圆锥曲线解题方法技巧归纳(整理)

1、圆锥曲线解题方法技巧归纳一、知识储备:1. 直线方程的形式(1)直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2 )与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 k = tan卫三0,二)夹角公式：*畀：点到直线的距离 d -Ax。+ By。+CJ A2 十 B2两直线距离公式1C-CjI(3 )弦长公式 直线y =kx与圆锥曲线两交点 A(x1,y1), B(x2,y2)间的距离:AB =山 +k2 |为-x2 = J(1+疋)(为 +x2)2 4为乂2或 AB =(1 +右 | 如 _ y2(若A点为交点，另一点不在圆锥曲线上，上式仍然成立。)(4)两条直线的位置关系 h _ 12

2、：= k,k2 =-1 h 12 二 & = k2且 b广 b22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式(三种形式)2 2标准方程：=1(m0,n0且m = n)m n距离式方程：(x c)2 y2 . (x -c)2 y2 = 2a参数方程：x=acos),y=bsi n：(2) 、双曲线的方程的形式有两种2 2标准方程： =1(m n ： 0)m n参数方程：:'I 距离式方程：| . (x c)2 y2 - (x -c)2 y2 = 2a、三种圆锥曲线的通径2 2椭圆：竺；双曲线：ZL；抛物线：2paa(4)、圆锥曲线的定义2 0、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时

3、，STipf -b2tan?2 日 P在双曲线上时，S.BPF2二b cot-| pf |2 +1 PF |2 -4c2(其中.RPFz- cos-2,PF, PF2 =|PF, | PF2 |cosr)| PF, | | PF2 |、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x轴上时为a _ex);焦点在y轴上时为a _ey0，可简记为“左加右减，上加下减”。(2) 双曲线焦点在x轴上时为e|x°|二a(3) 抛物线焦点在x轴上时为|x, |+中,焦点在y轴上时为|%|+号(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形二、方法储备1、点差法(中点弦问题)设 A xi, yi 、B x2, y2， 一 i

4、. .：；-. -i 的弦 AB 中点则有'ac b2 2 2 2:两式相减得_X1_X2 X1T：X2力 一 y2 y1y2 _ ._-Kab =2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办?设直线的方程，并且与曲线的方程联立， 消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式:-0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 A(x,y1), B(x2, y2),将这两点代入曲线方程得到 两个式子，然后01 -，整体消元,若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点F共线解决之。若有向量的关系

5、，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处 理。一旦设直线为 y = kx b，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆 4x2 5y2 =80上，且点A是椭圆短轴的一个端 点（点A在y轴正半轴上）.（1 ）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；（2）若角A为900，AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为900可得出AB丄AC ,从而得XiX2 y°2 -14（y! y2） 10，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;解：(

6、1 )设 B ( X1 , y1 ),C( X2 , y),BC 中点为(X0,y0 ),F(2,0) 则有2 2X1里20 162X220216=1两式作差有(X1X2)(X1 -X2) (y1 - y2)(y1 y?) _ 020 16 -x°_yQk54(1)F（2,0）为三角形重心，所以由空=2，得X。=3，由y1 y2 4 = 0得乂=2，代33入（）得k=65直线BC的方程为6x -5y -28 =02)由 AB丄 AC得 X1X2 y1 y2 -14( y_! y2 ) 16 = 0(2)2 2 2 2 2设直线 BC方程为 y = kx b,代入 4x 5y =80，

7、得(4 5k )x 10bkx 5b -80 = 0X1X2-10kb4 5k2X1X225b -8024 5ky18k4 5k2,y1 y22 24b -80k4 5k2代入（2）式得29b - 32b-1624 5k2=0,解得b =4(舍)或b =-94y + 直线过定点（0，-），设 D（x,y ）,则汇八4 = _1，即 9y2 +9x2 _32y _16 = 09x x所以所求点D的轨迹方程是x2 (y-16)2二20)2® = 4)。994、设而不求法例2、如图，已知梯形 ABCD中AB =2CD，点E分有向线段AC所成的比为，双2 3曲线过C、D E三点，且以A、B为

8、焦点当时，求双曲线离心率 e的取值范3 4围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设C - ,h，代12丿2 2 2 2入笃-爲=1，求得h二川，进而求得Xe =丨1(从胡丨,再代入冷-爲"，建立目标 a ba b函数f(a,b,c,J = 0，整理f (e, ) =0，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略，建立目标函数f(a,b,c,)=0，整理f (e, ) = 0,化繁为简.解法一：如图，以 AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系 xO

9、y , 则CDL y轴因为双曲线经过点 C D,且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知 C D关于y轴 对称依题意，记A -c, 0 , C j,h , 1距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得E x°, y°，其中c=?|AB|为双曲线的半焦.c 、Y 2 （扎一2上肪X0=，y0 十2 2设双曲线的方程为 务-占=1，则离心率e仝a2 b2ac由点C、E在双曲线上，将点 C E的坐标和e代入双曲线方程得ae217=1 h22由式得e 19- 1?b24将式代入式，整理得24-4- =12,3e2 123由题设和七得,2,133它24解得所以双曲线的离心率的取值范围为I 7

10、, .10 1分析：考虑AE , AC为焦半径，可用焦半径公式AE , AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一，AE ug+e ), AC =a + ex：,AEAC代入整理=13e2 1由题设.1034得，討-壬三解得所以双曲线的离心率的取值范围为、7 , .、10 15、判别式法例3已知双曲线C ：丄-乂 /，直线I过点A、2 ,0，斜率为k，当0 ： k ： 1时，双曲2 2线的上支上有且仅有一点B到直线I的距离为.2，试求k的值及此时点 B的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重

11、要手段从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与I平行的直线，必与双曲线C相切而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式厶=0.由此出发，可设计如下解题思路：I: y=k(x、.2)0島k：1直线I在i的上方且到直线i的距离为J2I': y =kx "2k2+2 -阿代入双曲线方程，消去y,令判别式 = 0解得k的值解题过程略.分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅据此设计出如下解题思路:有一点B到直线I的距离为罷”相当于化归的方程有唯一解问题kx _J2 +x2 _层关于x的方程1 =42 (0 ck ci)有唯k2 1:

12、 |转化为一元二次方程根的问题求解简解：设点M (x, . 2 - x2)为双曲线C上支上任一点，则点 M到直线I的距离为:0 ： k : 1(*于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 : k ： 1，所以 2 x2 xkx，从而有kx -“2 + x2 - <2k = -kx + 了2 + x2 +于是关于x的方程-2 x2 2 =( 2(k21) - ,2k kx)2,2(k21) - 2k kx 0 _ _ 2(k2 _1 *2 +2k©2(k2 +1) _v2k X +©2(k2 +1) _T2k ) _2=0,(2(k2 +1) _"k +k

13、x aO.由0 : k : 1可知:方程 k2 -1 x2 2k 2(k21) - 2kx . 2(k21) - . 2k? _2 =0 的二根同正，故-等价于 2(k2 -1) - -.2k - kx 0 恒成立，于是k2 -1 x2 2k . 2(k2 1) - .2k x . 2(k2 1) -2k ' 一 2 = 0.2 f5由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式 =0，就可解得 k=Q .5点评：上述解法紧扣解题目标， 不断进行问题转换， 充分体现了全局观念与整体思维的 优越性.2 2例4已知椭圆C: x +2y =8和点P( 4，1)，过P作直线交椭圆于 A、B两点，在线A

14、P AQ 一段AB上取点Q使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程PB QB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰， 学生往往不知从何入手。 其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q的横、 纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点Q(x, y)的变化是由直线 AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x, y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件:APPB -AQ来转化由A B、P、Q四点共线，不难得到x 4(xA xB2xAxB，要建立x与k QB8_(Xa Xb)的关系，只需将直线

15、 AB的方程代入椭圆 C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析， 可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.4(Xa Xb) _2XaXbx 二8(Xa Xb)将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x 4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程在得到x二f k之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 x,yv 1的方程(不含k)，则可由y = k(x-4)+1解得k= 一，直接代入x=f(k )即可得到轨x -4迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设 A x-i, y1 , B(x2， y2), Q

16、(x, y)，则由 竺=-AQ 可得： 4 一 Xix - 人，PB QBX? 4 x? x解之得:4(x1 x2) - 2x1x28 (Xi X2)(1)设直线AB的方程为：y二k(x-4) T，代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一 元二次方程:2k2 1 x2 4k(1 4k)x 2(1 4k)2 -8 = 0(2)4k(4k -1)X1 X22,2k 122(1 4k) -8XX2 = " .L2k 十1代入(1)，化简得：x-此3k +2在（2）中，由丄=-64k2 64k 24 . 0，解得 J410k：r2 10，结合（3）可求得16_210 16 2 10故知点 Q的

17、轨迹方程为：2x y 一4 = 0( 16-2 10 . x 16 210)99点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道6、求根公式法22AP例5设直线1过点P（。，3），利椭圆专+41顺次交于A、B两点，试求-的取值范围分析：本题中，绝大多数同学不难得到:竺=_±，但从此后却一筹莫展，问题的根PB Xb源在于对题目的整体把握不够 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）

18、参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系分析1：从第一条想法入手,APPBXa 一一-已经是一个关系式，但由于有两个变量Xb3个变量直线 AB的斜Xa,Xb，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第率k.问题就转化为如何将 x-,Xb转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆所求量的取值范围方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出简解1:当直线I垂直于x轴时，可求得APPB当I与x轴不垂直时，设 A x1, y1 , B(x2, y2)，直线I的方程为：y = kx 3，代入椭27k 6.9k2 5解之得圆方程，

19、消去y得9k24 x2 54kx 45 = 09k24因为椭圆关于当k 0时,y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑 k 0的情形-27k 6 9k2 -5X1X2-27k -6 9k2 -5所以X129k 4-9k 2、9k2 -5 ,=19k 2 9k2 -529k 418k: 2 1 t9k 29k -59 2 92/ k18= (-54k)2-180 9k24 _0,解得 k2 _5，9所以18 : -1，9 2 9 - 5k25综上AP 1-1 <PB 5分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是

20、问题转化为如何将所求量与k联系起来 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原APX1因在于1不是关于X1,X2的对称关系式原因找到后，解决问题的方法自然也就有PB x2了，即我们可以构造关于 X1,X2的对称关系式简解2:设直线|的方程为：y二kx 3，代入椭圆方程，消去 y得2 29k 4 x 54kx 45 =0（*）XiX2 =则-54k29k 4X1X2459k24X2324 k245k2205在（* ）中，由判别式-0,可得k9，2从而有,324 k ” 364 45k205结合0C得1兰人兰15'综上，十PI 一 5点评：范围问题不等关系的建

21、立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界 性法，函数的性质法，数形结合法等等 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运 筹帷幄，方能决胜千里第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做

22、到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为 A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且 AF FB =1，oF =1.（I）求椭圆的标准方程；（n）记椭圆的上顶点为 M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为.PQM的垂心？若存在，求出直线 I的方程；若不存在，请说明理由。思维流程：(a c)(a _ c)二1 , c = 1写出椭圆方程由F为PQM的重心* PQ 丄 MF ,MP 丄 FQk pq2消元3x2 +4mx +2m2 2 =0两根之和, 两根之积IMP * FQ = 0得出关于 m的方程解出m解题过程:(I)如

23、图建系，设椭圆方程为X2a2=1(a b 0),则 c = 12 2 2又 AF，FB =1 即卩(a +c) (a c) =1 = a c a2 = 2X22故椭圆方程为y =12(n)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为.PQM的垂心，则设 P(X1,yJ,Q(X2, y2)，: M (0,1),F(1,0)，故 kP1,于是设直线 I 为 y = x m，由 ? 一 X 2 m 得，3x2 4mx 2m2 - 2 = 0 (x2+2y2 =2MP，FQ = 0=X1(X2'1) 丫2(丫1'1)又 yi =X m(i - 1,2)得捲(血-1) (X2 m)(X1

24、m -1) = 0 即2x1x2 (x1 x2)(m -1) m2 - m = 0 由韦达定理得2c 2m -2 4m / 八 2 c2(m-1) m-m=033解得m =4或m =1 (舍)34经检验心飞符合条件.点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2,0)、B(2,0)、C 11,-三点. ，2(I)求椭圆E的方程：(n)若点D为椭圆E上不同于 A、B的任意一点，F(-1,0), H (1,0)，当 DFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标；思维流程：由椭圆经过A、B、C三点设方程为

25、mx2 + ny2 =1得到m, n的方程解出m,n由也DFH内切圆面积最大_转化为也DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大：DFH面积最大值为 3D为椭圆短轴端点得出D点坐标为解题过程：(I)设椭圆方程为 mx? + ny2=1(m>0,n = 0)将 A(2,0)、B(2,0)、3c(1,2) 代入椭圆E的方程，得4m =1,2211x y(9 解得m = ,n=. 椭圆E的方程一+ =1 .m n =1434341(n) |FH H2，设 DFH 边上的高为 S dfh 2 h 二 h当点D在椭圆的上顶点时，h最大为J3，所以S.DFH的最大值为.3 .1设厶DFH的内切

26、圆的半径为 R，因为 DFH的周长为定值6.所以，S DFH R 62所以R的最大值为.所以内切圆圆心的坐标为3(, 3 )点石成金：1s.的内切圆-2”的周长的内切圆例8、已知定点C(-1,0)及椭圆x2 3y5，过点C的动直线与椭圆相交于 A B两占八、-一 1(I)若线段 AB中点的横坐标是，求直线AB的方程;2+ +(H)在x轴上是否存在点 M，使MA MB为常数？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由思维流程：(I)解：依题意，直线 AB的斜率存在，设直线AB的方程为y =k(x 1),将y=k(x1)代入x23y2=5 ,消去y整理得(3k21)x2 6k2x 3k2 _5

27、 = 0.设 A(x1? yi), B(X2, y2),.: =36k4 -4(3k2 1)(3k2 -5) 0, 则6k2x1 x22.123k2 1(1)1由线段AB中点的横坐标是 -12x223k23k2 1k二二，符合题3意。所以直线AB的方程为x -3y 仁0，或x 3y 1=0.(n)解：假设在 x轴上存在点M (m,0)，使MA MB为常数AB 与 x 轴不垂直时， 由x-ix26k23k21 '3k2 -5x，x 3k21所以 MA MB 二(m)(x2-m)%y2 二(-m)(x2m)k2(x1)(x21)2 2 2 2=(k1"低2 (k -m)(X1X2

28、) k m 将(3)代入，MA MB 二叫山5 m23k2 +1(2m-)(3k2 “显口-143 ''33k2 1m22 丄 c 1 6m +14二 m 2m233(3k +1)注意到MA MB是与k无关的常数， 从而有6m 14 = 0,m，此时忒补4.39 当直线 AB与x轴垂直时，此时点 A, B的坐标分别为7；、一厂3，当7m3 时，亦有 MA MB =3.9点石成金：1214力宿(6m_1)k2。2(亦一扑宀亦一厂2MA MB2m =323 m3k2 +13k2 +1综上，在x轴上存在定点M 4，使MA MB为常数2 =m2m 一136m 1423(3k1)例9、已

29、知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M( 2，1)，平行于0M的直线I在y轴上的截距为m( m 0) , I交椭圆于A、B两个不同点。(I)求椭圆的方程；(H)求m的取值范围;(川)求证直线 MA MB与 x轴始终围成一个等腰三角形思维流程：解:(1)设椭圆方程为2 241解得工+丄=12.21.abb2 =2椭圆方程为y 18 2(n)v直线i平行于OM且在y轴上的截距为 m1 1又Kom=I的方程为：y x m2 21 y = -x +m2由 22x2 2mx 2m2 -4 =0x_ 乂 T8 2 _1直线I与椭圆交于A B两个不同点,: = (2m)2 - 4(

30、2m2 - 4)0,解得- 2 ： m ： 2,且 m = 0(川)设直线MA MB的斜率分别为k1, k2,只需证明k计k2=0即可设 A(x1, y1), B(x2, y2),且x1 x2 二 -2m, x/? = 2m2 -4y1 t |y2 t,k2 X"! -'2x2 _'2由 x2 2mx 2m2 -4 = 0可得2x1 x2 订2m,XrX2 = 2m -4而 k1 k2yi -1 . y -1 _ (力 -1) -区 -2)厲-i)(xi 一2)x-i -2 x2 - 2区-2)(x2 -2)(*im-1)(X2-2)§X2m-1)(Xi-2

31、)(xi - 2)(x2 _ 2)x1x2 (m 2)(x1 x2) -4(m -1) (Xi - 2)(x2-2)2m2 _4 (m -2)(_2m) - 4(m -1)(Xi 2)(X2 2)2m2 -4 -2m2 4m -4m 4 小=0(Xi 2)(X2 2).k10故直线MA MB与 x轴始终围成一个等腰三角形点石成金：直线MA MB与 x轴始终围成一个等腰三角形二k1 k 0例10、已知双曲线2 X2 ab223=1的离心率e = 3，过3A(a,0), B(0,-b)的直线到原点的距离是仝.2(1)求双曲线的方程;C, D且C, D都在以B为圆心的圆(2)已知直线y二kx 5(-

32、 0)交双曲线于不同的点上，求k的值.思维流程:解： ( 1 )=2_伍 原点到直线 AB :x_i =：1的距离a3，a bd=ab二abVa 2 + b 2c2 .b = 1, a = 、3 .故所求双曲线方程为(2 )把y = kx - 5代入X2 _3y2 =3 中消去 y，整理得 (13k2)x2 -30kx-78 = 0.Xo15 k21 3kyo1 3kBEy°1Xo设 C(Xi,yJD(X2, y2),CD 的中点是 E(xo，y°)，则.Xoky0k = 0,15 k5k1 - 3k 21 - 3k 2k2故所求k= ± , 7 .点石成金：C,

33、 D都在以B为圆心的圆上二BC=Bd BE! CD;例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 X轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1 .(I)求椭圆C的标准方程；(II )若直线I :y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点求证：直线 I过定点，并求出该定点的坐标.思维流程：2 2解：(I)由题意设椭圆的标准方程为笃b 0),a b由已知得：a，c=3, a-c=1,a = 2, c =1,二 a2 -c2=32 2椭圆的标准方程为y 1.43(II )设 A(X1, %), B(X2, y2)y 二 kx m,联立2 2x_ y_2 2 2得(3 4k )x 8mkx 4(m -3)=0，则占=64m2k2 _16(3 +4k2)(m2)>0,即 3 +4k2 _m2 >0,8mkXlX24(m -3)23 4k2 23(m -4k )23 4k例12、已知双曲线x22-y2 =：1(a0,b0)的左右两个焦点分