(完整版)裂项相消法求和附答案

1、裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。1 1 1 1（1）若是 an等差数列，则.( )ana d a an 1 n n 11 1 1 1, .( )ana 2d a an 2 n n 2（2）1n（n 1）1nn111 1 1 1（3） )(n(n k) k n n k1 1 1 1（4） )(（2n 1（) 2n 1） 2 2n 1 2n 11 1 1 1（5） n(n 1)( n 2) 2 n(n 1) (n 1)( n 2)（6） n n 1

2、n1n 11 1（7） ( )n k n kn n k1. 已知数列 的前 n项和为， （1）求数列 的通项公式；（2）设，求数列 的前 n项和为解析 (1) 时, 得 :第 1页共 14 页即 分 3在 中令 , 有 , 即 ， 分 5故对2. 已知 an是公差为d 的等差数列，它的前 n项和为Sn，S4=2S2+8（）求公差 d 的值；（ ）若 a1=1，设Tn 是数列 的前 n项和，求使不等式 Tn对所有的 nN*恒成立的最大正整数 m 的值；解析（）设数列 an的公差为d， 4S=2S2+8，即 4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得： 4d=8，解得 d=2 分 4（）由 a1

3、=1，d=2，得 an=2n-1， 分 5 = 分 6 nT= ， 分 8又 不等式 Tn对所有的 nN*恒成立，第 2页共 14 页 ， 分 10化简得： m2-5m -6 0，解得： -1 m6 m的最大正整数值为6 分 123. )已知各项均不相同的等差数列 a n的前四项和 S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列 .( 求) 数列 an的通项公式 ;( 设) Tn为数列 的前 n项和,求 T2 012 的值.答案 ( 设)公差为d,由已知得 (3 分)解得 d=1 或 d=0(舍去 ), 1a=2. (5 分 )故 an=n+1. (6 分)( ) = = - ,(8 分 )Tn

4、= - + - + + - = - = . (10 分)T2 012= . (12 分)4. )已知数列 an是等差数列 , - =8n+4,设数列 |a n| 的前 n项和为Sn,数列 的前 n项和为Tn.(1)求数列 an的通项公式 ;(2)求证: Tn<1.答案 (1)设等差数列 an的公差为d,则an=a1+(n-1)d. (2 分 ) - =8n+4,(na+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.第 3页共 14 页当 n=1时,d(2a1+d)=12;当 n=2时,d(2a1+3d)=20.解方程组得 或 (4 分 )经检验知 ,an=2n 或 a

5、n=-2n 都满足要求 .an=2n 或 an=-2n. (6 分)(2)证明:由(1)知:an=2n 或 an=- 2n.|an|=2n.Sn=n(n+1). (8 分) = = - .Tn=1- + - + + - =1- . (10 分) Tn<1. (12 分)5. 已知等差数列 an的公差为2,前 n项和为Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列 .( 求) 数列 an的通项公式 ; n-1 ,求数列 bn的前 n项和 Tn.( 令) bn=(-1)答案查看解析解析 ( 因)为S1=a1, S2=2a1+ ×2=21a+2,S4=4a1+ ×2=41a+12,

6、由题意得 (2a1+2)2=a1(4a1+12),第 4页共 14 页解得 a1=1,所以 an=2n-1.n-1 =(-1)n-1 ( )nb=(-1)n-1 . =(- 1)当 n为偶数时,Tn= - + + -=1-= .当 n为奇数时,Tn= - +- + + + =1+ = .所以 Tn=6. 已知点 的图象上一点，等比数列第 5页共 14 页的首项为，且前项和( 求) 数列 和 的通项公式；( 若) 数列 的前项和为，问的最小正整数 是多少？解析解： ( )因为，所以 ，所以 ， ，又数列 是等比数列，所以 ，所以 ，又 公比 ，所以 ，因为，又 ，所以 ，所以 ，所以数列 构成一

7、个首项为1，公差为1 的等差数列， ，所以 ，当时， ，第 6页共 14 页所以 . （6 分）( 由) ( )得，（10 分）由 得 ，满足 的最小正整数为72. （12 分）7. 在数列 ， 中， ， ，且 成等差数列， 成等比数列（ ）.（）求 ， ， 及 ， ， ，由此归纳出 ， 的通项公式，并证明你的结论；（）证明： .解析 （ ）由条件得 ，由此可得 .猜测. （4 分）用数学归纳法证明： 当时，由上可得结论成立 . 假设当时，结论成立，即 ，第 7页共 14 页那么当时，.所以当时，结论也成立 .由 ，可知对一切正整数都成立 . （7 分）（）因为.当时，由（ ）知 .所以.综上

8、所述，原不等式成立 . (12 分）8. 已知数列 的前项和是 ，且 （）求数列 的通项公式；第 8页共 14 页（）设， ，求使 成立的最小的正整数 的值解析 （1） 当时， ，由 ， 分1当时， 是以为首项，为公比的等比数列 分4故 分6（2）由（ 1）知 ， 分8，故使 成立的最小的正整数 的值. 分12第 9页共 14 页9. 己知各项均不相等的等差数列 an的前四项和 S4=14，且 a1，a3，a7 成等比数列（I）求数列 an的通项公式；（II）设Tn为数列 的前 n项和，若 Tn ¨对恒成立，求实数 的最小值解析 122. （）设公差为d. 由已知得 分 3解得 ，所

9、以 分 6（） ， 分 9对 恒成立，即对恒成立又 的最小值为 分 1210. 已知数列 前项和为，首项为，且 ， ， 成等差数列 .（）求数列 的通项公式；（II）数列满足 ，求证： ，第 10页共 14 页解析 （） 成等差数列 , ，当时， ,两式相减得： .所以数列 是首项为 ，公比为2 的等比数列， . （6 分）( ) ， （8 分），. （12 分）11. 等差数列 an各项均为正整数 , a1=3, 前 n项和为Sn, 等比数列 bn中, b1=1, 且 b2S2=64, 是公比为64 的等比数列 .( 求) an 与 bn;( 证) 明: + + + < .答案 ( 设

10、) an的公差为d, bn的公比为q,则d为正整数 ,an=3+(n-1) d, bn=q n-1.依题意有 第 11页共 14 页由(6+d) q=64 知 q为正有理数 , 又由 q= 知, d为6 的因子 1, 2, 3, 6 之一, 解 得 d=2, q=8.故 an=3+2(n-1) =2n+1, bn=8n-1.( )证明:Sn=3+5+ +(2n+1) =n(n+2) ,所以 + + + = + + + += < .12. 等比数列 an的各项均为正数 , 且 2a1+3a2=1, =9a2a6.( )求数列 an的通项公式 ;( 设) bn=log3a1+log3a2+

11、+log3an, 求数列 的前 n项和 .答案 ( 设)数列 an的公比为q. 由 =9a2a6 得 =9 , 所以 q 2= .因为条件可知 q>0, 故 q= .由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1, 所以 a1= .故数列 an的通项公式为an= .( )nb=log3a1+log3a2+ +log3an=-(1+2+ +n)=- ,故 =- =-2 ,第 12页共 14 页+ + + =-2 + + + =- .所以数列 的前 n项和为- .13. 等差数列 an的各项均为正数 ,a1=3,其前 n项和为Sn,bn为等比数列 ,b1=1,且b2S2=16,b3S3=6

12、0.( 求) an 和 bn;( 求) + + + .答案 ( 设)an的公差为d,且 d为正数 ,bn的公比为q,an=3+(n-1)d,b n=qn-1,依题意有 b2S2=q· (6+d)=16,b3S3=q2· (9+3d)=60,(2分 )解得 d=2,q=2.(4 分)故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6 分)( )nS=3+5+ +(2n+1)=n(n+2),(8分)所以 + + += + + + += (10 分 )= - .(12 分)14. 设数列 an的前 n项和 Sn满足: Sn=nan-2n(n -1). 等比数列 bn的前 n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5.第 13页共 14 页(1)求数列 an的通项公式 ;(2)设数列 的前 n项和为M n,求证: Mn< .答案(1) 5=TT3+2b5, 4b+b5=2b5,即(a1-1)b4=0,又 b40, 1=a1.n 2时,an=Sn-Sn -1=nan- (n-1)an-1-4