【高考数学冲刺解题技巧】高考数学圆锥曲线小题解题技巧

1、圆锥曲线高考小题解析 一、 考点分析 1点、直线、斜率和倾斜角之间的关系； 2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法； 3. 掌握椭圆、 双曲线、 抛物线基础内容， 特别是参数之间的计算关系以及独有 的性质； 4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法(弦长公式和直线参数方程法)； 5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力； 6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题； 7. 定值问题； 8. 最值问题。 二、 真题解析 1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题 1.1. 【2018 全国 1 文 15】直线y = x，1与圆x2 y2 2y-3=0交于代B两点，则 I

2、AB|= _ 解析：x2 y2 2y-3 = 0= x2 (y 1)4，圆心坐标为(0,-1)，半径 r = 2 圆心到直线y =x 1的距离d = 、2，由勾股定理得| AB = 2 r2 - d2二2 2 2 2.2. 【20182018 全国 2 2 理 1919 文 2020】设抛物线C : y =4x的焦点为F，过F且斜率为 k(k 0)的直线I与C交于代B两点，|AB|=8 (1 1 )求l的方程； (2)求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程。 根据焦点弦长公式可知1 ABF弟，则si子，罰二1 则I的直线方程为y=x-1 (2 2)由(1 1 )知AB的中点坐标为(3,2)，

3、所以AB的垂直平分线方程为 y _ 2 = (x - 3)，即 y = x 5 设所求圆的圆心坐标为(Xo,y)，则 y。二-x。5 2 (y0 -x0 1)2 (Xo 1) 00 16 _Lx0 二 3 _LXQ =11 解得 或 y。=2 lyo =-6 . 2 2 2 2 因此所求圆的方程为(x-3) ，(y-2) =1或(x-11) (y+6) =1 通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦 为直径的圆与准线相切，证明过程如下： 在上图中过焦点的直线与抛物线交于 A,B两点，取AB的中点M，三点分别 1 向准线作垂线，垂足分别为 C,D,N，因为MN (AC BD

4、) , AC = AF ,BD = BF , 2 1 1 所以MN (AF BF) AB，所以AB为直径的圆与准线相切。 2 2 3.3. _ 【20182018 北京理 1010】在极坐标中，直线 COST :?sin v - a(a 0)与圆： = 2cosr相 切，贝H a = . . 解析： cos寸 ;?sin 寸=a(a 0) = x y = a 二 2cos 丁 二(x _1)2 y2 =1 直线与圆相切时d=|1 ；|=r=1，解得a =1 + J2 V2 x=1 2 * (t t 为 2 参数)与该圆相交于 A, B两点，贝H ABC的面积为 解析：x2 y2 _2x =0=

5、 (x -1)2 y2 =1 x = _1 +t 2 n x +y = 2 4.4.【20182018 天津理 1212】已知圆x2，y2-2x=0的圆心为C ,直线 I 3亿 圆心(1,0)到直线x厂2=0的距离为d，所以|AB| =2 r2 _ d2 = 2 1 1 所以 S ABC | AB | d = 5.5. 【20182018 天津文 1212】在平面直角坐标系中，经过三点 (0,0),(1,1)(2,0)的圆的方程为 解析：(0,0),(1,1)两点的中垂线方程为 x，y-1=0，(0,0),(2,0)两点的中垂线方程为 仪 + y 1=0 x =：1，联立 解得圆心坐标为(1,

6、0)，半径r =1 x =1 所以圆的方程为(x -1)2 y2 =1 6.6. 【20182018 江苏选修 C C】在极坐标中，直线I的方程为sin()=2，曲线C的方程 6 为：-4cos二，求直线I被曲线C截得的弦长。 解析：?sin( ) =2= x -、,3y-4 =0 6 1=4cosr= (x-2)2 y2 =4，设直线与圆相交于 A, B两点 圆心(2,0)到直线x - 、3y -4 =0的距离d = =1 2 |AB|=2、r2 -d2 =2.3 2. 椭圆，双曲线，抛物线中基础性的计算问题 2 2 2 x 7.7.【20182018 全国 1 1 文 4 4】已知椭圆C

7、: 解析：c =2,b =2所以 ab2 c2 8.8.【20182018 全国 2 2 理 5 5 文 6 6】双曲线 4 a =8， e : 2 2 x y 2 a b2 2 y =1 的一个焦点为(2,0)，则 C C 的离心率为 _2_ =辽 2.2 2 =1的离心率为- 3，则其渐近线方程为 2 解析：e2 =与=3，则令c2 =3,a2 a y = bx = 2x a =1则b2 =2，所以渐近线方程为 c a c：字壬可的离心率为2，则点(4,。)到C的 渐近线的距离为9.9.【20182018 全国 3 3 文 1010】已知双曲线 c _ 解析：e 2，渐近线bx-ay =0

8、 a 4b 4b 所以点（4,0）到渐近线的距离为d二上 丝 a2 b2 c A A 令 c = 12, a = 1，贝U b = y/c a = 1,d = = = 2/2 Ja2 +b2 c 因为求的是比值，因此没必要求出 b,c具体的数字，因为无论 b,c是多少，其比值 都是相同的。 10.10.【20182018 北京 文 1010】已知直线I过点(1,0)且垂直于x轴，若I被抛物线y2 =4ax截 得的线段长为 4 4，则抛物线的焦点坐标为 _ . . 解析：I : x = 1，代入到 y2 = 4ax 得 y = 2、a，所以 4、a = 4， 2 2 笃-丄 1(a 0)的离心率

9、为 a 4 = 5，解得a = 4 a 4 2 2 二壬 =1的离心率为 2 2,过右焦点且垂直于x轴的 a b 11. 11. 20182018 北京文 1212】若双曲线 a=1 ( a只能为正数) ，则 a = _ . . 2 2 解析：b =2,e2 2 a 12. 12. 20182018 天津理 7 7】 直线与双曲线交于 d,2， 2 .2 a b _ 2 a 已知双曲线 A, B两点，设 代B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 且d! +d2 =6，则双曲线的方程为 _ . . 解析：如上图, =d1 d 6，又因为 =2，解得 a2 =3,b2 =9 2 2 所以双曲线的方程

10、为1 3 9 14.14. 20182018 浙江 2 2】双曲线 Z_yZ_y2 =1的焦点坐标是 _ . . 3 2 2 2 2 2 解析：a -3,b -1,c -a b -4，且焦点在x轴上，所以焦点坐标为(-2,0),(2,0) 2 2 15.15. 20182018 上海 1 1】设P为椭圆 1 1上的动点，贝V P到该椭圆的两个焦点的距 5 3 离之和为 _ . . 解析：a2 =5,a二,5 , P P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 22.5 2 16. 16. 20182018 上海 6 6】双曲线丄-y2 =1的渐近线方程为 _ . . 4 解析：a2 =4,b2 =1，

11、所以渐近线方程为 y= -x =丄x a 2 2 2 1 17. 7. 20182018 全国 1 1 理 8 8】设抛物线C : y2 =4x的焦点为F，过点(-2,0)且斜率为一的 3 直线与C交于M ,N两点，贝V FM FN = _. . 2 2 解析：F(1,0)，过点(-2,0)且斜率为的直线方程为y x 3 3 M (为,力),N(X2, y2)，联立 y2 =4x / 2 4 n x2 5x +4 = 0n 论 +x2 = 5, x(x2 = 4 y x J . 所以 FM FN 二 x2 -(为 x2) 1 4 . %x2 二 8 18.18. 2018 江苏 12】在平面直

12、角坐标系 xoy中，A为直线 内的点，B(5,0)以AB为直径的圆C与直线I交于另一点 点A的横坐标为 _ . .13. 13. 20182018 江苏 8 8】在平面直角坐标系 2 2 xoy中，右双曲线 一2 2 = 1(a 0, b 0)的右 a b 焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为 解析：双曲线的渐近线为 bx - ay = 0 , -c，则其离心率的值是 2 bc 3 b c 2 二 2 4 + 设 3 设 I : y二2x上在第一象限 D。若 AB CD = 0，贝V 设 A(m,2 m)，所以.(m -5)2 (2m)2 =2. 10，且 m 0 3. 圆锥曲线的离心率问题

13、X2 19.19. 【2018 全国 2 理 12】已知F, F2是椭圆C a 左顶点，点P在过点A且斜率为一的直线上， PF1F2为等腰三角形, 6 NF1F2P =120 :贝 V V C C 的离心率为 _ . . 解析：因为AD BD，所以| BD |为点B到直线y =2x的距离，所以 BD0 45 =2 ：5，因为 ABD为等腰直角三角形，所以 AB ；2BD = 2、 、10 2 b2 =1的左右焦点， 解析：如上图，PF2 -F1F2c PF2Q=60= F2c,P /3c 所以 P(2c,-、3c)，因为 A(-a,O) 3c .3 1 所以KAP e = 2c + a 6 4

14、 20.20. 20182018 全国 2 2 文 1111】已知F1, F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若 PF1丄PF2，且N PF2R =60 :则C的离心率是 _ . . 解析：因为 IF1F2-2C, PR _ PF?且.PF2F1 =60，则 |PF2|=C,| PF1|3C 所以 | PF1 | | PF2 |=(1 G)c = 2a，解得 e 二.3 -1 a 2 2 21.21. 20182018 全国 3 3 理 1111】设F1, F2是双曲线C:笃-每=1=1 的左右焦点，O是坐标原点, a b 过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF1|、.6|OP

15、|，则双曲线的离心 率为 _ . . a 解析：由题意知：Pr（x_c） 若双曲线N的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正 六边形的顶点，则椭圆 M的离心率为 _ ; ;双曲线的N的离心率为y - +（x -c） 联立 .b ，解得 c，即 P(-,ab) c c ab |PFi| 二.6|OP = 2 严 2 ( c) c (辿) 6(二)2 Q)2 22. 22. 20182018 北京理 1414】已知椭圆 x2 M : -2 2 1(a b 0)，双曲线 a b 2 y N 二 厂1. . m n x2 解析：如上图，点 P P 在椭圆上，也在以F1F2为直径的

16、圆上，所以 F1PF2 =90 , PF2F1 =30 , PFc,PF2 = 3c 所以 PFi PF2 二（1 、-3）c 二 2a，解得 e =、3 -1 在上图中， QOF2 =60，所以-=e = 2 a 4. 最值和范围问题 23. 23. 20182018 全国 3 3 理 6 6 文 8 8】直线x y 0分别于x轴，y轴交于 代B两点，点P 在圆（x2）2 + y2 =2上，贝V MBP面积的取值范围是 _ . . 解析：A(-2,0), B(0,-2), P(2 、2cos】 .2si)， AB =(2, -2),AP =(4 +-J2 cos日，T2sin 日) 此处用到

17、了三角函数方法和向量法求三角形面积的公式 24.24.【20182018 北京理 7 7】在平面直角坐标系中，记 d为点P（cosdsin二）到直线 x-my-2=0的距离，当0,m变化时，d的最大值为 _ . . 解析：题目中如果是按照常规的点到直线距离来算，则要同时面对两个变量，点 单位圆上，则d最大时等于圆心（0,0）到直线的距离加半径，这样就可以不用考虑 二的变化对最值的影响。 分析：若设B点横坐标为x，则题目转化为当m为何值时，x最大 因此可将x0和m放在同一个等式中且将 x0单独分离到一边，含有 m的式子放 到另一边，此时含有x0的部分类似于关于 m函数的值域，因此题目的关键是找

18、到一个包含m和x0的等式，A,B两点的坐标通过共线产生关联，且 A,B均在椭 圆上，因此将 代B两点坐标代入椭圆方程，消去 y即可得到关于m和X。的等式。 解析：设 B（X0,y。），因为 AP =2PB，则 A（-2心3 -2y。）P(cosr,sin 二)是圆 x2 y2 2 /上的点，所以心忌2=3 25.25.【2018 2018 浙江 1717】点 P(0,1)， x2 2 T T 椭圆 y2二m（m 1）上两点代B满足AP =2PB， 4 则当m = = 时，点B横坐标的绝对值最大。 2 IXo 2 | + yo =m 联立 4 2 二 消去 x= 4yo2-(3-2y。)2 =3

19、m 字(3_2y。)2 =m 4 解得y。二口 4 2 x0 3 m、2 所以-( )=m 4 4 所以当m=5时，Xo取得最大值 26. 26. 20182018 浙江 2121】如图，已知点 P P 是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线 C: y2 =4x上存在不同的两点 代B满足PA,PB的中点均在C上。 化简得Xo2 -(m -5)2 16 4 （1 1） 设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； 2 （2 2） 若P是半椭圆X2 - 1（x：0）上的动点，求 PAB面积的取值范围 4 1 2 1 2 1 （, y ）, A（: y , %）, （） 个根，所以宁I。，故pM垂直于y轴。 2 （2）由（1）可知 yi *2=2乂、y y2 =8x -y。 所以 |PM | = 1（yi2 y22） -X。#y。2 -3xo、|yi -y21=2. 2（y2-4x。） i 3/2 2 -3 因此，SPAB