2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质学案理新人教A版

1、第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质做高考真题Q明命题趋向做真题题型一圆锥曲线的定义与方程1. （2019高考全国卷I）已知椭圆C的焦点为Fi（1,0）,F2（1,0）,过F2的直线与C交于A,B两点，若|AF2I=2|F2B|,|AB|=|BF|,则C的方程为（）A.错误！+y2=1B.错误！+错误！=1C.错误！+错误！=1D.错误！+错误！=1解析：选B.由题意设椭圆的方程为错误！+错误！=1（ab0）,连接F1A,令|F2B|=m则|AE|=2m,|BF|=3m由椭圆白定义知,42a,得m错误！，故|F2Al=a=|RA,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令/OAF=9（O为坐标原点），则s

2、in9=错误！.在等腰三角形ABF中，cos28=错误！=错误！，所以错误！=12错误！错误！，得a2=3。又c2=1,所以b2=a2c2=2,椭圆C的方程为错误！+错误！=1.故选B.2. （2019高考全国卷H）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆错误！+错误！=1的一个焦点，则p=（）A.2B.3C.4D.8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为错误！，椭圆的焦点坐标为（土错误！,0）,所以错误！=错误！，解得p=8,故选D.3.（一题多解）（2017高考全国卷田）已知双曲线C：错误！一错误！=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程为y=错误!X,且与椭圆错误！+

3、错误！=1有公共焦点，则C的方程为（）A.错误！一错误！=1B.错误！一错误！=1C,错误！一错误！=1D.错误！一错误！=1解析：选B,法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为错误！错误！=k（k>0）,即错误！一错误！=1,因为双曲线与椭圆错误！+错误！=1有公共焦点，所以4k+5k=123,解得k=1,故双曲线C的方程为错误！一错误！=1.故选B.2x法二：因为椭圆12+错误！=1的焦点为（±3,0）,双曲线与椭圆错误！+错误！=1有公共焦点，所以a2+b2=（±3）2=9,因为双曲线的一条渐近线为y=错误！x,所以错误！=错误!，联立可解得a2=4,b2=5

4、,所以双曲线C的方程为错误！一错误！=1。4.（2017高考全国卷H）已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则|FN|=.解析：法一：依题意，抛物线C:y2=8x的焦点F（2,0）,准线x=2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点，设M（a,b）（b>0）,所以a=1,b=2错误！，所以N（0,4错误！），|FN=错误！=6。法二：依题意，抛物线C:y2=8x的焦点F（2,0）,准线x=2,因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点，则点M的横坐标为1,所以|MF|=1（2）=3,|FN|=2|

5、MF|=6.答案：6题型二圆锥曲线的几何性质1.（2018高考全国卷H）已知Fi,F2是椭圆C：错误！+错误！=1（a>b0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为W3的直线上，PFF2为等腰三角形，/FiF2P=6120°,则C的离心率为（）A.错误！B.错误！C.错误！D.错误！解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|=2c,因为PF1F2为等腰三角形，且/FiF2P=120°,所以|PE|=|F1F2|=2c,所以|OFI=c,所以点P坐标为（c+2ccos600,2csin60°）,即点P（2c,错误！c）.因为点

6、P在过点A且斜率为错误！的直线上，所以错误！=错误！，解得错误！=错误！，所以e=错误！，故选D.2.（一题多解）（2019高考全国卷I）已知双曲线C：错误！一错误！=1（a0,b>0)的左、右焦点分别为Fi,F2,过Fi的直线与C的两条渐近线分别交于AB两点.若错误!=AB,错误！错误！=0,则C的离心率为.解析：通解：因为错误！错误！=0,所以FiB±F2B,如图.所以|OF|=|OB|,所以/BFO=/FiBO所以/BOF=2/BFO。因为错误！=错误！，所以点A为FiB的中点，又点。为F1F2的中点，所以OA/BE,所以FiB±OA因为直线OAOB为双曲线C的

7、两条渐近线，所以tan/BFO=错误！，tan/BOF=错误！.因为tan/BOF=tan(2/BFQ,所以错误！=错误！，所以b2=3a2,所以c2a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e=错误！=2。优解：因为错误！错误！=0,所以FiB±F2B,在RtzXFiBE中,|OB=IOF|,所以/OBF=/OFB,又错误！=错误！，所以A为FiB的中点，所以OA/F2B,所以/FiO上/OFB。又/FiOA=/BOF,所以OBF为等边三角形.由F2(c,0)可得B昔误！，因为点B在直线y=错误！x上，所以错误！c=错误！错误！，所以错误！=错误！，所以6=错误！=2。答案：22

8、3.(一题多解)(20i8图考全国卷田)已知点Mi,i)和抛物线C：y=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于AB两点.若/AM490°,则k=.解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(i,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(xi)(kw0),由错误！消去y得k2(xi)2=4x,即k2x2(2k2+4)x+k2=0,设A(xi,yi),B(x2,y),则X1+X2=错误！，x1x2=i.由错误！消去x得y2=4错误！，即y2错误！y4=0,则y+y2=错误！，y1y2=4,由/AMB=90,得错误！错误！=(xi+i,yii)(x2+i,y2i)=x1x2+xi+x2+i

9、+yiy2-(yi+y2)+i=0,将X1+X2=错误！，x1x2=i与yi+y2=错误！，y1y2=4代入，得k=2。法二：设抛物线的焦点为F,A(xi,yi),B(x2,y。，则错误！所以y错误！一y错误！=4(xix2),则k=错误！=错误！，取AB的中点Ml(x°,y°),分别过点A,B作准线x=1的垂线，垂足分别为A',B',又/AMB1_=90,点M在准线x=1上，所以|MM|=2|AB|=错误！(|AF|+|BF|)=错误!(|AA|+|BB|).又M'为AB的中点，所以MM平彳T于x轴，且y0=1,所以yi+y?=2,所以k=2.答案

10、：2明考情1 .圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容.以选择、填空题的形式考查，常出现在第411题或1516题的位置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等.2 .圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大.圆锥曲线的定义与标准方程典型例题假由(1)椭圆错误！+错误！=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点MN,当FMN的周长最大时,FMN勺面积是()A.错误！B.错误！C.错误！D.错误！22(2)设R,F2分别是双曲线C：余一2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF|十|PF2|=6a,且PFF

11、2最小内角的大小为30°,则双曲线C的渐近线方程是()A.错误！x±y=0B.x±错误！y=0C.x±2y=0D.2x±y=0【解析】(1)如图，设椭圆的右焦点为F',连接MF,NF.了因为|MF+|NF|+|MF|+|NF|，MF+|NF|+|MN,所以当直线x=m过椭圆的右焦点时,FMN勺周长最大.此时|MN=错误！=错误！，又c=错误！=错误！=1,所以此时FMN勺面积S=错误！x2X错误！=错误！.故选C.(2)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF|-|PE|=2a。又|PF|+|PE|=6a,解得|PF|=

12、4a,|PE|=2a,又|FiF2|=2c,贝bPF|=2a最小,所以/PFiF2=30°.在PFF2中,由余弦定理，可得cos300=错误！=错误！=错误！，整理得c2+3a2=2错误！ac,解得c=43a,所以b=c2a2=错误！a.所以双曲线C的渐近线方程为y=±，2x。故选A.【答案】(1)C(2)A错误！(1)圆锥曲线的定义椭圆:|MF|+|MF|=2a(2a>|FE|).双曲线：|MF|MF|=2a(2aIF1F2I).抛物线：IMF=d(d为M点到准线的距离).注意应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.(2)求解圆锥曲线标准方程的思路定型

13、|就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外，当焦点位置无法确计算定时，抛物线常设为y2=2axw£x2=2ay(a0),椭圆常设为mX+ny2=1(m>0,n>0)，双曲线常设为mx-ny2=1(mn>0)对点训练1.设F1,F2为椭圆错误！+错误！=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF的中点在y轴上，则错误！的值为()A.错误!C.B.错误!D.错误!解析：选D.如图，设线段PF的中点为M因为。是F1F2的中点，所以OM/PF,可得PF，x轴，|PF|=错误！=错误！，|PF|=2a|PF2|=

14、错误！，所以错误！=错误！.2 .（2019福州模拟）已知双曲线C：错误！一错误！=1（a0,b>0）的右焦点为F,点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A,若错误！=2错误！，且|错误！|=4,则双曲线C的方程为（）A,错误！一错误！=1B.错误！一错误！=1C.错误！一错误！=1D.错误！一错误！=1解析：选D.不妨设B（0,b）,由BA一=2错误！，F（c,0）,可得A音误！，代入双曲线C的方程可得错误！x错误！一错误！=1,所以错误！=错误！。又|错误！|=错误！=4,c2=a2+b2,所以a2+2b2=16.由可得，a2=4,b2=6,所以双曲线C的方程为错误！一

15、错误！=1.3 .过抛物线y2=2px（p0）的焦点F作直线交抛物线于AB两点，若|AF|=2|BF|=6,贝p=.解析：设直线AB的方程为x=m"错误！，AXi,y），B（X2,y?）,且x1>X2,将直线AB的方程代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,所以yy=p2,4x1X2=p2。设抛物线的准线为l,过A作ACLl,垂足为C,过B作BDLl,垂足为D,因为|AF|=2|BF|=6,根据抛物线的定义知，IAF|=IACI=X1+错误！=6,|BF|=|BD=X2+错误！=3,所以X1X2=3,X1+X2=9p,所以（xi+X2)2(XiX2)2=4xiX2=p2,即1

16、8p72=0，解得p=4。答案：4圆锥曲线的性质典型例题2X例团（1）（2019高考全国卷H）设F为双曲线C：孑一错误！=1（a0,b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆X2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ=|OF,则C的离心率为（）A.错误！B.错误！C.2D.错误！（2）（2019-济南市模拟考试）设Fi,F2分别是椭圆E:错误！+错误！=1（a>b>0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于AB两点，且错误！1错误！2=0,错误！2=2错误！，则椭圆E的离心率为（B.错误!A.错误!C.错误!D.错误!【解析】（1）如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为错误！错

17、误！+y2=错误！，将X2+y2=a2记为式，一得x=错误！，则以OF为直径的圆与圆X2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=错误！，所以|PQ|=2错误!.由|PQ|=|OF,得2错误！=c,整理得c44a2c2+4a4=0,即e44e2+4=0,解得e=错误!,(2)设|BEI=m,则|AB|=2m连接BF,由椭圆的定义可知|AF|=2a2m,|BE|=2ami由错误！1错误！2=0知AFAF,故在RtzXABF中，（2a2m）2+（3n）2=（2a-m）2,整理得m=错误！。故在RtAAFF2中,|AF|=错误！，|AF|=错误！，故错误！错误！+错误!错误！=4c2,解得e=错误!【

18、答案】(1)A(2)C错误！(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系，然后把b用a,c代换，求错误！的值.(2)双曲线的渐近线的求法及用法求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得.用法：(i)可得错误！或错误！的化(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程.对点训练21 .双曲线x错误！=1(a>0,b>0)的离心率为错误！，则其渐近线方程为()aA.y=±错误！xB.y=±错误！xC.y=±错误！xD.y=±错误！x解析：选A.因为e=c

19、=错误！=错误！，所以a2+b2=3a2,所以b=错误！a.所以渐近线方a程为y=±错误！x.2.(2019广州市调研测试)已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线错误！一错误！=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点，且AF±x轴，则双曲线的离心率为()A,错误！+1B.错误！+1C.错误！+ 1焦点坐标为 a2+b2=错误！.第一象限)，又D.错误！+2解析：选A.如图，结合题意画出图形，因为抛物线的错误！，所以由题设知双曲线的右焦点的坐标为错误！，所以因为AF±x轴，所以由点A在抛物线上可得A音误！(取A在点A在双曲线上

20、，所以p=错误！.将代入得r+9=错误！，即b4=4a4+4a2b2,所以4错误！错误！+4错误！错误！一1=0,所以错误！错误！=错误！，从而e2=错误！=错误！=(错误！+1)故e=<2+1。故选A.考点3直线与圆锥曲线的位置关系典型例题命题角度一位置关系的判断及应用例国在直角坐标系xOy中，直线l：y=t(tw0)交y轴于点M交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接OM延长交C于点H.(1)求错误！；(2)除H以外，直线MHtC是否有其他公共点？说明理由.【解】(1)由已知得M。，t),倒误！。2又N为M关于点P的对称点，故N昔误！，ON的万程为

21、y=错误！x,代入y=2px,整理得px22t2x=0，解得xi=0,X2=错误！.因此H昔误！。所以N为OH勺中点，即错误！=2。(2)直线MHfC除H以外没有其他公共点.理由如下：直线MH勺方程为y1=错误！x,即x=错误！(yt).代入y2=2px得y24ty+4t2=0，解得y=y2=2t,即直线MHfC只有一个公共点，所以除H以外直线MHfC没有其他公共点.错误！(1)直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其0;另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到.(

22、2)直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切.命题角度二弦长问题例4(2019高考全国卷I)已知抛物线C：y2=3x的焦点为F,斜率为错误！的直线l与C的交点为AB,与x轴的交点为P。(1)若|AF+|BF=4,求l的方程；(2)若错误！=3错误！，求|AB|.【解】设直线l：y=错误！x+t,A(xbyO,B(x2,y)(1)由题设得F错误！，故|AF+IBF=Xi+X2+错误！，由题设可得X1+X2=错误！。由错误！可得9x2+12(t1)X+4t2=0,则Xi+X2=错误！.从而一错误

23、！=错误！，得t=错误屋所以l的方程为y=错误！X错误！.(2)由错误！=3错误！可得yi=3y2。2由错误！可得y2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而一3y2+丫2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得Xi=3,X2=错误！.故|AB|=错误！00茴直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或后得到一元二次方程，当A>0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(Xi,yi),B(X2,y2),由根与系数的关系求出Xi+X2,X1X2或yi+y2,y1y2,则弦长|AB|二，1+k2-7(XiX22)=5+k2错误！=

24、错误！Iyiy2|=错误！错误！(k为直线的斜率且kw0),当A,B两点坐标易求时也可以直接用|AB=<(XiX2)2+(yiy22)求之.命题角度三定比、定点问题GHE已知椭圆C的两个焦点为Fi(i,0),F2(i,0),且经过点E错误！.(i)求椭圆C的方程；(2)过点Fi的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于X轴上方)，若错误！=入错误!且20人<3,求直线l的斜率k的取值范围.【解】(i)由错误！解得错误！所以椭圆C的方程为错误！+错误！=i。(2)由题意得直线l的方程为y=k(X+i)(k>0),联立方程，得错误！整理得错误！y2错误！y9=0,=错误！+i44&

25、gt;0,设A(Xi,yi),B(X2,y2),则丫1+丫2=错误！，y丫2=错误！，又错误！=入错误！,所以y=一入y2,所以yy2=错误！(yi+12?，则错误！=错误！，入十错误！-2=错误！，因为20入<3,所以错误！0人+错误！一2V错误！，即错误！0错误！(错误！，且k>0,解得0Vk<错误！0故直线l的斜率k的取值范围是错误！.错误！(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.(2)圆锥曲线以Rxo,yo)(yow0)为中点的弦所在直线的斜率分别

26、是k=错误！(椭圆错误！+错误！=1),k=错误！(双曲线错误！一错误！=1),卜=错误！(抛物线y2=2px),其中k=错误！(x1wx2),(xi,yi),(X2,y2)为弦端点的坐标.对点训练1.(2019高考全国卷田)已知曲线0»=错误！，D为直线y=错误！上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B。(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E音误！为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解：(1)证明：设D音误！,A(xby1),则x错误！=2y1.由于y'=x,所以切线DA的斜率为x1，故错误！=x1.整理得2tx12yi1=0.设

27、B(x2,y2),同理可得2tx22y2+1=0。故直线AB的方程为2tx2y+1=0.所以直线AB过定点错误！.(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+错误！。由错误！可得x22tx1=0.于是x+x2=2t,x1x2=-1,y+y2=t(x+x2)+1=2t2+1,|AB=错误！Ix1-x2|=错误！X错误！=2(t2+1).设d,d2分别为点D,E到直线AB的距离，则1=错误！，d2=错误!因此，四边形ADBE勺面积S=11ABl(di+dO=(t2+3)错误！。设M为线段AB的中点，则Mt误！。由于错误！，错误！，而错误！=(t,t22),错误！与向量(1,t)平行，所以t+(t22

28、)t=0o解得1=0或1=±1。当t=0时，S=3;当t=±l时，S=4错误！。因此，四边形ADBE勺面积为3或4错误！.2.(20191-湖南长沙模拟)已知椭圆C:错误！+错误！=1(ab0)的右焦点为(错误！,0),且经过点错误！，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于AB两点(点A在x轴的上方).(1)求椭圆C的方程；若错误！=2错误！，且直线l与圆Ox2+y2=错误！相切于点N求|MN.解：(1)由题意知错误！得(a24)(4a23)=0,又a2=3+b2>3,故a2=4,则b2=1,所以椭圆C的方程为错误!+y2=1.(2)设Mm0),直线l:x=t

29、y+mA(x1,y1),B(x2,y2),由AM一=2MB彳4y1=2y2.由错误！得(t2+4)y2+2tmy+m4=0,则yI+y2=错误!,yy2=错误！。由y1y2=-2y2,y1+y2=2y2+y2=乎,得1y1y2=2(y+y2)2(y1+y2),所以错误！=2错误！错误！，化简得(吊一4)(t2+4)=8t2m。易知原点O到直线l的距离d4昔误！，又直线l与圆Ox2+y2=7相切，所以错误！=错误！，即召=错误！用一1.由错误！得21n4-16n2-16=0,22即（3m4）（7m+4）=0,解得吊=错误！，止匕时百=错误！，满足0,所以Mt误!.在RtzXOMNK|MN|=错误

30、！=错误！。练典型习即G提数学素养一、选择题1 .已知双曲线错误！一错误！=1（a>0,b>0）的焦点到渐近线的距离为错误！，且离心率为2,则该双曲线的实轴的长为（）A.1B.错误！C.2D.23解析：选C.由题意知双曲线的焦点（c,0）到渐近线bxay=0的距离为错误！=b=错误！，即c2a2=3,又e=错误！=2,所以a=1,该双曲线的实轴的长为2a=2.2. 若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点，则OFP的面积为（）A,错误！B.1C,错误！D.2解析：选B.设Rx0,y。），依题意可得|PF|=x0+1=2,解得x°=1，故y错误！=4X1

31、,解得丫。=±2,不妨取P（1,2）,则OFP的面积为错误！X1X2=1.3. （2。19高考全国卷m）双曲线C错误！一错误！=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为（）A.错误！B.错误！C.2错误！D.3错误！解析：选A.不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2=6,所以|OF|=加。又tan/POMb=错误！,所以等腰三角形POF勺高h=错误！x错误！=错误！，a所以Sapfo=错误！X错误！X错误！=错误！°4. （2019昆明模拟）已知R,F2为椭圆C：错误！+错误！=1（a>b>。）的左、右焦点，B

32、为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A若4BAF为等腰三角形，则错误！=（）B.错误!D. 3A.错误!C.错误!解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF|十|BF2|=2a,|AF|+|AE|=2a,由题意知|AB|=|AE|,所以|BF|=|BE|=a,|AF|=错误！，|AB|=错误！.所以错误！=错误！。故选A.5. 已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx1与该抛物线在第一象限内交于点A,B,若|AF|=3|FB|,则k的值是（）A.小B.错误！C.错误！D.错误！解析：选D.显然k>0.抛物线的准线l:y=1,设其与y轴交于点F

33、',则直线y=kx-1过点F'。分别过点AB作l的垂线，垂足分别为A',B',根据抛物线定义，得|AF=|AA|,|BF|=|BB|,根据已知，得错误！=错误！=3.设A（xi,yi）,B（私下），则错误！=错误！=错误！=3,即xi=3x2.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得x2-4kx+4=240,则xI+x2=4k，由得x1=3k,x2=k,又xx2=4,所以3k,k=4,即k解得k=3错误！（负值舍去）.6. （2019湖南湘东六校联考）已知椭圆r：错误！+错误！=1（a>b0）的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与

34、r相交于A,B两点.若错误！=3错误！，则k=（）B. 2A.1C.错误!D.错误!解析：选D.设A（x1,y1）,B（x2,y2）,因为错误！=3错误！，所以y=3y2.因为椭圆r的长轴长是短轴长的2倍，所以a=2b,设b=t,则a=2t,故c=错误！t,所以错误！十错误!=1.设直线AB的方程为x=sy+错误！t,代入上述椭圆方程，得（s2+4）y2+2错误！sty12=0,所以 yI + y2 = 一2 3st s2+4 'yy2 = 一t2s2+4，即一2y2=一错误！，一3y错误！=一错误！,得s2=错误！,k=错误！,故选D.二、填空题7. 已知P（1,错误！）是双曲线C：

35、错误！一错误！=1（a0,b>0）渐近线上的点，则双曲线C的离心率是.解析：双曲线C的一条渐近线的方程为y=错误！x,R1,错误！）是双曲线C渐近线上的点则错误！=错误！，所以离心率e=错误！=错误！=错误！=2.答案：28. （2019高考全国卷出）设Fl,F2为椭圆C：错误！+错误！=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若MFF2为等腰三角形，则M的坐标为.解析：不妨令Fi,F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c=错误！=4.因为MFF2为等腰三角形，所以易知IFiM=2c=8,所以|F2Ml=2a8=4.设Mx,y）,则错误！得错误！所以M的坐标为（3,错误！）.答案：（

36、3,错误！）29. （2019洛阳尖子生第二次联考）过抛物线C：y=2px（p>0）的焦点F的直线与抛物线C交于AB两点，且错误！=3错误！，抛物线C的准线l与x轴交于点E,A/AH于点A,若四边形AAEF的面积为6错误！，则p=.解析：不妨设点A在第一象限，如图，作BBH于点B,设直线AB与l的交点为D,由抛物线的定义及性质可知|AA|=|AF|,|BB|=|BF,|EF|=p。设|BD=m,|BF=n,则错误！=错误！=错误！=错误！，即错误！=错误！，所以nrr2n.又错误！=错误！，所以错误！=错误！=错误！，所以n=错误！，因为|DF=mn=2p,所以/ADA=30°

37、。又|AA|=3n=2p,|EF|=P,所以IAD|=2小p,|EQ=错误！p,所以|AE|=错误！p,所以直角梯形AAEF的面积为错误！(2p+p)错误！p=6错误！，解得p=2.答案：2三、解答题10. (2019高考天津卷)设椭圆错误！+错误！=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为错误！。(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|=|OF(。为原点)，且OPLMN求直线PB的斜率.解：(1)设椭圆的半焦距为c,依题意，2b=4,错误！=错误！，又a2=b2+

38、c2,可得a=5,b=2,c=1.所以，椭圆的方程为错误！+错误！=1.(2)由题意，设P(xp,yp)(xpw0),M>,0).设直线PB的斜率为k(10),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立错误！整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xp=错误！，代入y=kx+2得yp=错误!,进而直线OP的斜率为错误！=错误！。在y=kx+2中，令y=0,得Xm=一错误!.由题意得N(0,1),所以直线MN勺斜率为一错误！。由OPLMN得错误！错误！=1,化简得k2=错误！，从而k=±错误！。所以，直线PB的斜率为错误！或一错误！。11. 已知椭圆C：错

39、误！+错误！=1(a>b>0)的离心率为错误！，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于MN两点，O为坐标原点，若k°MkoN=错误！，求原点O到直线l的距离的取值范围.解：(1)由题知e=错误！=错误！，2b=2,又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,所以椭圆C的标准方程为错误！+y2=1。(2)设Mx%'),Nx2,丫2)，联立错误！得(4k2+1)x2+8km肝4n24=0,依题意，=(8km)24(4k2+1)(4吊一4)>0,化简得n2<4k2+1,Xi + X2=8 km4k2+ 1'XiX2