时基本不等式及其应用

1、第49课时 基本不等式及其应用【重点难点】：掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不等式，能利用基本不等式求最大（小）值。【考点概述】了解基本不等式的证明过程会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题【热身练习】1（2010·广州市、汕头市调研）若，则的最小值为_。2. .设,则的最小值为_.（必修5复习题8改编）3. (2009·姜堰市期中)若，则的最小值为 4设，则的最小值是_。5. （2009·苏北四市第一次调研）已知函数的图象过点A（3，7），则此函数的最小值是 。【范例透析】【例1】（）已知，求函数的最大值； （）已知且，求函数的最小值。【例2】（2009&

2、#183;韶关市第一次摸底）已知函数（） 当时，求函数的最小值； （） 若对任意，恒成立，试求实数的取值范围【例3】（本小题满分15分）如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间。一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。现有可围成36长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？若使每间虎笼的面积为24，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：设每间虎笼长为，宽为，则面积。2分由于，所以，即，当且仅当时取等号。5分，所以，每间虎笼长、宽分别为时，可使面积最大。7分 设围成四间虎笼的钢筋网总长为，则，9分所以，当且仅当时取等号。12分故每

3、间虎笼长、宽分别为、时，可使钢筋的总长最小为。15分【变式训练】（2009·苏州市第一次摸底）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元.（1）若扣除投资和装修费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：纯利润总和最大时，以10万元出售；该楼年平均利润最大时以46万元出售该楼，问哪种方案更优？【例4 】ABC中，若a、b、c成等比数列，求证：（1）0B；（2）1。【巩固练习】1（2009·山东省调研）已知a>0,b>0，则的最大值是_。2.（2009

4、·苏州市第一次摸底）若实数、满足，则的最小值是_.3（2009·聊城市一模）用20长的铁丝折成的矩形最大面积是 2。 4（2009·潍坊市第一次调研）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为_。5. 设正数满足，则的最大值为 （必修5练习2改编）【双基达标】1. （2009·潍坊市期末）已知，则函数的最大值为 。2 (2010·苏北四市第二次调研)已知函数（为常数且），若在区间的最小值为，则实数的值为 .3. （2009·南京市一模）已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值为 。4. (2010·山东卷) 已知，且满足

5、，则的最大值为 .5（2010·烟台市一模)设若是与的等比中项，则的最小值为 6. (2011·威海市质检)若直线（，）被圆截得的弦长为4，则的最小值为 .【能力提升】7.（2009·海门市第一次诊断）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 .8（2009·苏州市第一次摸底）一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场，中间隔成3个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形最大总面积为 。9.（2009·盐城市第一次摸底）当且时，函数的图像恒过点,若点在直线上，则的最小值为_.10. （2009·如皋市第一次

6、调研）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米。（1）若设休闲区的长米，求公园ABCD所占面积S关于的函数的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ABCDA1B1C1D110米10米4米4米11.（2010·镇江市调研）四川汶川抗震指挥部决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板

7、的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元.房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内. （1）设房前面墙的长为米，两侧墙的长为米，所用材料费为元，试用表示；（2）简易房面积S的最大值是多少？并求当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？12（2009·徐州市期中）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，求的最小值 13.（2009·海安县第一次调研） 为了缓解交通压力，某省在两个城市之间修建一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车如果该列火车每次拖4节车厢，每日能来回16趟

8、；如果每次拖7节车厢，则每日能来回10趟火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的，每日来回趟数y是每次拖挂车厢节数x的一次函数，每节车厢满载时能载客110人（1）求出y关于x的函数关系式；（2）这列火车满载时每次应拖挂多少节车厢才能使每日营运人数最多?并求出每天最多的营运人数.14（2009·通州市第四次调研）某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年

9、平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？第49课时 基本不等式及其应用参考答案【热身练习】1.答案：解析：，（当且仅当等号成立）。2. 答案：解析：，。当且仅当时等号成立。故所求最小值为。3. 答案：解析：，。4答案：解析：，当且仅当时等号成立。5. 答案：6解析：函数的图象过点A（3，7），所以。，当且仅当时等号成立。故此函数的最小值是6。【范例透析】例1解：（1） （2）且，的最小值为16 。例2. 解：（1），当时，取得等号

10、.（） . 的取值范围是.例3. 【变式训练】解：（1）设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共.因此利润，令 ,解得： ， 所以从第4年开始获取纯利润 .（2）纯利润,所以15后共获利润：144+ 10=154 （万元）.年平均利润 （当且仅当，即n=9时取等号）,所以9年后共获利润：12=154（万元）.两种方案获利一样多，而方案时间比较短，所以选择方案.例4解：（1）a、b、c成等比数列b2=ac，且B（0，），0B （2）0B 【巩固练习】1答案：解析：。2. 答案：6解析 : ，。3答案：25解析：设矩形的一个边长为，则另

11、一边长为，面积4答案：解析：(xy)1aa1a2，且(xy)9，91a2(1)2，13，即a4.a的最小值为4.5. 答案：解析：，当且仅当时，的最大值为。 【双基达标】1. 答案：解析：，。，当且仅当时，等号成立。当时，。2答案： 解析：，所以，又在区间的最小值为，所以，解得。3. 答案：解析：，。4. 答案：解析：，即当且仅当且即等号成立。5答案：4解析：因为3a·3b3，所以ab1，(ab)()2224.当且仅当即ab时“”成立，6. 4解析：圆 半径为2，由题意得直线（，）过圆心，即 ，【能力提升】7. 答案：解析： ，且，当且仅当时等号成立。所以的最小值为。若恒成立，只要，即，解得。8答案：2500m2解析：设3个面积相等的每个矩形长米，宽米，如图所示，则，即。设围成的矩形最大总面积为。9. 答案：解析：A(2,1)，故2mn1.4m2n222.当且仅当4m2n，即2mn，即n，m时取等号4m2n的最小值为2.10. 解：由，知,当且仅当时取等号,要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米.11解：（1） 即 （2），且； 由题意可得： ， 当且仅当取最大值 ； 答：简易房面积的最大值为100平方米，此时前面墙设计为米. 12解：函数的图象恒过定点，所以的最小值为8。