压轴题专题测验———放缩法

1、教师訚威学生严斯文上课时间学科数学年级、_- .咼二教材版本课题压轴题专题练习放缩法重难点数列与函数的放缩法的训练证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征， 当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩n c例1.(1)求7 _2_的值； 池4k2 -1抓住其规律进行恰奇巧积累：(1) 1 _ 44n _4n2 n2 -1(2)求证：J 11 12n _1 _2n ：；11CC

2、； (n T)n(n-1)n(n-1)1n(n -1) Tr 1 =C(1 - 1)nn1n!11nrr!(nr)! nrr! " r(r1) r -1：-1 1 1 .1 2X13汉2-n . _ n 八一_ n .-2 (2 ) 2-12n(n -1)1 11-r(r-2)教学过程)丄=2n (2n - 1) -2n-(2n -3) 2n(7) 2( Jn 州 扁)< 2 (扁Jn 1)(8)Jn1_)1kn 北n(n+1+k) k 比 0 n+1+k(9)k(n.-k)(10)n(n 1)!n 1 -k1n! (n 1) !)1.；：；2( 2n 7 _ 2n _1)：

3、n2n 1 2n1 “10 2 -21n -2(11)2n2n2n(12)w" n2nn' nnnn 1n _1n .(2 /) (2-1)(2-1)(2-1)(22)(21)(2-1)2-12-1l' 111 = :， ! , = n(n -1)(n 亠 1). n(n -1)n(n 亠 1)n 亠1 - n -1n-1-!F=2 n1(n _2)(13)(14)(15)例2.(1)求证：11 1n -1 n 亠12n 1 =2 2n =(3 -1) 2n .3=3(22nn -13-211 2n < 3k! (k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k

4、2) !i2 M - j21i -j(i -j)(、i2 1 * .1).2 2i -j7222 k35(2n -1)6(15)n(n -1)2(2n -1)(n _2) :nY：n-1(n_2)求证亠+丄+丄+丄 丄丄416364n22 4n求证：1.1 3 .135 ."(勿一1) . 2n,142 4 62 4 6=2 n求证：2( n -1-1) d -1 1 亠亠 1 ：: 2( 2n 1 -1)v'2<3v n例3 .求证： 6n(n +1)(2n +1)例4.(2008年全国一卷)设函数f(x) =x_xln x.数列耳满足0<*1.兔斗=f何).

5、设 b. (ai,)，整数 k> ai 4证明:aki b.a1 In b例 5.已知 n,mN,x VS=1m2m3m亠亠nm,求证:nm1 ：:(m 1)Sn： (n -1)m1-1例 6.已知 an =4n _2n ,Tn =,求证：+T2 +T3 f +Tnn ai +a2 F"七n22n(n =2k 4k EZ)，求证: _1(n =2k,k EZ)'X51 - 二.2( n i-IXnEN*)4 X2nX2n -1二、函数放缩例 8.求证：ln2 .ln3 .ln4 .山少.32343n5n_6(n 三 N*).6例9.求证：口 Q空十空+ 十咄-n-* n

6、 >2) -,3口n2(n+i)(-)10.求证：1 +1卡+_ 刎n(n +1)龙1 +1 + +23n 12n11.求证:(i舒1 + 3)丁 -(i殆枣和(i +9)(i讣*(i弓)曲.12.求证:(i i 2) (12 3)1 n(n 1) e""13.证明:ln 2 ln3 ln 4 ln n n(n)14. 已知心耳1沽)an埠证明a15. (2008年福州市质检16. (2008年厦门市质检2:e ._xln x.若 a >0, b >0,证明：f (a) +(a +b)ln 2 Z f (a +b) f (b).)已知函数f(x)已知函数f

7、(x)是在(0,二)上处处可导的函数，若X f'(x) .f(x)在X 0上恒成立.(I)求证：函数g(x) =f (x)在(0,切上是增函数；(II)当 Xi >0, X2 >0时,证明：f (Xi) +f(X2) £ f (Xi +X2)；X1"(III)已知不等式ln(1 x) :：:x在x .俎x=0时恒成立,求证：A，1>32培曲卡佶申2 >2(n応n42) (®*).三、分式放缩姐妹不等式：b > b m (b >a >0,m >0)a a亠m和b b m和一一(a b 0, m 0)a a亠m，

8、反之.厂 2n 1 和(1 加:2n.i1 也可以表示成为记忆口诀”小者小，大者大”解释:看 b,若b小,则不等号是小于号 例19.姐妹不等式:仆亠i)(i亠(i亠1).(1 12仆2n冇和13.11 3 5(2n X)2 4 6 2n 2n -1例 20.证明:(1 i)(i(1 J- K四、分类放缩例21.求证：1+丄<2 32J 2例22.（2004年全国高中数学联赛加试改编）在平面直角坐标系xoy中,y轴正半轴上的点列仏与曲线y =J2X（ x >0上的点列Bn满足O An0Bn|=1，直线An Bn在x轴上的截距为an.点Bn的横坐标为bn,nN*.例23.（2007年泉

9、州市高三质检）已知函数f（x）=x2 +bx+c（b眾,CER），若f（x）的定义域为1, 0,值域也 为1 , 0.右数列bn满足bf（n）（nN*），记数列bn的前n项和为人，冋是否存在正常数A,使得对于nn任意正整数n都有t<a ?并证明你的结论。x>0,例24.（2008年中学教学参考）设不等式组y0表示的平面区域为 D,y < -nx +3 n设D内整数坐标点的个数为an设Sn 1 +1卄十1,当nA2时，求证：1 + 1 +1屮1、7n+11.an 卡 anta2na1 a2 a3a2n36五、迭代放缩例25.已知Xn半_Xn +4 “ _1，求证:当n證时,f|

10、xWxni丄1例26.设Ssin 1丄sin 2!上丄sin n!,求证：对任意的正整数k,若k务恒有：|Sn+k Sn<Sn 21222"n六、借助数列递推关系例27.求证：13十1 3 5半“ 35；（姑丄）冬后122 42 4 62462n例28.求证：+1 33 5卄3 5宀（22），2卄122 42 4 62 4 6 .2n例29.若印日务十弘=卄,求证：丄丰洱严）a1 a2an 解析:a a n 42 a a 41 1 a _a心 n+-n n+豕 n* n所以就有 丄+丄卄4丄二乜+坷21洱瓦瓦2尹n +1 _2a1 a2an a1七、分类讨论例30.已知数列an的前n项和Sn满足& =2耳+（）n,n王1.证明：对任意的整数m >4，有1 ±i1 7屮一<- a4a5am8八、线性规划型放缩例31.设函数f（x） 2x.若对一切x壬r , =&l