带电粒子在磁场中运动的最小范围问题培训讲学

1、带电粒子在磁场中运动的最小范围问题图2带电粒子在磁场中运动的最小范围问题、磁场范围为圆形 例1 一质量为呵、带电量为孑的粒子以速度从0点沿轴正方向射入磁感强 度为E的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过厂轴,速度方向与疋轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。试求：（1）圆形磁场区的最小面积;(2)粒子从0点进入磁场区到达1点所经历的时间;(3)二点的坐标。解析:（1）由题可知，粒子不可能直接由O点经半个圆周偏转到点，其Bqv - tn& =匚由.，得 丄。弦长狄为： 一，要使圆形磁场区域面积最小，半径应为面积粒子运动的圆心角为120

2、0,的一半，即:2 2 滋 时间：必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到：点。可知，其离开磁场时的临界点与O点都在圆周上，至V圆心的距离必相等。如图2,过勺点逆着速度(3)- ，故却点的坐标为（丄，0）。"的方向作虚线，与匸轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意乌由上，距0点距离和到虚线上点垂直距离相等的I点即为圆周运动的圆心, 圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。、磁场范围为矩形例2如图3所示，直角坐标系第一象限的区域

3、存在沿轴正方向的匀强电场。现有一质量为 诜，电量为匚；的电子从第一象限的某点 广（，-；）以初速L度沿工轴的负方向开始运动，经过 芒轴上的点-r，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界（2）如图4,电子以与-畫成30°进入第四象限后先沿二丁做匀速直线运 动，然后进入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿 丁轴向上的速度经过O点。 可知圆周运动的圆心匚一定在X轴上，且匚点到O点的距离与到直线二"上M 点（M点即为磁场的边界点）的垂直距离相等，找出 “点，画出其运动的部分 轨迹为弧MNO所以磁场的右边界和下边界就确定了。分别与归轴、

4、龙轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点动，不计电子的重力。求（1）电子经过Q点的速度丫；O,并沿轴的-L正方亍向QX，解得（2）该匀强磁场的磁感应强度口和磁场的最小面积。解析：（1）电子从广点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到点，可知竖直丄，方向垂直纸面向里。Log=-R = -L矩形磁场的长度 1LriA 二应二L ，宽度-。成=Vq/-）3 ，所以电子经过R点时的速度为：-”，设'/与一-：方向的夹角为B,可知-，所以B =退曲二L©匸附二丄Z?矩形磁场的最小面积为：'30°。点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例 1中运动的逆过程，解题思路相似，关

5、键要注意矩形磁场边界的确定三、磁场范围为三角形例3如图5, 个质量为 讨，带电量的粒子在BC边上的M点以速度丁垂直于BC边飞入正三角形 ABC为了使该粒子能在 AC边上的N点(CMk CN垂真于AC(2)由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场 中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向 应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图 6作出圆0,粒子的运动轨迹为弧 GDEF圆弧在G点与初速度方向相切，在F点与出射速度相切。画出三角形边飞出ABC可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计

6、粒子的重力。试-;-:c，其与圆弧在D E两点相切，并与圆O交于F、G两点，此为符合题意的最 小磁场区域。由数学知识可知/ FOG600，所以粒子偏转的圆心角为3000,运动求:(1)粒子在磁场里运动的轨道半径 r及周期T;(2) 该粒子在磁场里运动的时间t ;(3) 该正三角形区域磁场的最小边长;(3)连接并延长与交与H点，由图可知 v，亠1響E - m 一-T-解析：(1)由和'r / =得：丁 _ ao-oH _ 2r4-rcos30Q 竺士+ 和点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度与从AC边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结

7、合几（开-1）M 讶图名还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V。与x轴夹角为9，若离何知识才能确定。另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是 三角形磁场的内切圆。四、磁场范围为树叶形例4在"卩平面内有许多电子（质量为、电量为5），从坐标0不断以相同速率 沿不同方向射入第一 象限，如图7所示。现加一个垂直于"平面向内、磁 感强度为占的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能 平行于工轴向t正方向运动，求符合该条件磁场的最小面 积。解析：电子在磁场中运动半径是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图8所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆

8、 0和 圆O为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆0在x轴上方的1/4个圆弧odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成 的线必为以点0为圆心，以R为半径的圆弧0OQ。由于要求所有电子均平行于 x轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。 可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线00）向上平移一段长度为“聲的距离即图9中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域积:开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y），从图10中看出，八迟-代=段，即宀少-疔冷（呼。，y>0），这是个圆方程，圆心在（0, R）处，圆的1/4圆弧部分即为磁场区域的下-* 边界。I点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围, 磁场下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。由以上题目分析可知