另一个无穷数列,即, , , （2）定义3 若级数(1)的部分和数列（2）收敛,并设,则称级数(1

14、)收敛.其和为S,记作 ,即.若部分和数列（2）发散，则称级数（1）发散.此时级数（1）没有和.定义4 若级数收敛，其和是S，而s-表为即，称为收敛级数的项余和，简称余和.显然，有.其中是公比.例1 讨论几何级数的敛散性.其中是公比.解：1）当时，已知几何级数的前n项和是=，这时，有 当时，因为，所以=.因此，当时，几何级数收敛，其和是,即 当时，因为，所以，因此，当时，几何级数发散.2)当时,也分两种情形讨论:若r=1, 级数的前n项和是=,因为a为非零常数,所以,因此,当r=1时, 几何级数发散.若r=-1, 几何级数变成为,其前n项和是n为偶数n为奇数=因此,当r=-1时, 几何级数也发

15、散.综上所述，当时，几何级数收敛，其和是，当时，几何级数发散. 例2 证明级数收敛，并求其和.证明：因为对任何n，有，所以，=，从而有.故级数收敛, 其和是1.例3 证明级数， 收敛，并求其和.证明：因为=， （3）对（3）式两边同乘以r，得r= （4）由（3）式两边分别减去（4）式两边，得- r=， （5） 由（5）式得=.又因时, ,所以有=,故级数收敛, 其和是.二、收敛级数的性质 定理1 （柯西收敛准则） 级数收敛.根据定理1的必要性,若级数收敛,则取p=1,有,于是,有推论1 若级数收敛，则.推论1的等价命题是，若，则级数发散.例如,级数=因为, =,所以级数发散.注: 仅是级数收敛

16、的必要条件而不是充分条件,即,级数也可能发散.推论2 若去掉、添加或改变级数的有限项,则不改变级数的敛散性.例如,去掉发散级数的前面100项,而级数仍是发散的.定理2 若级数收敛,其和是S,则级数也收敛,其和是,其中是常数(0).证明：设级数与 的n项部分和分别是与，有=.已知,有,即级数收敛,其和是.定理2的结果可改写为=c,即收敛级数(无限个数的和)满足数(非零)的分配律.定理3 若级数收敛,其和是,则不改变级 数每项的位置,按原来的顺序将某些项结合在一起,构成的新的级数 (3)也收敛,其和也是.证明: 设级数的n项部分和是,新级数 (3)的k项部分和是,有=即新级数 (3)的部分和数列是

17、级数的部分和数列的子数列.已知,则.于是, 新级数 (3)收敛, 其和也是.定理3说明:收敛级数(无限个数的和)满足结合律.注:一个级数的项经过结合之后构成的新级数收敛,去掉括号之后的级数(即原级数)不一定收敛.例如,级数收敛于0,但去掉括号之后的级数却是发散的.定理4 若级数与都收敛.其和分别是和, 则级数+.也收敛.其和是.证明: 设级数,与的n项部分和分别是，有=.已知与,有=即级数收敛，其和是.例4 判定级数的敛散性.解: 因为=所以级数发散.例5 讨论级数的敛散性.解:因为=而当时,通项的极限不存在.故此极限发散.例6 利用柯西收敛准则证明调和级数发散.证明: 因为,于是令p=n,有

18、=由于上式对任何自然数n都成立,因此只要取,对任何自然数N,存在自然数nN及自然数p=n,有.所以不满足柯西收敛准则的条件,故调和级数发散.第二节 同号级数定义1 一个级数,若则称级数为正项级数; 若则称级数为负项级数. 正项级数与负项级数统称为同号级数.这一节我们讨论同号级数的敛散性.将负项级数的每一项乘以-1, 负项级数就变成了正项级数,根据定理2, 负项级数与正项级数有相同的敛散性,因此,对同号级数的敛散性,只要讨论正项级数的敛散性就可以了.对于正项级数,它的部分和数列是一个非负的单调递增数列.根据数列的单调有界原理,可直接得到下面的定理.定理1 正项级数收敛它的部分和数列有上界.例1

19、证明正项级数=收敛.证明：因为,当时,有所以,对任何,有=.因此部分和数列有上界,从而级数收敛.定理2 (比较判别法) 设 与是两个正项级数，且有，是正常数.1) 若级数收敛，则级数也收敛.2) 若级数发散，则级数也发散.证明1）设 级数与的部分和数列分别是与，由条件，有=（1）因级数收敛，由定理1知数列有上界，由不等式（1）知也必有上界，再根据定理1知级数也收敛.2) 若级数发散，则数列无上界. 由不等式（1）知也无上界,则级数也发散.例2 证明级数发散.证明：因为对任何自然数,有.又因为调和级数发散,所以级数也发散.例3 证明级数收敛，其中取1,2,3，9中的某一个.证明：由于,=1,2,

20、3,9又因为级数,所以由定理2知级数收敛.推论 (比较判别法的极限形式)有两个正项级数与（，且.1) 若级数收敛，且，则级数也收敛；2) 若级数发散，且，则级数也发散.例4 讨论级数的敛散性.解：分两种情况考虑：1）当时，有，因为级数发散，根据定理2，级数发散.2)当时,级数,具体证明如下:首先,作辅助函数,此函数在区间上连续可导,由拉格朗日中值定理,得,=1,2,或. (2)又因 (3)根据(2)式与(3)式,有=. (4)其次,我们证明级数收敛,因为此级数的前项和是=,又因,所以有.于是,级数收敛得证.最后,根据定理2及不等式(4),知时, 级数收敛.例5 判别下列正项级数的敛散性.1)

21、, 2) , 3) 解:1)因为.已知广义调和级数收敛,根据定理2,级数收敛.2)取,有=0,已知级数收敛,所以,级数也收敛.3) 取,有已知级数发散,根据定理2的推论,级数也发散.定理3 柯西判别法（根式判别法）对正项级数,若有1) <1, (p是常数)，则级数收敛;2) 则级数发散.证明：1)因为当时，有，或，又已知几何级数收敛，于是级数收敛.2)当时,有即不趋近于0,于是级数发散.推论 （柯西判别法的极限形式）: 有正项级数,若 则1) 时,级数收敛;2) 时,级数发散.证明：1）取正数k，使，由已知条件，对正数，存在自然数N，当时，有，或，于是，当时，有，根据定理4，级数收敛.2

22、）当时, 存在自然数N，当时，有或,根据定理4，级数发散.例6 判别下列正项级数的敛散性.1）, 2） （）, 3) 解：1）因为，所以级数收敛.2)因为对任给,有所以级数对所有正实数都收敛.3) .级数发散.定理4 达朗贝尔判别法(比值判别法)有正项级数(,1) 若有(常数)<1,则级数收敛;2) 若有, 则级数发散.证明：1）不妨设，有或.=1, ,=2, ,=3, , =k, , 已知几何级数收敛,则级数收敛.2)已知,有或,即正数数列从项以后单调增加, 不趋近于0,则级数发散.推论 (达朗贝尔判别法的极限形式) 有正项级数，且.1) 若则级数收敛；2) 若则级数发散.证明:1).

23、由数列极限定义,有或.根据比值判别法,级数收敛.2)已知根据数列极限的保号性,有.根据比值判别法,级数发散.例7 判别下列正项级数的敛散性.1）， 2) , 3) , 4) ()解：1）,所以,级数收敛.2) =，所以,级数收敛.3) ,所以,级数发散.4) ,根据比值判别法的推论,当时,级数收敛,当时,级数发散.定理5 积分判别法：如果在上非负且单调减少，其中是某个自然数，那么级数和积分同时敛散.证明: 因为在上单调减少,所以.由于,故级数和积分或者收敛或者取值.因此,上式当时可变成.由此可见,级数收敛收敛.例8 讨论的敛散性，其中.解：取,它在上非负且单调减少,由于 ,可见,上述积分当时收

24、敛;当时发散.根据积分判别法, 级数也在时收敛;在时发散.第三节 一般项级数本节讨论一般项级数,即变号级数,也就是级数既有无穷多个正项,又有无穷多个负项.一、交错级数及其收敛判别法定义1 级数-+-+，称为交错级数.判别交错级数的收敛性有下面的判别法:定理1 (莱布尼茨判别法)有交错级数,若1） 2）.则交错级数收敛，且，其中分别是交错级数的和，项部分和与余和.证明:用表示交错级数的前项和数列,下面我们分别考察的两个子列与的极限.首先,讨论子列,当时,有=+=+于是,有-=.由知的子数列单调递增.另一方面,=-+-+=-(-)-(-)-(.因为右端括号里的每一项都非负,所以,因此子列有界,根据

25、单调有界原理, 子列数列.设. (1)其次,由=+及,得=+. (2)(1)、(2)两式表明,数列的偶次项与奇次项不仅都收敛,而且极限相同,所以数列也收敛,其极限是,即.故级数收敛.例1 讨论级数的敛散性.解：因为且根据定理1,交错级数收敛.例2 讨论级数的敛散性.解:因为所以或,又因,根据定理1,交错级数收敛.二、绝对收敛与条件收敛定义2 若级数收敛，则称级数绝对收敛；若级数收敛，而级数却发散，则称级数条件收敛.定理2 若级数收敛，则级数也收敛.证明：已知级数收敛，根据级数的柯西收敛准则，有+.从而,有+,即级数收敛.注:这个定理的逆命题不真,即若级数收敛,但级数不一定收敛.例如,虽然级数收

26、敛,但级数=却发散.例3 讨论下列变号级数的绝对收敛性：1）； 2）； 3）解:1) =，有=。已知正项级数收敛，根据定理2，级数收敛，且绝对收敛.2) =+-，有.已知正项级数收敛，根据定理2，级数收敛,且绝对收敛.3) ,有,且.根据莱布尼茨判别法,(交错)级数收敛.而正项级数=(p级数, )发散,从而级数条件收敛.判别级数的绝对收敛可归结为判别正项级数的收敛,判别变号级数的条件收敛,有下面两个判别法.这两个判别法要用到一个引理,通常称为阿贝尔变换.引理 （阿贝尔变换）设与(k=1，2，,n)是两组数，（）.若,且有,则.定理3 (狄利克雷判别法) 若数列单调减少,且级数的部分和数列有界,

27、即 有 则级数收敛.证明：，有.根据引理,有.已知,即有或于是, ,有.根据柯西收敛准则,级数收敛.不难看到，判别交错级数收敛的莱布尼茨判别法只是狄利克雷判别法的特殊情况.事实上,若数列单调减少,且,而级数的部分和数列有界,即n是偶数n是奇数 根据狄利克雷判别法，交错级数收敛.定理4 （阿贝尔判别法） 若数列是单调有界，而级数收敛.则级数收敛.证明：若数列单调减少有下界,则数列收敛,设.从而数列是单调减少的,且.已知级数收敛,则它的部分和数列必有界.根据狄利克雷判别法,级数收敛.已知级数收敛.再根据前面定理,级数=+收敛.若数列单调增加有上界,则数列是单调减少有下界.利用上面结果, 级数收敛,

28、于是级数收敛.例4 设数列单调减少，且。讨论下列级数的收敛性：1）； 2）.解：1）级数的部分和=，有，即，部分和数列有界.根据狄利克雷判别法,级数收敛.,有,显然,级数也收敛.于是, 级数收敛.2)级数的部分和=.,有,即,部分和数列有界,根据狄利克雷判别法,级数收敛.,有,级数=.于是,级数与同时收敛,同时发散.由例4知:,级数与都收敛.,级数与都收敛.例5 判别下列级数绝对收敛与条件收敛:1) ; 2) ,p是参数，且.解: 1)正项级数=发散,事实上,有.已知级数发散,根据比较判别法的推论, 正项级数发散.已知交错级数收敛,而数列严格减少有下界.根据阿贝尔判别法,级数.于是,级数条件收

29、敛.2),有.已知级数收敛,于是,级数绝对收敛.,由上例知,级数收敛.又因为.已知级数发散, 收敛,则级数发散,从而级数发散.于是,当时,级数条件收敛.三、绝对收敛级数的性质1、交换律性质1 若级数绝对收敛，其和为，则任意交换级数的项，得到的新级数也绝对收敛，其和也为.2、结合律性质2 若级数与都绝对收敛, 其和分别是与,则它们的乘积也绝对收敛, 其和为.其中=第十一章 函数列与函数项级数本章我们将数列与数项级数推广到更为一般的情形,即函数列与函数项级数. 函数项级数的理论是无穷级数的重要内容.第一节 收敛概念一、函数列的收敛概念数项级数的收敛概念是建立在数列的基础上，同样，函数项级数的收敛概

30、念是建立在函数列的基础上因此我们首先讨论函数列的收敛概念定义1 设函数列的每个函数在区间I有定义.，数列收敛，设它的极限是，即，有 ，则称函数列在区间收敛于，并称是函数列的极限函数对于,若函数列收敛,则称函数列在收敛, 称为函数列的收敛点; 若函数列发散, 则称函数列在发散, 称为函数列的发散点.函数列的全体收敛点（或发散点）的集合，称为函数列的收敛域（或发散域）.例1 求函数列的收敛域与极限函数.解: 因为对任意,总有,故对任给,只要,就有,所以函数列的收敛域为,又,所以极限函数是=0.例2 求函数列的收敛域与极限函数.解: 1)当时，=0；当，所以函数列在，处收敛； 2）当时，因为=，所以

31、对任给，只要取，当时，有，故函数列在内收敛且极限函数是.3)当,时,由于函数列发散,所以函数列也发散.综上所述, 函数列的收敛域为,其极限函数是=对收敛的函数列,我们不仅要确定它的收敛域,找出它的极限函数,更重要的是研究极限函数的解析性质(连续性、可微性、可积性).由上例看出,仅有函数列的收敛概念,由函数列的连续还保证不了它的极限函数的连续性.为此,提出下面的一致收敛概念.定义2 设函数列在区间收敛于极限函数.若存在，有,称函数列在区间I一致收敛或一致收敛于极限函数.例3 明函数列：1）在区间一致收敛；2）在区间非一致收敛.证明：,有.即函数列在的极限函数.1) ,要使不等式=,成立,从不等式

32、,解得,取.于是,有,即函数列在区间一致收敛.2), ,有=即函数列在非一致收敛.二、函数项级数的收敛概念定义3 设函数列中的每个函数都定义在数集上，将它们用加号连结起来，即 (1)就是定义在数集上的函数级数.函数级数(1)的前项和就是函数级数(1)的项部分和，简称部分和.若对, 函数级数收敛，则称函数项级数在点收敛, 称为它的收敛点; 若函数项级数在点发散,称为它的发散点.全体收敛点（或发散点）的集合，称为函数项级数的收敛域（或发散域）.显然，函数级数（1）在收敛域的每个点都有和，于是，函数级数（1）的和是定义在收敛域的函数，设此函数是，即或=称是函数级数（1）在收敛域的和函数.函数级数（1

33、）的和函数与它的项部分和的差,表为,即=-=称为函数级数（1）的第项余和.对收敛域的任意,有例4 求几何级数=,的收敛域与和函数.解：函数级数是几何级数,公比是.已知当时, 函数级数发散;当时, 函数级数收敛,和函数=,即=于是,它的收敛域是收敛区间,和函数函数=.例5 求函数级数的收敛域及和函数.解：因为是几何级数, 公比是,所以有=.1)当,即时,有,于是;2)当,即时,有,.3)当,即,时,有=于是,当时, 函数列收敛,且0,当,函数列发散.综上所述,有=不难看出，尽管函数项级数的每一项都是连续函数，但它的和函数却不一定连续.为了能保证,的解析性质“遗传”给它的和函数,下面给出函数项级数

34、一致收敛的概念.定义4 设函数级数在区间收敛于和函数，若（通用），有 ,则称函数级数在区间一致收敛或一致收敛于和函数.由此可见, 函数级数一致收敛,等价于函数列一致收敛,也等价于一致收敛于0.例6 证明函数级数,1)在(其中)一致收敛;2)在非一致收敛.证明: ，有=.1) ,要使不等式=成立,从不等式,解得,取.于是,有.即函数级数在一致收敛.2), ,有=,(因为,所以,使),即函数级数在非一致收敛.第二节 一致收敛的判别法一致收敛对讨论极限函数或和函数的解析性质是很重要的,但要用定义去判定,首先要知道它的极限函数或和函数,对函数项级数还要能写出它的前项和的表达式.然而这些要求除了很少一部

35、分函数列或函数项级数能做到外,绝大部分是困难的,甚至根本做不到.为此,就必须寻求不需要事先知道函数列的极限函数与函数项级数的和函数,仅根据函数列或函数项级数本身的特点,就可以直接判定它是否一致收敛的判别法.一、函数列一致收敛的判别法 定理1 (柯西一致收敛准则)：函数列在区间一致收敛，,，有一般来说, 函数列在区间收敛,它的极限函数较易求得.因此判别函数列在区间的一致收敛性经常使用如下的判别法:定理2 函数列在区间一致收敛于极限函数证明: 必要性已知函数列在区间一致收敛于极限函数,即,有，从而，即.充分性（）已知，即，有.从而, ,有.即函数列在区间一致收敛于极限函数.例1 判别下列函数列在区

36、间的一致收敛性：1）； 2）解：1），有，即极限函数=.=.显然, ,即函数列在区间一致收敛.2) ，有,即极限函数.设函数=.函数在闭区间连续,必取最大值.=.令=0,解得稳定点1与.=0,.于是, 是函数的极大点,最大值(极大值)是,有=,即函数列在非一致收敛.二、函数项级数一致收敛的判别法定理3 (柯西一致收敛准则)：函数级数在区间一致收敛，有证明：必要性已知函数级数在区间一致收敛,设其和函数是,即,有.也有.于是,=+.充分性（）已知,有=,从而, 函数级数在区间收敛, 设其和函数是.因为是任意自然数,所以当时,由上述不等式,有,即函数级数在区间一致收敛.定理4 （判别法）有函数级数，

37、是区间.若,，有，且级数收敛，则函数级数在区间 一致收敛.证明：已知级数收敛,根据柯西收敛准则,即,有,由已知条件, ,有+,即函数级数在区间 一致收敛.例2 讨论函数级数在区间的一致收敛性.解:应用柯西一致收敛准则, ,即,要使不等式=成立，从不等式，解得.取.于是,有,即函数级数在区间的一致收敛.例3 证明：1）在区间一致收敛;2) 在一致收敛.证明:1) ,即,有=.已知级数收敛,根据定理4,函数级数在区间一致收敛.2) ,有.已知级数收敛,根据定理4,函数级数在一致收敛.注：-判别法是判别函数级数一致收敛的很简单的判别法，但是这个方法有很大的局限性，凡能用-判别法判别函数级数是一致收敛

38、，此函数级数必是绝对收敛；如果此函数不是绝对收敛，而是条件收敛，那么就不能使用-判别法.对于条件收敛的函数级数,判别其一致收敛,有下面的狄利克雷和阿贝尔判别法.首先给出下面结几个概念:设函数列的每个函数都在数集有定义.1) 若,有,则称函数列在一致有界.2) 若,有,则称函数列在一致收敛于0.3)若，数列单调增加（单调减少），则称函数列在单调增加（单调减少）. 单调增加或单调减少,统称为单调.定理5 （狄利克雷判别法）若函数列在区间单调减少一致收敛于0,且函数级数的部分和函数列在区间一致有界，则函数级数在区间一致收敛.证明:已知函数列一致收敛于0,即 ,有. .又已知函数级数的部分和函数列在区

39、间一致有界,即,有.从而, 有=.根据阿贝尔变换, ,有.于是, ,有,即函数级数在区间一致收敛.定理6 （阿贝尔判别法）若函数列在区间单调一致有界，且函数级数在区间一致收敛，则函数级数在区间一致收敛.证明：不妨设函数列在区间单调减少。已知它在区间一致有界，即,有.有.从而, ,有.又已知函数级数在区间一致收敛,即,有.根据阿贝尔变换,有,即函数级数在区间一致收敛.已知函数级数在区间一致收敛;两个函数级数在区间都一致收敛,它们的“差”在区间也一致收敛.因此，函数级数=-在区间一致收敛.例4 证明:若函数级数在收敛,则它在区间一致收敛.证明:将函数级数改写为=.已知级数收敛,从而它在区间也是一致

40、收敛,且函数列在单调减少,又一致有界,即,有.根据阿贝尔判别法,函数级数在区间一致收敛.例5 证明：函数级数在区间一致收敛.证明：,，有.即函数级数的部分和函数列在一致有界,而数列单调减少趋近于0(当然在也是一致收敛于0).根据狄利克雷判别法,函数级数在区间一致收敛.第三节 一致收敛函数列与函数项级数的性质本节我们将要证明，只要函数列（函数项级数）一致收敛，就可以保证它们的解析性质“遗传”给极限函数（和函数）.定理1 (和函数的连续性) 函数级数在区间一致收敛于和函数，且在区间连续，则和函数在区间也连续证明: ,已知函数级数在区间一致收敛于和函数,即,有.取定自然数,有.从而, 已知部分和函数

41、在区间连续, 从而在必连续,即对上述同样,:,有.于是, =+<+=.即和函数在连续, 从而和函数在区间连续.,定理1可写成=.定理1指出,在函数级数一致收敛的条件下,极限运算与无限和运算可以交换次序.定理1 (极限函数的连续性) 若函数列在区间一致收敛于极限函数在区间连续，则极限函数在区间连续证明略.定理2 （逐项积分）若函数级数在一致收敛于和函数，且在连续，则和函数在可积，且简称逐项积分证法：由于=.只须证明, ,有.估算要用到函数级数在一致收敛于和函数.证明:根据定理1, 和函数在连续,从而和函数在可积.已知函数级数在一致收敛于和函数,即,有.于是,=,即.定理2可改写成.定理2指

42、出,在函数级数一致收敛的条件下,定积分运算与无限和运算可以交换次序.定理3 (可积性)若函数列在一致收敛于极限函数，且在连续，则极限函数在可积，且或. 简称积分号下取极限.证明略.定理3 (逐项微分)若函数级数在区间满足下列条件：1) 收敛于和函数，即；2) 有连续导函数；3) 导函数的函数级数一致收敛；则和函数在区间有连续导函数，且.简称逐项微分证明：已知函数级数在区间满足定理1的条件，于是它有和函数，且，有=在区间连续.任意取定,根据定理2,有=-=-.上述等式的两端对求导数,有=.即和函数在区间有连续导函数,且=.定理3指出,在函数级数一致收敛的条件下,求导运算与无限和运算可以交换次序.

43、定理4 (极限函数的可微性)若函数列在区间满足下列条件：1) 收敛于极限函数，即2) 有连续导函数；3) 导函数的函数数列一致收敛，则极限函数在区间有连续导函数，且或. 简称微分号下取极限.证明从略.例1 讨论函数项级数,在上的解析性质.解:因为,根据判别法, 在上一致收敛.设其和函数是,即=,由定理1知,函数在上连续, 由定理2知在上可积,且=.由于,，所以有.又因为,且,已知收敛,根据判别法, 在上一致收敛, 由定理3知在上可导,且=-,.例2 讨论函数项级数,的解析性质.解:因为,所以此函数项级数一致收敛.设其和函数是,即=,由定理1知, 函数在上连续, 由定理2知在任一个闭区间上逐项可

44、积.但因,及对任何,所以函数项级数在上发散,因此不能逐项求导.第十二章 幂级数幂级数是把多项式直接推广到无限情形而获得的一类特殊的函数项级数.因此,它的结构简单,应用广泛.除了一般的函数项级数所具有的性质外,在一定范围内,它还具有多项式的性质.第一节 幂级数的性质一、幂级数的收敛域形如= （1）的函数项级数称为幂级数.其中叫做幂级数的系数.下面着重讨论当的情形，即= （2）的性质.这既能把问题简单化，又不失一般性.因为只要作一个简单的线性变换，令，级数(1)就可以变成级数(2),反之亦真.显然,任意幂级数(2)在0都收敛.关于幂级数(2)的收敛有下面的定理:定理1 (阿贝尔第一定理) 对于幂级

45、数1） 若在收敛，则幂级数（2）在都绝对敛；2） 若在发散，则幂级数（2）在都发散证明:1)已知级数收敛,由数列的必要条件,有.从而,数列有界，即，有.:,即,有.已知几何级数收敛.于是,幂级数(2)在:都绝对敛.(2)用反证法:假设:,幂级数(2)在收敛,由1), 幂级数(2)在(绝对)收敛,与已知条件矛盾,即幂级数(2)在都发散.定理1指出, 幂级数(2)的收敛点与发散点在数轴上不能混杂交错出现.由此不难想到,若幂级数(2)既有非0的收敛点又有发散点,那么数轴上必存在关于原点对称的两个点与,它们是幂级数(2)的收敛点集与发散点集的分界点.显然,这个正数就是幂级数(2)的收敛点集的上确界,即

46、=.不难证明, 幂级数(2) 在绝对收敛;在发散.这个称为幂级数(2)的收敛半径.我们作如下的规定:若幂级数(2)仅在原点收敛，则它的收敛半径=0；若幂级数(2)在收敛，则它的收敛半径=.于是,任意幂级数都有唯一一个收敛半径.设幂级数(2)的收敛半径是,那么幂级数(2) 都绝对敛.在开区间的两个端点-与,幂级数(2)可能收敛也可能发散,将由幂级数(2)本身确定.因此幂级数(2)的收敛域必是收敛区间,只能是四类区间: ,之一.幂级数(2),即,由它的系数行列式所确定.因此幂级数(2)的收敛半径也必由它的系数行列式唯一确定.怎样求幂级数(2)的收敛半径呢?有下面定理:定理2 对幂级数，若，则幂级数

47、的收敛半径证明:讨论正项级数.根据达朗贝尔判别法,有,.1)，当或，幂级数(2)绝对收敛；当或，幂级数(2)发散.于是，收敛半径=.2),有,即,幂级数(2)绝对收敛.于是, 收敛半径.3) ,且,有,即,幂级数(2)发散.于是, 收敛半径=0.例1 求幂级数的收敛半径,并讨论收敛区间.解:已知,.=1.于是, 收敛半径=1.幂级数在区间端点的敛散性分别讨论:当时,级数变成调和级数,所以发散;当时, 级数变成交错级数,所以级数条件收敛.于是,幂级数的收敛区间是.例2 求幂级数的收敛半径及收敛域.解:已知,.=.于是,收敛半径=0,即仅在0收敛,收敛域是.例3 求幂级数的收敛半径,并讨论收敛区间

48、.解:令,则=.已知,.=1,即幂级数的收敛半径=1.时, 幂级数都收敛.因此幂级数的收敛区间是.又因,即,所以幂级数的收敛区间是.下面讨论幂级数的一致收敛性.定理3 (阿贝尔第二定理) 若幂级数的收敛半径，则它在任意闭区间上都一致收敛.(简称内闭一致收敛).证明:,即, ,有.已知级数收敛,根据判别法,幂级数在闭区间一致收敛.由此可见,虽然幂级数在其收敛区间不一定一致收敛,但是它在收敛区间的任意闭区间内都一致收敛.二、幂级数的解析性质上一章在讲一般函数项级数时,我们得到了一个很重要的结果:即函数项级数的一致收敛可以保证它的解析性质具有“遗传”性.本章定理3也告诉我们幂级数在它的收敛区间内闭一

49、致收敛,自然可推得幂级数在它的收敛域内的解析性质也可以“遗传”给它的和函数.下面给出具体的证明.定理4 若幂级数的收敛半径，则它的和函数在其收敛区间内连续.证明: ,即,总存在,使得,从而有,根据定理3,幂级数在上一致收敛,再根据和函数连续性定理,幂级数的和函数在点连续.又因是在中任意取的,所以和函数在内的每一点都连续.定理5 若幂级数的收敛半径，则它的和函数在其收敛区间内的任一闭区间上可积,且可逐项积分,即=.证明:因为,所以幂级数在上一致收敛,因此有=.特别是,对,有=.定理6 若幂级数的收敛半径，则它的和函数在其收敛区间内可导, 且可逐项微分,即=.证明:首先,证明幂级数与有相同的收敛半

50、径.由,有,根据定理2,所以幂级数与有相同的收敛半径=.其次,证明=,.因幂级数在区间内收敛,所以对任意,总存在,使得,即,根据定理3, 幂级数在闭区间上一致收敛.因此幂级数在上逐项可微,当然在点可微,再根据点在内的任意性,所以=,.推论 幂级数的和函数是,在其收敛区间内存在任意阶导数,且=,=,一般情形=,.由定理16看到, 幂级数的（收敛半径）具有以下性质：1. 收敛域是以原点为心的区间（可能是开区间、闭区间、半开半闭区间，特殊情况可能是或退化为原点）.2. 在区间内闭一致收敛3. 和函数在区间连续.4. 和函数在任意闭区间可积，且可逐项微分,特别是，由0到可逐项积分，得到的幂级数的收敛半径也是5. 和函数在区间存在任意阶导函数，且可逐项微分，逐项微分得到的幂级数的收敛半径也是例4 求幂级数在收敛区间内的和函数.解:设幂级数的和函数是,即=, ,根据定理6,幂级数在区间内可逐项微分,于是=, ,对上式两边积分,得=, ,从而=,又因=0,所以=, .例5 求幂级数的和函数.解:不难计算幂