高中数学解三角形最值

1、三角形中的最值（或范围）问题 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1在ABC中， 分别是内角的对边，且2asinA =（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.(1) 求角A的大小；（2）求的最大值.变式1：已知向量，且，其中是ABC的内角，分别是角的对边.(1

2、) 求角的大小；（2）求的最大值.解：由，得a+bc=ab=2abcosC所以cosC=，从而C=60故=sin(60+A)所以当A=30时，的最大值是变式2已知半径为R的圆O的内接ABC中，若有2R（sinAsinC）=（ab）sinB成立，试求ABC的面积S的最大值。解：根据题意得： 2R()=(ab)*化简可得 c=a+bab, 由余弦定理可得：C=45, A+B=135 S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135A)=(sin(2A+45)+10<A<135 45<2A+45<315 当2A+4590即A=15时，S取得最大值

3、。类型二：利用重要不等式来解决例2（13年重庆中学）在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值（2）求的面积的最大值。解（1）由余弦定理， ，又<，解方程组得或 (舍) （2）由余弦定理， ，又即时三角形最大面积为变式3在ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c, ABC的外接圆半径R=,且（1）求B和b的值； （2）求ABC面积的最大值解：由已知，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)= 2sinAcosBA+B+C= sinA =2sinAcosBsinA0 cosB= B=60R=, b=2RsinB=2sin60=3

4、,故角B=60,边b=3由余弦定理得b=a+c-2accosB即9a+c-2accos 609ac= a+c2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)三角形得面积s=acsinB*9*sin60=三角形得面积的最大值是变式4：ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是 答案：解法1.由a=2,c=1, a=2c2sinA=4sinC sinC = sinA0<C<A 0<C30解法2.cosC=(b+),故0<C30练习：1、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C且。（1）判断ABC的性状； (2)若|2，求·

5、;的取值范围解：(1)由及正弦定理得sinBsin2C，B2C，且B2C，若B2C，C，B，BC(舍)；B2C，则AC，ABC为等腰三角形(2)|2，a2c22ac·cosB4，cosB(ac)，而cosBcos2C，C，cosB1，1a2，又·accosB2a2，·(，1)2、在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为（ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：cos2，cosB， a2c2b22a2，即a2b2c2， ABC为直角三角形 答案：B 3、在ABC中，sin(C-A)=1,

6、sinB=。（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积。 解：（I）由知。又所以即故(II)由（I）得：又由正弦定理，得：所以4. 在中，角，所对应的边分别为，且（）求角的大小；（）求的最大值5. 在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；.（）若，试判断的形状. 等腰三角形6（2012陕西）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ C ）A. B. C. D.7.(2014新标1) 已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .【解析】由且 ，即，由及正弦定理得：，故，8.（2012安徽文）设的内角所对的边为，且有（）求角的大小；学（II） 若，为的中点，求的长。【

7、答案】（）；（II）9.(2014新标2文) 四边形的内角与互补，. （1）求和； （2）求四边形的面积.【答案】（I），。 （）10.（2013湖北）在中，角，对应的边分别是，. 已知.（）求角A的大小；（）若的面积，求的值.【简解】（）由，得，解得 或（舍去）. 因为，所以. （）由得. 又，知. 由余弦定理得故. 又由正弦定理得. 11(2013江西) 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C(cos Asin A)cos B0. (1)求角B的大小； (2)若ac1，求b的取值范围【简解】(1)由已知sin Asin Bsin Acos B0，sin Bcos

8、B0，tan B， B.(2) b2a2c22accos B(ac)23ac(ac)232(ac)2，等号可以成立b. 又ac>b，b<1，b<1.12.（2013四川）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC). (1)求cos A的值； (2)若a4，b5，求向量在方向上的投影【简解】(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB)，即cos A.(2)由

9、cos A，0<A<，得sin A，由正弦定理，有，所以，sin B.由题知a>b，则A>B，故B，根据余弦定理，有(4)252c22×5c×，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cos B13.(2013新标2) ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B； (2)若b2，求ABC面积的最大值【简解】(1) sin Asin Bcos Csin Csin Bsin(BC)sin Bcos Ccos Bsin Csin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.14、（2015年新课标2文）ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（I）求 ； （II）若,求.1、已知中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若的面积为S,且等于（）ABCD 【答案】C 由得,即,所以,又,所以,即,所以,即,选C 2、若三角形的内角满足，则的最小值是 【解析】3、在中，为边上一点， （1）求的大小； （2）当时，求的值解：（1） 由已