实验七多元函数极大值

1、精品文档精品文档实验七多元函数的极值【实验目的】1. 多元函数偏导数的求法。2. 多元函数自由极值的求法3. 多元函数条件极值的求法.4. 学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】求函数z=x4-8xy+2y2-3的极值点和极值【实验准备】1 .计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题，根据多元函数极值的必要和充分条件，可分为以下几个步骤步骤1.定义多元函数z=f(x,y)步骤2.求解方程fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,得到驻点步骤3.对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数-2二 z.2:z-2BC二x；y步骤4.对于每一个驻点(xo, yo) ,计算判别式AC

2、- B2，如果AC-B2>0,则该驻点是极值点，当Aa0为极小值，A<0为极大值；,如果AC-B2=0,判别法失效，需进一步判断；如果AC-B2M0,则该驻点不是极值点.2 .计算二元函数在区域D内的最大值和最小值设函数z=f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤1.计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值；步骤2.计算f(x,y)在D的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3.将上述各函数值进行比较，最终确定出在D内的最大值和最小值。3 .函数求偏导数的MATLAB命令MATLAB中主要用diff

3、求函数的偏导数diff(f,x,n)求函数f关于自变量x的n阶导数。可以用helpdiff查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1求函数2=/-8*丫+2丫2-3的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数>>clear;symsxy;>>z=xA4-8*x*y+2*yA2-3;>>diff(z,x)>>diff(z,y)结果为ans=4*xA3-8*yans=-8*x+4*y即2=4x3.8y,名=_8x+4y.再求解方程，求得各驻点的坐标。一般；:xfy方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将

4、给出数值解。求解方程的MATLAB代码为：>>clear;>>x,y=solve('4*xA3-8*y=0'，'-8*x+4*y=0','x',V)结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：>>clear;symsxy;>>z=xA4-8*x*y+2*yA2-3;>>A=diff(z,x,2)>>B=diff(diff(z,x),y)>>C=diff(z,y,2)结果为A=2*xA2B=-8C=4由判别法可知

5、P(-4,-2)和Q(4,2)都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，P(-4,-2)和Q(4,2)是函数的最小值点。练习2求函数z=xy在条件x+y=1下的极值.构造Lagrange函数L(x,y)=xy+；(xy-1)求Lagrange函数的自由极值.先求L关于x,y,九的一阶偏导数>>clear;symsxyk>>l=x*y+k*(x+y-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,k)得a=y+九,生=x+九0=x+y-1,再解此方程组。x二y>>clear;symsxyk&

6、gt;>x,y,k=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')得x,y=L九=，进过判断，此点为函数的极大值点，此时函数222达到最大值.注意;也可以利用Lingo:model:max=x1*x2;x1+x2=1;end更值得一提的是对此种问题我们一般不用Lingo,因为Lingo中已规定所有决策变量均为非负。练习3抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上就是求函数f(x,y,z)=x2

7、y2z2在条件z=x2+y2及x+y+z=1下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数.22222L(x,y,z)=xyz"，(xy-z)(xyz-1)求Lagrange函数的自由极值.先求L关于x,y,z,九下的一阶偏导数>>clear;symsxyzuv>>l=xA2+yA2+zA2+u*(xA2+yA2-z)+v*(x+y+z-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,z)>>diff(l,u)>>diff(l,v):i=2z - - 口:z-L.：:L.x二2x

8、2x；,二2y2y,L22：L-"xy-z,左二xyz-1再解方程>>clear;>>x,y,z,u,v=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0','xA2+yA2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u''v')得B定二-3_5Y3,J-7-11.3,x=y=-1-3,z=2二、.3.332上面就是Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值(因为函数f在有界闭集(x,y,z)：x2+y2=z,x+y+z=1,上连续，从而存在最大值与最小值)，故由-1一.3 -1 - .3(,22,2 - . 3.) -9-5.3求得的两个