不定方程的整数解修改稿

1、一次不定方程的整数解讲稿序言什么是不定方程我们知道在方程（方程组）里，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。例如 2xy10，则：y2x1.分别令x1，2，3，4，5，就可以求出对应的n值.我们可以列表说明：x12345678的解有无穷多组：，.也就是说：2xy10的所有的解（称为通解）为：y2x1.注意：上面只列出了它的正整数解.如果用k代替x，用n代替y，并且k和n只代表正整数，得到的答案是：2kn10的所有的解（称为通解）为：n2k1. n1，3，5，7，9，.这个结论表明：如果k取一切正整数1，2，3，那么n表示所有的奇数（1，

2、3，5，7，9）. 请记住这个结论：n2k1表示所有的奇数.又如 x2y300的解是：x2y300，每给出一个y的值，就有一个x的值与之对应.例如y0，1，2，3，4，5，就可以求出对应的x值，我们可以列表说明：x300302304306200100y012350100它的解有无穷多个.又如 方程组，(2)(1) 消去一个未知数y之后，就变形为一个二元一次方程：2yz80所以它的解也是不确定的像这类方程或方程组就叫不定方程或不定方程组例1 有一堆鹅卵石，不知总个数.但知道：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后也是余2个；每次取7个，最后还是余2个；问这堆鹅卵石共多少个? 余 余余分析与解：

3、实际上这个问题转化为数学问题就是：有一个正整数，无论被3除，被5除或者被7除，都余2；求这个数.如果列方程组就是：求个正整数M：我们不妨这样来解：因为这个整数不论被3除，被5除或者被7除，总是余2；我们先求出它的一个特解：3×5×7105可以被3、5、7整除，3×5×72被3、5、7除余数都是2，1052107就是这个问题的一个特解；3×5×7 ×n也可以被3、5、7整除，这个问题的特解107加上105n之后，被3、5、7除，余数也是2；其通解是107105n.例2 现在把上一个问题改为：每次取3个，最后余2个；每次取5个，

4、最后余3个；每次取7个，最后余2个；问这堆鹅卵石共多少个? 余 余余分析与解：我们不妨凑凑看，因为这个数被3和7余数都是2，这个数可能是3和7的最小公倍数21的k倍2，即21k2：k21的1倍2 21的2倍2 21的3倍2 21的4倍221223422446326584286 23，44，65，86，107，中哪一个能被5除余3，就是它的特解.太巧了，第一个23被5除余3，就是它的一个特解，根据上例的分析，其通解是3×5×7n23105n23.【说明】先求出它的一个特解是问题的关键这就是孙子算经中的“物不知数”问题原题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数

5、之剩二，问物几何？答曰：二十三” 意思就是，有一些物品，如果三个、三个的数，最后剩2个；如果五个、五个的数，最后剩3个；如果七个、七个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？注：孙子算经是南北朝时一部重要的数学著作。为我国古代算经十书之一，孙子算经的作者生平和编写年代都不清楚.现在传本的孙子算经共三卷.如果把这个问题列成方程组就是：设这个数为N，即N等于3的倍数加2，等于5的倍数加3，等于7的倍数加2，求N.则这是一个含4个未知数的3个方程，开始时我们已经说过这是不定方程组。要解决这一类问题，还要从二元一次不定方程学起下面我们就要研究这一类问题的一般解法。一、求整系数二元一次不定方程的整数解之

6、1一般解法求一个不定方程的整数解问题，如果都这样去凑数，就太麻烦了，下面介绍“求整系数的一次方程组的整数解”的一般方法.【定义】我们把方程axbyc（系数a，b，c为整数，并且a，b都不为零）叫做二元一次不定方程.（如果a，b之中有一个为零，就不是不定方程了）对于两个整数a，b，我们约定用记号(a，b)d表示a和b的最大公约数，(a，b)1表示a，b互质我们先研究整系数方程axbyc中，x、y的系数a，b互质的情况.即(a，b)1，或者说：整数a，b除1之外没有公约数例1求整系数方程5x21y17的整数解这里x，y的系数5和21互质，即5和21的最大公约数（5，21）1.分析 求不定方程的整数

7、解的关键是：找到一个参数t（整数），使得未知数x，y（整数）都能够用已知数和参数t表示出来.解法1 其中x的系数比y的系数小，先解出x，x34y (1)两边都是整数，是整数 设t，（t为整数）得 y25t (2)代回(1)得：x34(25t)t521 t得到方程组的通解是 （t0，1，2，3，）解法2其中x的系数比y的系数小，先解出x，x34y (1) 设t，（t为整数）得 y25t (2)代回(1)得：x34(25t )t521 t得到方程组的通解是（t0，1，2，3，）从上面的两种解法可以看出，虽然方程组的通解的形式不同，但结果是一样的.这种解法叫做“辗转相除法”我们再研究整系数方程axb

8、yc中，x、y的系数a，b有公约数的情况.例2 求整系数方程9x+6y=30 的整数解.这里，x、y的系数9和6有公约数3解法1 x，y系数的最大公约数(x，y)3，30也是3的倍数，方程9x+6y=30(1)两边同时除以3，得3x+2y=10 (2)(1)和(2)是等价（同解）的，即(1)和(2)是同一个方程的不同形式其中y的系数比的x系数小，先解出y y5，两边都是整数，是整数令x2t，代入(2)得：6x+2y=10，则y=53t.由此，得到方程组的通解是 （t是整数）【注】这种形式的方程组，在高中三年级学解析几何的时候称为“参数方程”每给出t的一个值，就得到一组解小结1：从上面两个例子看

9、到，如果二元一次不定方程 axbyc（其中a、b是非零整数，c是整数）中（1）如果(a，b)1，方程有整数解（如例1）； （2）如果(a，b)d，a，b的最大公约数d能整除c，方程有整数解（如例2）.例3求不定方程6x9y16的整数解.解：这里x，y的系数6和9的最大公约数（6，9）3不能整除常数项16.方程的两边同除以3，得2x3y.由于x和y都是整数，因此方程的左边（2x3y）也是整数，然而方程的右边是分数，矛盾！故本题无整数解.小结2：对于二元一次不定方程 axbyc，如果a和b不互质，又它们的最大公约数不能整除c，方程无整数解.可以用反证法证明：a和b不互质，又(a，b)d不能整除c.

10、假定axbyc有整数解，则两边都是整数用(a，b) d除以方程两边，得：xy左边为整数，而右边不是整数，矛盾由上述两个小结，归纳起来得到：定理1如果二元一次不定方程 axbyc（其中a、b是非零整数，c是整数）中：（1）如果a和b互质，方程有整数解；（2）如果a和b不互质，但它们的最大公约数能整除c，方程有整数解；（3）如果a和b不互质，又它们的最大公约数不能整除c，方程无整数解. 例如方程3x5y1，5x2y7，9x3y6都有整数解；方程9x3y10和 4x2y1都没有整数解.这是因为在里，（9，3）3，而3不能整除10；在里，（4，2）2，而2不能整除1.【注意】一般我们在正整数集合里研究

11、公约数，（a，b）中的a，b为它们的绝对值.例3 求整系数方程4x5y21的整数解解 4x5y21 4x215y用x，y之中较小的系数4去除各项得：x把其中的整数分离出来，得x5y (1)因为x和5y都是整数，所以必为整数，设t（t为整数），则y14t，(2)由(1)、(2)：x5(14k)k45 k所以4x5y21的通解是(t为整数)在这个通解里，令k0，得是方程的一组特解二、求二元一次不定方程的整数解之2由特解求通解观察例3，方程4x5y21的通解是 .其中，x04，y01是它的一组特解，可以猜想到：定理2 如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程axbyc 有一组整数解x0，y0则此方

12、程的一切整数解可以表示为（t为一切整数，即t0，±1，±2，±3，）证明 （供教师参考）第一步：先证明xx0bt，yy0at是方程的解由已知条件，x0，y0是方程的整数解，所以a x0b y0c 那么a(x0bt)b(y0at)ax0abtby0abtax0by0abtabtax0by0c这表明xx0bt，yy0at也是方程的解第二步：再证明xx0bt，yy0at是方程的一切整数解设x，y是方程的任一整数解，则有axbyc 得a(xx0) b (yy0) (a，b) 1，即a，b互质，ayy0，即yy0可以被a整除则yy0at，其中t是整数将yy0at代入，即得x

13、x0bt因此x，y可以表示成xx0bt，yy0at的形式，所以xx0bt，yy0at表示方程的一切整数解，命题得证有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.例1 求整系数方程3x2y0的整数解解 显然，x00，y00是它的一组特殊解，由定理2知，它的通解是，t0，1，2，3，另解：此题如用辗转相除法来解，2y3x，yx，令t，得x2t，y3t它的通解是，t0，1，2，3，例2 求整系数方程3x2y7的整数解解 因为(3，2)1，由观察可知x01，y02是它的一组特殊解，由定理2知，它的通解是，t0，1，2，3，例3 求 3x+6y=15 的整数解.注意：系数a，b有公约数3，

14、解法1 两边同时除以3，原方程变为：x+2y=5直接观察可知 x0=1，y0=2 是x+2y=5的一组解，由定理2知所求方程的解是 ，t是任意整数   (1)解法2 两边同时除以3，原方程变为：x+2y=5x=52y yy，令yt，则，t是任意整数 (2)两种解法得到的解(1)和(2)表面上不同，实际情况如何呢？我们列出表来就可以看出它们是等价的：(1)的解是t21012xy(2)的解是t10123xy例4 求不定方程3x + 6y15的解.解 因为(3, 6)3 ，两边同时除以3得：x + 2y5由观察可知x01，y02是方程的一组特解.由上面的定理，所求方程的

15、解是 t是整数.（也可以表示为 tÎZ，读作t属于整数）例5 求11x15y7的整数解解 将方程变形得x1y.因为x是整数，所以1y应是11的倍数由观察得y01，x02是这个方程的一组整数解，所以方程的通解为 t为整数例6现在我们再来解决“百钱买百鸡”：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？意思是说：公鸡每只5元，母鸡每只3元，雏鸡1元买3只，问：公鸡、母鸡、雏鸡各几只？解设x，y，z分别表公鸡、母鸡、雏鸡的个数，0x，y，z100则此问题即求下列不定方程组的非负整数解（2）×3（1）得：14x8y200两边同除以2得： 7x4y

16、100 （3）显然x=0，y=25是方程7x+4y=100 的一组特解，因此，7x+4y=100 的通解是或         x4t0，y=257t0，t0，7t25，0t.即t只可以取值 t1=0，t2=1，t3=2，t4=3.由题义知：0x，y，z100，设t的值为0、1、2、3，分别得出以下四组解： 或 或 或 . (x，y，z)=(0，25，75)，(4，18，78)，(8，11，81)，(12，4，84).例7 求不定方程7x19y213的所有正整数解. 解 用x，y中较小的系数除方程

17、各项得x 分离整数x302y 因为x，y是整数，故必为整数，由观察知当y2时，1是整数，此时x304125所以是不定方程7x19y213的一组解，原方程的一切整数解为 （t为整数）由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为，或 .三、多元一次不定方程的整数解对于多元一次不定方程可以把方程化为二元方程来求解.例1 求方程2x3y7z34的整数解.解 方程变形为2x3y347z ，设 347z t（t为整数） 则2x3yt 对于方程可以观察出xt，yt是其一组解，因而方程的所有整数解为 （k1为整数） 对于方程可以观察出5，t1是它的一组解，因而方程的所有整数

18、解为 （k2为整数）将t17k2代入，得原方程的所有整数解为 （k1，k2均为整数） 例2 求方程9x+24y5z1000的整数解解 设9x24y3t，即3x8yt，于是3t5z1000于是原方程可化为用前面的方法可以求得的解为 u是整数的解为v是整数消去t，得 u，v是整数 例3 （2008年全国初中数学竞赛山东赛区预赛试题选择题6）某单位在一快餐店订了22盒盒饭，共化费140元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为8元、5元、3元.那么可能的不同订餐方案有几个.解法1：设该单位订甲、乙、丙三种盒饭分别为x，y，z盒，则不妨先消去x：×8，得：3y5z36，3y365

19、z，两边同时除以3得：y12，是整数，令z3t0，则y125t0， x22(125t)3t2t100由0t3故t0，1，2，共有3组解：，.解法2：如果消去z：×3，得：5x2y74，解得 y37，令x2t0则y375t0，z3t150 5t8，5t7，取t5，6，7得到的解与解法1同.解法3：如果消去y：×5，得：3x2z30，解得 z15，令x2t0则z3t150，y375t0 5t8，5t7，取t5，6，7得到的解与解法1同.【自读教材】物不知数问题的一般解法原题是：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？答曰：二十三术曰：三三数之，

20、剩二，置一百四十；五五数之，剩三，置六十三；七七数之，剩二，置三十并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得凡三三数之，剩一，则置七十五；五五数之，剩一，则置二十一；七七数之，剩一，则置十五一百六以上，以一百五减之，即得【注】本题的意思就是：“有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们3个3个地数，剩下2个；5个5个地数，剩下3个；7个7个地数，也剩下2个这些物品的数量至少是多少个？”题目原文无“至少”二字，所以，解释题目意思时，在语句中加上了“至少”二字孙子算经解这道题目的“术文”和答案是：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十并之，得二百三十三，以二百十减之，

21、即得答曰：二十三”这些话是什么意思呢？用通俗的话来说，就是：先求被3除余2，并能同时被5、7整除的数，这样的数最小是140；再求被5除余3，并能同时被3、7整除的数，这样的数最小是63；然后求被7除余2，并能同时被3、5整除的数，这样的数最小是30于是，由1406330=233，得到的233就是一个所要求得的数但这个数并不是最小的再用求得的“233”减去或者加上3、5、7的最小公倍数“105”的倍数，就得到许许多多这样的数：23，128，233，338，443，从而可知，23、128、233、338、443、都是这一道题目的解，而其中最小的解是23答：这些物品的数目至少是23个明代著名的大数学

22、家程大位，在他所著的算法统宗中，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀，名曰孙子歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知” 歌诀中的“廿”，读音与“念”音相同“廿”即二十的意思这一歌诀的“诗意”，我们可以不去理会，只需注意它的数字就行了歌诀中的每一句话，都指出了一步解题方法：“三（3）人同行七十（70）稀”是说除以3所得的余数，要用“70”去乘它；“五（5）树梅花廿一（21）枝”是说除以5所得的余数，要用“21”去乘它；“七（7）子团圆正半月（15）”“半月”是一个月30天的一半，即15日，这是说，除以 7所得的余数，要用“ 15”去乘它；“除百零五（1

23、05）便得知”这是说要把上面所乘得的三个数相加，加得的和如果大于105，便应减去105，或者减去105的倍数这也就是孙子算经上的“一百六（106）以上，以一百五（105）减之”这样得出的差，便是所要求的这个最小的未知数了运用这一歌诀来解答这道“物不知数”问题，便是2×70+3×21+2×15=140+63+30=233233105105=23（答略）不过，用这种方法解这类问题，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除数的题目，遇到用其他数作除数的算题，它就行不通了这一点必须引起我们的注意“物不知数”问题，用代数方法解之如下：解：设这个数为N，即N等于3的倍数加2，等于5的倍数加3，等于7的倍数加2，求N.则(2)(1)得：5y3x1 (4)(2)(3)得：5y7z1 (5)(4)(5)得：7z3x0 (6)至此，成了二元一次不定方程3x7z，令z3k，则x7k (7)再求出y 将(7)代入(6)得：7z21k0，z3k (8)将(8)代入(5)得：5y21k1，再解这个不定方程5y21k1，y4k (9)令m 则k5m1由(9