线性代数04-矩阵及其运算

1、第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算1 矩阵矩阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义二、矩阵的定义三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换其中其中 表示有表示有航班航班始发地始发地ABCD目的地目的地 A B C D例例 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之间开辟了若干航线，四座城市城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示城市间的航班图情况常用表格来表示:一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的为

2、了便于计算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一个数表：就得到一个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况. .1111111000000000其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 111213142122232431323334a

3、aaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 1112212231324142bbbbbbbb一一二二三三1 12 23 34 4 由由 mn 个数个数 排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表(1,2,;1,2, )ijaim jn 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为称为 m 行行 n 列矩阵列矩阵，简称，简称 mn 矩阵矩阵( (matrixmatrix) )这个这个数表数表是是一个整体一个整体，用，用括号将数表括起来，括号将数表括起来， 记作记作 二、矩阵的定

4、义二、矩阵的定义111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 简记为简记为()()m nijm nijAAaa元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵. .这这 mn 个数称为矩阵个数称为矩阵 A 的的元素元素，简称为元，简称为元. .其中数其中数 称为矩阵的第称为矩阵的第 行第行第 列的元素列的元素. .ijaijn行数不一定等于列数行数不一定等于列数n共有共有mn个元素个元素n本质上就是一个数表本质上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共有n2个元

5、素个元素n本质上就是一个数本质上就是一个数矩阵矩阵行列式行列式111212122211nnmmmnaaaaaaaaa121212111212122212()12( 1)nnnnnnnnnt p ppppnpp ppaaaaaaaaaaaa det()ija()ijm na 2 矩阵的运算矩阵的运算例例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：发送货物的数量可用数表表示：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc

6、试求：工厂在一年内向试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量各商店发送货物的数量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工厂向第工厂向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量其中其中cij 表示工厂表示工厂下半年下半年向第向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacacacacacacac111

7、213142122232431323334aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334cccccccccccc111112121313141421212222232324243131323233333434acacacacacacacacacacacac解：解：工厂在一年内向工厂在一年内向各商店发送货物的数量各商店发送货物的数量 一、矩阵的加法一、矩阵的加法定义：定义：设有两个设有两个 mn 矩阵矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵那么矩阵 A 与与 B 的和记作的和记作 AB，规定为，规定为111112121121212222221122nnn

8、nmmmmmnmnababababababABababab说明：说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. .121221113212233132233232ababaaaaaaba 111311132123212331331212222233233213aaaaaaaaaabababaaa 知识点比较知识点比较111311131113212321232123313331312121212222222223232321333233 aaaaaababababababaaaaaaaaaaaaa 111311131113212321232123

9、313331331212121222222222323232323133222222aabababaaaaaaaaaaaaaaaaaababab 交交换换律律结结合合律律其其他他矩阵加法的运算规则矩阵加法的运算规则, ,a b cRabba()()abcabcABBA()()ABCABC, ()ABAB 设设 A、B、C 是同型矩阵是同型矩阵设矩阵设矩阵 A = (aij) ，记记 ，称为矩阵，称为矩阵 A 的的负矩阵负矩阵显然显然AOAAO OAAAA)(ijaA 15例如例如 102526151522,102030121720BA BA 4232 272045561010252026301

10、51215172220BA 102526151522,102030121720BA054322BA设工厂向某家商店发送四种货物各设工厂向某家商店发送四种货物各 l l 件，试求：工厂向该商件，试求：工厂向该商店发送第店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量例（续）例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 1112212231324142bbbbbbbb 1112212231324142bbbbbbbb11

11、12212231324142bbbbbbbbllllllllllllllll1112212231324142bbbbbbbb1112212231324142bbbbbbbbllllllllllllllll解：解：工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量l l 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法(矩阵的数乘矩阵的数乘)定义：定义：数数 l l 与矩阵与矩阵 A 的乘积记作的乘积记作 l l A 或或 A l l ，规定为，规定为1

12、11212122211nnmmmnaaaaaaAAaaallllllllllllllllllllll一个数乘以矩阵就是用该数乘以矩阵的所有的元素一个数乘以矩阵就是用该数乘以矩阵的所有的元素20例如例如 AB4 102030121720A4 80 68 484080120结结合合律律分分配配律律备备注注数乘矩阵的运算规则数乘矩阵的运算规则, ,a b cR()()ab ca bc ()abcacbc()()AAll ll ()AAAllll()cabcacb()ABABllllll设设 A、B是同型矩阵，是同型矩阵，l l , , 是数是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵相加与数乘矩阵合起来

13、，统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算. .AA 1OA 0ABAl l，例例设设942631A304122B求求.BA43解解3041224942631343BA120164882712618931512101415111213212223313233aaaaaaaaal ll ll l 111213212223313233aaaaaaaaallllll 111213212223313233aaaaaaaaal l知识点比较知识点比较111213111213212223212223313233313233aaaaaaaaaaaaaaaaaallllllllllllllllllll 例（续）例（

14、续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：数量可用数表表示为：空调空调冰箱冰箱29彩电彩电 25彩电彩电甲商店甲商店30205020乙商店乙商店07100丙商店丙商店50405050 505040500107020502030A这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 售价售价重量重量空调空调3040冰箱冰箱163029彩电彩电223025彩电彩电1820 2018302230164030B试求试求：工厂向三家商店所发货物的总售价及总重量分别是多少？：工厂向三家商店所发货物的总售价及总重

15、量分别是多少？26 C甲商店甲商店乙商店乙商店丙商店丙商店售价售价重量重量11c 505040500107020502030A 2018302230164030B12c21c22c31c32c11c 1111ab 1221ab 1331ab 1441ab 182022501620303026802680三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法定义：定义：设设 ， ，那么规，那么规定矩阵定矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的乘积是一个的乘积是一个 mn 矩矩阵阵 ，其中，其中()ijm sAa ()ijs nBb ()ijCc 1 1221sijijisijsjkkkijca ba ba ba b (1,2,;1

16、,2, )im jn并把此乘积记作并把此乘积记作 C = AB 说明：说明： 的的 元元 就是就是 的第的第 行元素与行元素与 的的 第第 列元素对应乘积之和列元素对应乘积之和.C),(jiijcABij03410121211130 , 3110514121AB 例：例：设设567102621710AB 则则29特别特别注意注意: 乘积乘积不可交换不可交换 可乘的前提是可乘的前提是 的的列列数数等于等于 的的行行数，否则不可乘数，否则不可乘.ABAB11121311122122232122313233bbbaabbbaabbb 没有意义没有意义. .只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的只有当

17、第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘行数时，两个矩阵才能相乘. .2）,1331BAAB 和和 均有意义，但均有意义，但AB为为 1阶阶矩阵矩阵 为为3阶矩阵，不相等；阶矩阵，不相等； BABA 乘积乘积一般一般不可以交换，不可以交换，AB1） AB为为 矩阵，但矩阵，但 BA 无意义；无意义；,3112 BA32 312 321 10 3212 31 369246123 例如例如若若,BAAB 则称则称矩阵矩阵 乘积乘积可交换可交换.BA、例例2 22 224243612 2 20000 , AO BOAO BO 矩阵矩阵 却有却有 AB=0 ，从而不能由，从而不能由 A

18、B=0 得出得出 或或 的结论的结论.矩阵乘法不满足交换律，所以矩阵相乘时必须注意顺序矩阵乘法不满足交换律，所以矩阵相乘时必须注意顺序.,AXXAAXAB左乘左乘称为用称为用右乘右乘称为用称为用矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 (1)(1) 乘法结合律乘法结合律 ()()AB CA BC (3)(3) 乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律(2)(2) 数乘和乘法的结合律数乘和乘法的结合律 （其中（其中 l l 是数）是数） ()ABA Bllll (4)(4) .kBABkAABkk为常数，若ACABCBA左左分配律分配律CABAACB右分配律右分配律定义定义 若若 A 是是 n 阶阶方阵

19、方阵，定义定义kkAAAA 性质性质, ()klk lklklA AAAA 四、矩阵的幂四、矩阵的幂;1AA ;112AAA 11;AAAkk 为正整数为正整数其中其中k特别注意特别注意 kkkBAAB)(1222BAABABABABAB)( 22222BABABA)(222BBAABABABABA)( 223BABABA)(22BBAABABABA)(若若A与与B可交换可交换(即即AB=BA),则以上则以上不等式不等式将变成将变成等式等式.五、五、矩阵的转置矩阵的转置定义：定义：把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的的转置矩阵转置矩阵(

20、 (Transpose) )，记作，记作AT . .例例 ,aAij 85422132 ；则则 82524143ijTbA823 b32a 转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质(1) ();TTAA (2) ();TTTABAB (3) ();TTAAllll (4) ().TTTABB A 例：例：已知已知 171201,423, .132201TABAB 求求解法解法11712014231322010143 ,171310AB 017()1413 .3 10TAB 解法解法2()TTTABB A 14221017720031413 .131123103 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵同型矩阵

21、与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵同型矩阵. .例如例如1214356843739与与为同型矩阵为同型矩阵. .2. 两个矩阵两个矩阵 与与 为同型矩阵，并且对应元为同型矩阵，并且对应元素相等，即素相等，即则称矩阵则称矩阵 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A = B . .()ijAa (1,2,;1,2, )ijijabim jn()ijBb 注意：不同型的零矩阵是不相等的注意：不同型的零矩阵是不相等的. . 00000000 0000 .00000000例如例如 1. 行数与列数都等于行数与列数

22、都等于 n 的矩阵，称为的矩阵，称为 n 阶方阵阶方阵可记作可记作 . .2. 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量) . .只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量) . .3. 元素全是零的矩阵称为元素全是零的矩阵称为零距阵零距阵可记作可记作 O . .12(,)nAa aa nA12naaBa 例如：例如： 2 20000O 1 40000O 一、特殊一、特殊的矩阵的矩阵4. 形如形如 的方阵称为的方阵称为对角阵对角阵特别的，方阵特别的，方阵 称为称为单位阵单位阵12000000nl ll ll l12(,)nAdiagl ll

23、l ll 记作记作100010001 记作记作 nI对于单位矩阵，有对于单位矩阵，有,AAInmnmm ,AIAnmnnm 43 kkkkI0000005. 数量矩阵数量矩阵(纯量矩阵纯量矩阵)：不在：不在对角线上的元素对角线上的元素都是都是0， 对角线对角线上的元素相同，这种矩阵称为上的元素相同，这种矩阵称为数量数量矩阵矩阵， 又又称称纯量矩阵纯量矩阵，用用 表示表示， 即即kI ijaA 6. 如果如果n阶矩阵阶矩阵 中的元素满足条件，中的元素满足条件， ji,aij 0则称则称A为为n阶上三角形矩阵，即阶上三角形矩阵，即 ，n,j , i21 nnnnaaaaaaA022211211 如

24、果如果n阶矩阵阶矩阵 中的元素满足条件，中的元素满足条件，则称则称B为为n阶上三角形矩阵，即阶上三角形矩阵，即 ，n,j , i21 nnnnbbbbbbB212221110 ji,bij 0 ijbB 7. 设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么 A 称为称为对称矩阵对称矩阵. . ,1,2,ijjiaai jn TAA 1261680106A 如果满足如果满足 A = AT，那么，那么 A 称为称为反对称矩阵反对称矩阵. . 对称矩阵对称矩阵 061607170A 反对称矩阵反对称矩阵 两个对称矩阵的乘积也是对称矩阵吗？两个对称矩阵的乘积也是对称矩阵吗？ 3

25、11121111100001010 311111121两个对称矩阵的乘积不一定还是对称矩阵两个对称矩阵的乘积不一定还是对称矩阵结论：结论：A和和B是两个对称矩阵，是两个对称矩阵，AB是对称的是对称的当且仅当当且仅当A与与B可交换可交换(即即AB = BA)。例：例：设列矩阵设列矩阵 X = ( x1, x2, , xn )T 满足满足 X T X = 1，E 为为 n 阶阶单位阵，单位阵，H = E2XXT，试证明，试证明 H 是对称阵，且是对称阵，且 HHT = E. .证明：证明：(2)TTTHEXX2()TTEXX( 2)TTTEXX 2()TTTEXX2TEXXH 从而从而 H 是对称阵是对称阵 22(2)TTHHHEXX224( 2)TTEXXXX 44TTTEXXXX XX44()TTTEXXX X X X44TTEXXXXE 二、方阵的行列式二、方阵的行列式定义：定义：由由 n 阶方阵