专题五 平面解析几何2

1、第二讲 圆锥曲线的方程聚焦高考命题要点：（1）圆锥曲线的定义；（2）圆锥曲线的标准方程的求法；（3）圆锥曲线的简单几何性质的运用。命题趋势：（1）圆锥曲线的定义（特别是比值定义）提示了圆锥曲线的本质特征，在解决圆锥曲线的有关问题时，要注意联系定义的使用，有时会简化计算。（2）用待定系数法求圆锥曲线的标准方程是首选方法，同时也要注意解析法、定义法或相关点法等方法的运用。（3）圆锥曲线的简单几何性质，特别是离心率，焦半径等知识是解决范围问题、定值问题、最值问题等问题的基础，同时要注意数形结合的数学思想的运用。考点整合1椭圆的定义：（1）第一定义：椭圆是平面上到两定点距离之和等于常数（大于）的点的轨

2、迹，定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。（2）第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:的距离之比等于常数e (ac0)的点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，焦准距(焦参数)p 2椭圆的标准方程当焦点在x轴上时，标准方程是+=1(ab0)，焦点坐标是；当焦点在y轴上时，标准方程是+=1(ab0)，焦点坐标是a、b、c三者的关系满足即3.椭圆的简单几何性质（1）椭圆+=1(ab0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即xa，yb.（2）对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称

3、中心，即为椭圆的中心.（3）顶点：椭圆与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)（4）离心率：e=,(oe1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.（5）椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0e1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.（6）椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+=1(ab0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1=a+ex0,PF2=a-ex04.双曲线的定义(1)第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于

4、F1F2)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离F1F2是焦距，用2c表示.常数用2a表示.（2）第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:的距离之比等于常数e (ca0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p，与椭圆相同.5.双曲线的标准方程（1）方程-=1(a0，b0)表示焦点在x轴上的双曲线；(2)方程-=1(a0，b0)表示焦点在y轴上的双曲线；其中a、b、c三者的关系满足c2a2+b26.双曲线-=1(a0，b0)的简单几何性质(1)范围：xa,yR.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及

5、原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y，或令双曲线标准方程中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2a2(a0),它的渐近线方程为y±x,离心率e.7.双曲线的焦半径公式：设双曲线方程为-=1(a0，b0)，F1(-c,0)、F2(c,0)焦点，则点P(x0,y0)在双曲线的右支上时，PF1ex0+a,PF2ex0-a; P在左支上时，PF1=-(ex0+a),

6、PF2-(ex0-a).8.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线，F是焦点，l为准线.圆锥曲线可统一定义为：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0e1时，表示椭圆；当e1时，表示双曲线；当e=1时，表示抛物线.9.标准方程和图形、焦点坐标及准线方程抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下：  图形标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦点坐标(,0)(-,0)(0, )(0，-)准线x=-x=y=-y=范围x0x0y0y0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0，0)(0

7、，0)(0，0)(0，0)离心率e=1e=1e=1e=1焦半径PF=x0+PF=-x0PF=+y0PF=-y0p的几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.注：抛物线的标准方程中一次项变量及它的系数的符号决定抛物线的开口方向，其焦点的非零坐标为一次项变量的系数的.典例剖析【例1】(1)（06年四川）把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，F是椭圆的一个焦点，则_解析：原式 （2）(08年浙江) 已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若，则_解析：由，相加得（3）已知双曲线的方程为，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲

8、线的右焦点，为左焦点，则的周长为_解析：由， 即 ， 所以的周长为（4）双曲线的两个焦点为，点P在双曲线上，若，则点P到x轴的距离为_解析： 设，且由双曲线的对称性不妨设点P在第一象限，则mn=2a6 ， ，得2mn=64，mn=32，作PQx轴于Q，则在中，即点P到x轴的距离为方法提炼圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的重要方法，我们随时要注意定义的使用，有时会显得简单明了。【例2】根据下列条件，求双曲线方程。（1） 与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；（2） 与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。解析：（1）设双曲线方程为（0） 双曲线方程为（2）设双曲线方程为 ，解之得：k=4 双曲线方

9、程为方法提炼与双曲线共渐近线的双曲线方程为（0），当>0时，焦点在x轴上；当<0时，焦点在y轴上。与双曲线共焦点的双曲线为（a2+k>0，b2-k>0）。引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。【例3】（1）已知圆A：，圆A内一定点，动圆P过B点，且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程 解析：设动圆P的半径为r，圆P与圆A内切，两圆心距 ，即 ， 圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆， ， ， 所求轨迹方程为 （2）已知定点和定圆C：，动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程 解析： , ，即点P的轨迹

10、是以C、A为焦点， 实轴长为4的双曲线的右支，又 ， 点P的轨迹方程是 【例4】（1）已知为椭圆的焦点，点A为椭圆上任一点，过F2作的外角平分线的垂线，求垂足P的轨迹方程 解析：延长F2P交F1A的延长线于Q，易知，则OP是三角形的中位线， ， 故所求轨迹方程为 （2）从双曲线上一点Q引直线的垂线，垂足为N求线段QN的中点P的轨迹方程 解析：设，则， 点N在直线上， ，又 PQ垂直直线， ，解得，在双曲线上，代入即得P的轨迹方程为方法提炼当已知轨迹形状时求轨迹方程经常使用“待定系数”法，当未知轨迹形状求轨迹方程时，通常使用“解析法”、“定义法”、“代入法”、“参数方程”等方法。【例5】(1)

11、(08年辽宁) 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A B3 C D解析：由定义转化成到点和焦点距离之和的最小值，为(2) 已知点，P在椭圆 上使最小，则P的坐标是_解析：为右焦点，离心率，由第二定义知，易知当准线时取最小值，将代入椭圆方程得，(3)已知双曲线的左焦点为，点不在曲线上，在双曲线上有一点M，使的值最小，则M点的坐标是_解析：设M点到左准线的距离为d，则有，易知当MA平行于x轴时，取最小值，将代入双曲线，解得， 方法提炼圆锥曲线的第二定义是解决有关最值或定值问题的最要方法，要注意转化的数学思想的运用。【例6】（1）（10年重庆）

12、已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为 解析：设，易知，由得 ，即有，解得，由焦点弦长公式知，所求距离即为 （2）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，P是椭圆与双曲线的一个交点，则面积的最大值为 （ ）A1 B C2 D4解析： ， ，又， ， 平方相减得， 即 为定值， 当 时，的面积取最大值1方法提炼在圆锥曲线的有关计算题，要注意“整体处理”、“设而不求”等思想方法的运用，从而简化运算量，达到化繁为简的目的。【例7】椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(I) 求椭圆的方程及离心率；(II)若

13、求直线PQ的方程； 解析：(I)由题意，可设椭圆的方程为（a）， 由已知得 解得 所以椭圆的方程为，离心率 (II) 由(I)可得设直线PQ的方程为由方程组 得 依题意 得 设则 由直线PQ的方程得 于是 由得从而所以直线PQ的方程为或 方法提炼利用向量引进条件，体现了新课程、新教材的要求，新内容与传统内容的联系，这是高考新课程卷的创新题型和发展趋势。平面向量的知识与解析几何的知识得到了很好的结合，是一个典型的考查综合能力的试题。实战演练1(08年北京) 若点P到直线的距离比它到点的距离小1，则点P的轨迹为（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析：问题转化为点P到直线的距离与它到点的距离相

14、等，由定义知选D2(08年天津) 设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为（ ）A6 B2 C D解析：由第一定义知长轴长为4，椭圆为，离心率， 由第二定义选B3(08年山东) 设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上，且长轴长为26若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 （ ）A B C D解析：易知C2是以为焦点，实轴长为8的双曲线，选A4(06年全国)已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是 （ ）A2 B6 C4 D12解析：由椭圆定义知的周长等于选C5(08

15、年重庆) 已知双曲线的一条渐近线为，离心率，则双曲线方程为 （ ）A B C D 解析： ， 选C6(08年宁夏、海南) 已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 （ ）A B C D 解析：易知当PQ平行x轴时取得最小值，选A7已知点P是抛物线上的动点，点P在直线上的射影是M，定点，则的最小值是 （ ）A B5 C D6 解析：焦点为，由定义知，A、P、F共线时取最小值，选C8(07年宁夏)已知抛物线的焦点为F，点、在抛物线上，且，则有（ ）A B C D解析： ， ，选C 9(07年四川)如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么P到y

16、轴的距离是（ ）A B C D解析：，右准线，由第二定义，选A10(07年全国)设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则等于（ ）A9 B6 C4 D3解析：， ，选B 11P点在椭圆上运动，点Q、R分别在圆、上运动，则的最大值是_解析： 两圆的圆心恰为椭圆的焦点、， ， 定值， 12（07年辽宁）设椭圆 上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足，则_解析：由椭圆第二定义有，由椭圆定义有 ， 易知M是FP的中点， 13（10年重庆）已知过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，则 解析：因为焦半径，恰好等于焦准距，所以焦点弦AB为抛物线的通径，214(08年全国) 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于