线性控制系统3极零点与稳定性2

1、第三章 多变量系统的极点、零点和稳定性Poles, Zeros and Stability of Multivariable Feedback Systems本章内容：· 传递函数的Smith-McMillan标准形· 传递函数的极点和零点· 传递函数的矩阵分式描述(MFD)· 系统的内稳定· 奈奎斯特稳定判据3.1 Introduction多变量系统的传递函数矩阵transfer-function matrix是有理真分式(rational proper fraction)，对多变量系统的研究很多时候采用状态空间模型。最基本的两个系统的连接(

2、connection)：串联(series)、并联(parallel)和反馈 (feedback) 连接。一个反馈系统如图2.1(c) 【P85】，有关系式 则 (注意乘积的顺序)回差(return difference)： 回比(return ratios)： 3.2 传递函数的Smith-McMillan形式对极点、零点的一般化研究，需要Smith-McMillan标准形式.单模阵(幺模阵, unimodular)： 与都是多项式矩阵.或 常数(与s无关)初等矩阵(elementary matrix)：单位矩阵经过一次初等变换(elementary operations)后的矩阵。初等变换

3、：交换两行或列；用常数乘以某行或列；某行或列乘一多项式加到另一行上。两个矩阵等价， 与等价，记为：定理3.1：任意多项式矩阵等价于一个伪对角多项式，形式为Smith标准型 Smith form (pseudo-diagonal polynomial matrix)：是首一(monic)多项式，是的不变因子，且满足： (整除特性divisibility property)是的不变因子(invariant factors)。行列式因子. determinantal divisors例1：化下面多项式矩阵为Smith标准形式 (怎样化标准形？) 定理3.2 (Smith-McMillan form)

4、 : 如果是有理函数矩阵rational matrix，具有一般秩，则可以通过系列初等变换化为Smith-McMillan 标准形：解释一般秩：Normal rank例2 3.3 传递函数的极点和零点Poles and Zeros of a transfer function matrix定义极点多项式： 零点多项式： 与的根(roots)称为传递函数的极点和零点传递函数的极点和零点的含义：极点：的分母中有因子(以该点为根)零点：的分子中不一定有因子，但该点使的秩下降，但重数不能这样简单确定。极点多项式的次数称为传递函数的McMillan次(degree)零点：通常称为传递(输)零点(tran

5、smission zeros)上面例2中，零点2, 极点-1, -1, -2, 都是简单的(simple)。推论：如果是方的，则。3.4 矩阵分式描述Matrix Fraction Description (MFD)设是严格真(strictly proper)有理传递函数，和是单模阵，可化为Smith-McMillan标准型：上式被称为的右矩阵分式描述(right matrix fraction description). (同理有左矩阵分式描述)-分子矩阵(numerator matrix)-分母矩阵(denominator matrix)(1) z is a zero of if and

6、only if loses rank(2) p is a pole of if and only if loses rankMFD表示不是唯一的定义： 右互质(right coprime)如果 只对单模阵 成立，则称与右互质这时称 是不可约的(irreducible)怎样判定与右互质？存在多项式矩阵使得。如果 是不可约的(irreducible)，则的极点多项式：.3.5 状态空间实现State Space Realization显然有定理3.3：设有最小实现 ，是的首一极点多项式，则 例3：最小实现 3.6 多少零点？How Many Zeros?有零点的非方形传递函数是特殊的，一般的非方形

7、传递函数无零点例4：怎样判定下面传递函数是否有零点？SISO传递函数情况：零点和极点：有m个有限(finite)零点，有n个有限极点如果，在无穷远处(at infinity)有个零点如果，在无穷远处(at infinity)有个极点在的极点和零点，通过在的极、零点来定义.传递函数是方阵情况：定理3.4：如果是方阵，那么它的极点和零点一样多设在0有个零点，个极点，则总的极点数与总的零点数相等：非方形传递函数上面结论不成立。例5： 有两个极点，没有零点。关于零点的进一步讨论 (further discussion)设是方形，维数 ，最小实现：若，则 在至少有个零点这样至少有个零点在无穷远处因此至多

8、个有限零点但当时，一般情况，的秩在无穷远处不下降，所以得有n个有限零点。若，至多有个有限零点，至少m个零点在无穷远处当时，恰有个有限零点当时，至多有个有限零点更精确计算有限零点的数目需要检查马可夫(Markov)参数：.更详细讨论Kailath(1980), MacFarlane (1976)-IJC3.7 内部稳定性 Internal Stability定义：指数稳定(exponentially stable)： 正则且没有闭右半复平面(CRHP)极点.内部稳定(internally stable)：图2.2【P103】所示反馈系统是内部稳定的，当且仅当传递函数， 是指数稳定的。 (相对于外

9、部稳定)这是称是内部稳定的，或镇定。求出 (注意正反馈条件下)两点说明：(1) 定义中排除了与不稳定的极零点相消；(2) 检验四个传函都是指数稳定的。内部稳定-指反馈系统，指数稳定-指传递函数。定理3.5：如果指数稳定，则图2所示反馈系统内部稳定当且仅当指数稳定。(存在指数稳定时，称是可强镇定的strong stabilizable)证明：定理3.6：如果指数稳定，则指数稳定当且仅当(1) 在闭右半平面上没有零点(包括无穷远点including infinity)；(2) 在的闭右半平面极点处解析(analytic)(包括无穷远极点)。 【更详细(细致)的结果】例6： 因此，不能镇定.负反馈：

10、换为.设计者应遵循的原则：不能引入右半平面的极零点对消.3.8 一般Nyquist稳定判据The Generalized Nyquist Stability Criterion取反馈(负反馈)，并设在闭右半平面上有个极点和个零点，则由幅角原理(the principle of the argument)注意：的极点就是的极点闭环系统稳定性分析：闭环系统稳定如果是的特征值，则是的特征值所以判定稳定性问题转化为计算的Nyquist图围绕原点的圈数问题，进一步得绕点的圈数问题(与经典判据一样了)。的图被称为特征轨迹characteristic loci例7：(取)， 下面的问题：数圈和一起形成一个封

11、闭曲线(如图2.3【P108】) 是一个单位圆。所以时系统稳定，时系统不稳定。定理3.7 (Generalized Nyquist Theorem) 如果有个不稳定Smith-McMillan极点，则具有回比为的闭环系统稳定，当且仅当的特征轨迹一起逆时针包围点 圈，假设没有隐藏不稳定模(没有极零点对消)。例8：见书中图2.4【P109】（附下图：的Nyquist图）分析：, 再计算一个点(确定分支).设，取，则.时, 取当变化时系统的稳定性: 系统稳定 系统不稳定 系统稳定 系统不稳定 系统稳定-总结 Summary· 掌握多项式矩阵的Smith标准形及传递函数的Smith-McMillan标准形(