广东惠州第一次考试数学理

1、惠州市2015届高三第一次调研考试 数 学 (理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小

2、题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1复数（其中为虚数单位）的虚部是 （ ） 2已知集合，则下列结论正确的是（ ） 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) 4已知等差数列的前项和为，若，则 ( )43233正视图侧视图俯视图 5在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） 6若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ） 7已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是（ ） 8已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，则（ ） 二、填空

3、题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9 函数的定义域是 .10以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .11用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有_个.12设变量满足，则的最大值是 .13函数的定义域为，对任意，则的解集为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，分别是直线和APOB圆上的动点，则两点之间距离的最小值是 .15(几何证明选讲选做题)如图所示，是等腰三角形，是底边

4、延长线上一点，且，则腰长= . 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16（本小题满分12分）已知. (1)求的值； (2)求的值17（本小题满分12分）去年2月29日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求的值； (2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值； （注：设样本数据第组的频率为，第组区

5、间的中点值为，则样本数据的平均值为.）(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.空气质量指数频率组距0.0320.0200.018O51525354518.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(1) 求证：；BA1CAB1C1(2) 若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。19（本小题满分14分）已知数列中，前项和(1) 求数列的通项公式；(2) 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由20（本小题满分14分

6、）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标F2OxyPABF1A2l21（本小题满分14分）已知关于的函数，其导函数为记函数 在区间上的最大值为(1) 如果函数在处有极值，试确定的值；(2) 若，证明对任意的，都有；(3) 若对任意的恒成立，试求的最大值惠州市2015届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案CCBDACAD1. 【解析】化简得，则虚部为，故选2. 【解析】已知集合,故

7、选3. 【解析】三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选4. 【解析】由题意，等差数列中，所以，故选3243第6题图5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为，则得，所以含项的系数为，故选6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图，故选7. 【解析】此题为几何概型，事件A的度量为函数的图像在内与轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选8.【解析】由题意，则，得，由定义知，故选二填空题：共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题9 10 1112 12 13 14 159. 【解析】由

8、得，则定义域为： 10【解析】抛物线焦点，则双曲线中：，且，得，又得，OCBA11-1xyy=-x则双曲线的标准方程为：11【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是时，前三位将，三个数字任意排列，则有种排法，末位为时一样有种，两类共有：种，故共有没有重复数字的偶数个。12【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数在点取得最大值， 代入得，故的最大值为。13【解析】设函数，则，得函数在上为增函数，且，所以当时，有，得，故不等式的解集为14【解析】由题意，直线，圆的标准方程，则圆心到直线的距离为，且圆半径，故15【解析】以为圆心，以为半径作圆，则圆经过点，即，设与圆交于点

9、且延长交圆与点，由切割线定理知，即，ABPOCD得，所以三、解答题：16（本小题满分12分）解：（1） ，则 -1分¹ -2分 -4分 -5分（2） 原式 -7分 ÷ è ø -9分 -10分= -11分 -12分17（本小题满分12分） (1) 解：由题意，得， 1分 解得. 2分（2）解：个样本中空气质量指数的平均值为 3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. 4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. 5分 的取值为， 6分 ， ，. 10分 的分布列为： 11分.

10、 12分 （或者）18（本小题满分14分）解：（1）证明：如右图，取的中点，连接， 1分因，则 2分由平面侧面，且平面侧面，3分得，又平面， BA1CAB1C1DE所以. 4分因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.又，从而侧面 ，又侧面，故. 7分（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影 即为直线与所成的角，则 8分 在等腰直角中，且点是中点 ，且， 9分 过点A作于点，连 由（1）知，则，且 即为二面角的一个平面角 10分 且直角中： 又， ，且二面角为锐二面角 ，即二面角的大小为 14分 解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设

11、，则， ， ， ， ， ， 9分设平面的一个法向量由， 得： 令 ，得 ，则 10分设直线与所成的角为，则得，解得，即 12分又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，且，得 锐二面角的大小为。 14分19（本小题满分14分）解：（1）（解法一） 3分 整理得 两式相减得 5分 即 ，即 7分 数列是等差数列 且，得，则公差 8分（解法二） 3分 整理得 等式两边同时除以得 ， 5分即 6分 累加得 得 8分（2） 由（1）知 10分 12分 则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要 存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为14分20（本小题满分14分）解：（1）由题：

12、 左焦点 (c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：d = = 2分由可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2c 2 = 3 3分 OxyPABF1F2A2l所求椭圆 C 的方程为 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 212 = 0x1 + x2 = ，x1x2 = ， 6分且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + mAB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 = 0 7分所以 (x12,y1)·(x22,y2) = (x12) (x22) +

13、y1y2 = (x12) (x22) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·(km2)·+ m 2 + 4 = 0 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0m = k 或 m = 2k 都满足 > 0 12分若 m = 2k 时，直线 l 为 y = kx2k = k (x2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去；13分若 m = k 时，直线 l 为 y = kxk = k (x)， 恒过定点 (,0) 14分21（本小题满分14分）解：（1） ，由在处有极值，可得 ，解得，或 2分 若，则，此时函数没有极值；3分 若，则,此时当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值 当时，有极大值，故，即为所求。 4分（2）证法一： 当时，函数的对称轴位于区间之外 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的