离散数学课后习题答案二

1、习题3.71. 列出关系中所有有序4元组。解 2. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。表3.18 航班信息航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir11234底特律08:10Acme22122丹佛08:17Acme12233安克雷奇08:22Acme32334檀香山08:30Nadir19913底特律08:47Acme22222丹佛09:10Nadir32234底特律09:44解 略3. 当施用投影运算到有序5元组时你能得到什么？解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？解 略5. 给出分别施用投影运

2、算和选择运算到二维表3.18以后得到的表。解 对航班信息二维表进行投影运算后得到的二维表航班登机口起飞时间1123408:102212208:171223308:223233408:301991308:472222209:103223409:44对航班信息二维表进行选择运算后得到的二维表航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir11234底特律08:10Nadir19913底特律08:47Nadir32234底特律09:446. 把连接运算用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解 略7. 构造把连接运算用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。表3.19零

3、件供应商表3.20 零件数量和颜色代码供货商零件号项目零件号项目数量颜色代码231092110011148231101310921222390484110131131497533477225231347724975362326984469844101329191290484122331001191912804解 零件供应商二维表与零件数量和颜色代码二维表连接运算结果供货商零件号项目数量颜色代码33100111482310921222311013113134772252314975362326984410123904841223291912804第4章：群、环、域习题4.11. 判断下列集合对所

4、给的二元运算是否封闭。（1）集合关于普通加法和普通乘法运算，其中是正整数。（2）集合关于普通加法和普通乘法运算。（3）集合关于普通加法和普通乘法运算。（4）集合关于普通加法和普通乘法运算。（5）阶实可逆矩阵集合关于矩阵加法和矩阵乘法运算。对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和分配律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。解 略2. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。（1）正实数集合和*运算，其中*运算定义为：（2）。*运算定义为：对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和等幂律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。解 （

5、1）不封闭，例如：（2）封闭。不满足交换律：满足结合律：，满足等幂律：都是左单位元，但无右单位元。都是右零元，但无左零元。因为无单位元，所以无逆元。3. 设，这里是有理数集合，*为上的二元运算，（1）*运算在上是否可交换、可结合？是否为等幂的？（2）*运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求中所有可逆元素的逆元。（3）*运算在上是否满足消去律？解 略4. 为实数集合，定义以下六个函数。有（1）指出哪些函数是上的二元运算。（2）若是上的二元运算，说明是否是可交换的、可结合的、等幂的？（3）若是上的二元运算，在存在的情况下求出单位元、零元以及每个可逆元素的逆元。（4）若是上的二元运算，说明是否

6、满足消去律。解 略5. 设，问下面定义的运算*在上是否封闭？对于封闭的二元运算，请说明运算是否满足交换律、结合律，并并在存在的情况下求出运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。（1），表示与的最大公因数。（2），表示与的最小公倍数。（3）大于等于和的最小整数。（4）质数的个数，其中。解 （1）封闭。满足交换律，满足结合律，满足等幂律。无单位元，1是零元。因为无单位元，所以无逆元。（2）不封闭，例如：（3）封闭。满足交换律，满足结合律，满足等幂律。1是单位元，10是零元。1的逆元为1，其他无逆元。（4）封闭。不满足交换律，不满足结合律，不满足等幂律。无单位元，无零元。因为无单位元，所以无逆元&#

7、167;4.2 半群与群习题4.21. 设是所有形如的矩阵组成的集合， *表示矩阵乘法。试问是半群吗？是有么半群吗？这里是实数。解 任取中的2个元素、是一个代数系统。且因为矩阵的乘法满足结合律，所以是半群。又因为，只要1，则*对任何的成立，即是左单位元（不论取什么值）。但右单位元不存在，因为不论，取什么值， 不可能对任何的成立。所以单位元不存在（事实上，若单位元存在，则左、右单位元都存在且相等还唯一），所以不是有么半群。2. 在正实数集合上定义运算*如下试问是半群吗？是有么半群吗？ 解 略3. 在自然数集合上定义运算和如下：，试问和是半群吗？是有么半群吗？ 解 略4. 设是半群，它有一个左零元

8、，令证明构成半群。解 略5. 在一个多于一个元素的有么半群中，证明一个右零元不可能有右逆元。解 略6. 设是一个多于一个元素的集合，是上所有函数组成的集合，证明有么半群有多于一个的右零元，但没有左零元。这里表示复合运算。解 略7. 设为整数集合，在上定义二元运算如下：问关于运算能否构成群？为什么？解 略8. ，证明是群，这里是复合运算。解 略9. 设，证明是群，这里，运算表示将代换到中所在位置。解 略10. 设。在上定义六个函数如下：令为这六个函数构成的集合，是复合运算。（1）给出的运算表。（2）验证是群。解 （1）的运算表如下：（2）从上运算表可以看出，运算具有封闭性，满足结合律，单位元为，

9、每个元都有逆元，所以构成群。11. 在群中计算下列元素的幂：解 12 在群中，证明，解 略13. 设，对于上的二元运算“模7乘法”：构成群。请（1）给出的运算表。（2）验证构成群。（3）给出每个元的次数。解 略14. 设，对于上的二元运算“模15乘法”：请（1）给出的运算表。（2）验证构成群。（3）给出每个元的次数。解 （1）的运算表如下：12478111314112478111314224814171113448113214711771413411218881211413147111171421318413131171148421414131187421（2）从上运算表可以看出，运算具有封闭

10、性，满足结合律，单位元为“1”，每个元都有逆元（元素的逆元分别是：1，8，4，13，2，11，7，14），所以构成群。（3）元素的次数分别是：1，4，2，4，4，2，4，2。习题4.31. 设是群，若有，证明为交换群。解 略2. 设是群，证明是交换群的充分必要条件是有。解 必要性：如果是交换群， 有是显然的。充分性：根据得，再由消去律得，即交换律成立，所以是交换群。3. 设是群，并且对任意的都有，证明是交换群。解 略4. 设是有限半群，且满足消去律，证明是群。解 对于，考虑集合由封闭性可知。又由于是有限集，所以也是有限集。故必有，使得所以有由消去律可得这表明是左单位元，同理可证它是右单位元，所

11、以是单位元。又因为所以，有逆元。因此，是群。5. 设是群，证明解 略6. 设是群，且。如果且与互质，证明。解 略7. 证明循环群一定是交换群，举例说明交换群不一定是循环群。解 略8. 证明由1的次复根的全体所组成的集合在复数乘法下构成一个阶循环群。解 由代数的知识可知，1的次复根的全体所组成的集合为，有。若，则；若，则存在，使得，而 。因此关于数的乘法是封闭的。故是代数系统。数的乘法运算满足结合律。故是半群。因为，有，所以是的么元。故是有幺半群。，存在，使得，所以的逆元存在。故是群。因为，故是群的一个生成元，因此是循环群。9. 阶数为5、6、14、15的循环群的生成元分别有多少个？解 设是阶数

12、为5的循环群的生成元，因在比5小的正整数中有且仅有，3，4与5互质，所以也是生成元，因此生成元个数为4。 设是阶数为6的循环群的生成元，因在比6小的正整数中有且仅有5与6互质，所以也是生成元，因此生成元个数为2。设是阶数为14的循环群的生成元，因在比14小的正整数中有且仅有3，5，9，11，13与14互质，所以也是生成元，因此生成元个数为6。设是阶数为15的循环群的生成元，因在比15小的正整数中有且仅有2，4，8，11，13，14与15互质，所以也是生成元，因此生成元个数为7。10. 设，对于上的二元运算“模12乘法”：（1）证明构成群。（2）求中每个元素的次数。（3）是循环群吗？习题4.41

13、. 给出群的全部子群。解 两个非平凡子群是：和，两个平凡子群是：和。2. 设，对上的二元运算“模12乘法”：构成群，请求出的所有子群。解 略3. 设是群，是其子群，任给，令证明是的子群（称为的共轭子群）解 略4. 设是群，和是其子群，证明和是的子群当且仅当，其中解 略5. 设是群，是的子集，证明是的子群当且仅当，这里证（1）因为是的子集，根据的定义，显然有：又因为中任意元素可以写成，所以，还因为中任意元素可以写成，所以，因此 （2），因为，所以 由子群的判定定理知，是的子群。6. 某一通讯编码的码字，其中和为数据位，和为校验位（都是0或1），并且满足这里是模2加法。设是所有这样的码字构成的集合

14、。在上定义二元运算如下：证明构成群，且是的子群，其中是长度为7的位串构成的集合。解 略7. 设是循环群，和是它的两个子群。证明，这里是和的最小公倍数。解 ，则根据定理，应是的倍数，也应是的倍数，从而应是和的最小公倍数的倍数，所以。，则应是和的最小公倍数的倍数，从而是的倍数，也是的倍数，所以，即。8. 设5阶置换为计算，。解 略9. 设，写出上的所有4元置换。解 略10. 列出4元对称群的运算表，求出单位元，每个元的逆元，每个元的次数以及它的所有子群§4.5 陪集与商群习题4.51. 集合在“模20加法”下构成群。设是由元素5生成的的子群。（1）求的每个元素及其次数。（2）求在中的所有

15、左陪集。解 （1），的次数分别为：1，4，2，4。（2）在中的所有左陪集如下：，2. 求12阶循环群的子群在中的所有左陪集。解 所有左陪集如下：，3. 设是群的子群，证明的所有不同左陪集（右陪集）中有且仅又一个在下构成的子群。解 略4. 证明6阶群必含有3次元。解 略5. 证明偶数阶群必含2次元。解 设是偶数阶群，若它无二次元，则对中的非单位元，有所以，中的元素，除单位元外，其他都是成对出现的，所以中的元素是偶数个，矛盾。故偶数阶群必含2次元。6. 证明在有限群中次数大于2的元素的个数必定是偶数。解 略7. 设是一个阶数为的有限群，其中是质数，证明是循环群并求它的所有子群。解 略8. 设和分别

16、是群的阶子群，若互质，证明。解 略9. 设为虚数单位，即，令证明在矩阵乘法下构成群，并（1）给出的运算表。（2）找出的所有子群。（3）证明的所有子群都是正规子群。解 略10. 设是群，和是其子群，若或是正规子群，则，其中，解 略11. 设是群，是其子群，证明是正规子群当且仅当对任意的，都有。解 略12. 令是整数加群。求商群，和，其中，集合，。解 略习题4.61. 对以下各小题给定的群和以及映射，说明是否为群到的同态。如果是，说明是否为单同态，满同态和同构，并求同态像和同态核。（1），其中为非零实数的集合，和×分别表示实数加法和实数乘法运算。（2），其中，为复数集合，和×分

17、别表示实数加法和实数乘法运算。（3），其中，和×的定义同（2）。解 （1）因为，当，都为偶数，有，当，都为奇数，有，当，一个为偶数一个为奇数，有，所以不是群到的同态。（2）因为，从而，所以不是群到的同态。（3）根据（2），也不是群到的同态。2. ，都是有么半群，其中，×表示实数乘法运算。证明是从到的同态映射。解 略3. ，都是有么半群，和×分别表示实数加法和实数乘法运算。证明是从到的单同态，但不是同构。解 略4. 是整数加法群，是任意一个群，对于中的任一固定元素，令，证明是从到的同态映射，并求同态核。解 略5. 是实数加法群，是模为1的复数对于乘法运算的群，这两个

18、群同态吗？同构吗？请说明理由。解 略6. 和分别是正整数对于加法和乘法构成的半群，试问从到，从到都存在同态映射吗？说明理由。解 的同态映射如下：而不存在同态映射，这可用反证法进行证明。若存在的同态映射，则有：特别地令，则得到，这与是的映射矛盾，所以不存在同态映射。7. 设是从群到群的同态映射，是从群到群的同态映射，证明复合函数是从群到群的同态映射。解 略8. 设、是代数系统，都是二元运算，是从到的同态映射，则（1）是上的运算，即是代数系统。（2）如果在上满足交换律，则在上也满足交换律。（3）如果在上满足结合律，则在上也满足结合律。（4）如果在上满足等幂律，则在上也满足等幂律。（5）如果是的零元

19、，则是的零元。解 略9. 设、是代数系统，都是二元运算， 是从到的同态映射，证明如果在上，和满足吸收律，则在上，和也满足吸收律。解 略10. 设是群，定义映射为，证明是的自同构当且仅当是交换群。解 略11. 设是从群到群的同态映射，证明若是循环群，则也是循环群。解 略12. 设和分别是阶群和阶群，若从到存在单同态，证明，即是的因子。解 略13. 设是从群到群的同态映射，对任意的，记，试问和的次数是否一定相同？如果不同，它们之间有何关系？解 略14. 给出群的全部自同态。解 略习题4.71. 设。证明关于复数的加法和乘法构成环，称为高斯整数环。2. 设为实数，称为实数域上的次多项式，令。证明关于

20、多项式的加法和乘法构成环，称为实数域上的多项式环。3. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域，如果不能构成，请说明理由。（1），运算为复数的加法和乘法。（2），运算为实数的加法和乘法。（3），运算为实数的加法和乘法。（4），运算为实数的加法和乘法。（5），运算为实数的加法和乘法。4. 设是环，证明（1）（2）（3）5. 设是环，令称作环的中心，证明是的子环。6. 设和是含么环中的两个可逆元，证明：（1）可逆，且（2）可逆，且7. 在域中解下列方程和方程组：（1）（2）8. 类似于子环，给出子整环和子域的定义习题5.11. 下面哪些集合是偏序集？（1）（2）（3）（4）解 （1）是偏序集，

21、（2）不是偏序集，（3）是偏序集，（4）不是偏序集2. 确定由下面的关系图5.6表示的表示的3个关系是否为偏序？并列出这些关系中的所有序偶来进行验证。dcbadcbabadc(a)(c)(b)解 略图5.6 习题2的图3. 确定由下面的关系矩阵表示的关系是否为偏序？（1）（2）（3）解 略4. 画出在下述集合上的整除关系的哈斯图。（1）（2）（3）（4）解 （1）、（2）的哈斯图如下：(a)54832671117325131（3）、（4）略5. 在下面偏序集中找出两个不可比的元素。（1）（2）解 略6. 是偏序集。（1）求极大元素和极小元素。（2）存在最大元素吗？存在最小元素吗？如果存在，请求

22、出。（3）找出子集的所有上界。如果它的上确界存在的话，上确界。（4）找出子集的所有下界。如果它的下确界存在的话，求出下确界。解 （1）极大元素为9，15，24和45，极小元素为3和5。（2）不存在最大元素，也不存在最小元素。（3）子集的上界有15和45，上确界是15。（4）子集的下界有3，5和15，下确界是15。7. 是偏序集。（1）求极大元素和极小元素。（2）存在最大元素吗？存在最小元素吗？（3）找出子集的所有上界。如果它的上确界存在的话，上确界。（4）找出子集的所有下界。如果它的下确界存在的话，求出下确界。解 略8. 给出满足下列性质的偏序集。（1）有一个极小元素但没有极大元素。（2）有一

23、个极大元素但没有极小元素。（3）既没有极大元素也没有极小元素。解 略9. 设是集合上的半序。（1）证明是等价关系。（2）定义商集上的关系：，当且仅当在、中分别存在元素使得。证明是商集上的偏序。解 略10. 给出下面小写英文字母串的字典序。（1）quack，quick，quicksilver，quicksand，quacking（2）open，opener，opera，operand，opened（3）zoo，zero，zoom，zoology，zoological解 略11. 给出二进制串0，01，11，001，010，011，0001和0101的基于的字典顺序。解 略12. 假设和是两个偏序

24、集。在笛卡儿积上定义一个关系：当且仅当且。证明这样定义的关系是集合上的偏序关系。解 略13. 求一个与集合上的整除关系相容的全序。14. 如果表示建筑一座房子所需任务的哈斯图如下图5.7所示，通过制定这些任务的顺序来安排他们。解 略15. 对一个软件项目的任务进行排序，关于这个项目任务的哈斯图给在图5.8中。模块集成测试测试完成建立测试点写文档编写功能需求确定用户需求开发系统需求图5.8 习题15的图解 对一个软件项目的任务排序如下：确定用户需求，编写功能需求，开发系统需求，建立测试点，开发模块A，开发模块B，开发模块C，模块集成，写文档，测试，测试，完成。习题5.21. 确定具有下面图5.1

25、1所示哈斯图的偏序集是否为格，习题5.31. 对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统（半群、有么半群、群、环、域、格、布尔代数），并说明理由。（1），为普通乘法。（2），。这里的是给定正整数，且。（3），为普通乘法。（4），和分别表示求和的最小公倍数和最大公因数。（5），为模2加法，为模2乘法。解 （1），为普通乘法。是群。（2），。这里的是给定正整数，且。是半群（无单位元）。（3），为普通乘法。是有幺半群（0没有逆元）。（4），和分别表示求和的最小公倍数和最大公因数。是布尔代数。（5），为模2加法，为模2乘法。是布尔代数。2. 在布尔代数中证明解 略3. 对于，给出所有不同构的

26、元格，并说明其中那些是分配格、有补格和布尔格。解 略4. 设是布尔代数，在上定义二元运算，有问能否构成代数系统？如果能，指出是哪一种代数系统。为什么？解 略5. 在布尔代数中化简下列式子（1）（2）（3）（4）（5）（6）解 略6. 在布尔代数中证明下列等式（1）（2）（3）（4）（5）解 略7. 设是从布尔代数到布尔代数的同态映射，证明构成的子布尔代数。解 略dacefbbdfhgceabdfhgceai(a)(b)(c)图5.11 习题1的图解 图(a)是格，图(b)是格，图(c)是格。2. 在一个公司里用信息流的格模型控制敏感信息，公司的每个部门都具有由有序对表示的安全类别，其中是权限级别，是种类。这里，权限级别可以是0（非私有的），1（私有的），2（受限制的）或3（注册的）。种类是集合猎豹，黑鹰，美洲狮的子集（在公司里常常使用动物的名字作为项目的代码名字）。试问（1）信息允许从（私有的，猎