圆锥曲线知识点整理

1、高二数学圆锥曲线知识整理P|孚 e,e 01、三种圆锥曲线的研究（1 ）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:F为定点，d为P到定直线的 距离，F ，如图。因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律 性。当0<e<1时，点P轨迹是椭圆；当 e>1时，点P轨迹是双曲线；当 e=1时，点P轨迹是抛物线。（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆： P|PF i|+|PF 2|=2a，2a>|FiF2|>0, Fi、F2为定点， 双曲线P|PF i|-|PF 2|=2a，|FiFa|>2a>0，Fi，F2为定点。（3 ）圆锥曲线的几何

2、性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改 变而改变。定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、 短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。椭圆双曲线抛物线焦距2c长轴长2a实轴长2a短轴长2b焦点到对应准线距离P=2b?cP通径长2丄a2p离心率c e -ai基本量关系2,2 2a =b +cC2=a2+b2（4 ）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变） 举焦点在x轴上的方程如下：椭圆双曲线抛物线标准方程2 、#2X y 1 a2b2(a>b>0)2 、#2x y 1 a2 b2(a>

3、;0, b>0)2y =2px (p>0)顶点(± a, 0)(0，土 b)(± a, 0)(0, 0)焦占八'、八、(± c, 0)(p , 0)2准线2X=± cx=卫2中心(0, 0)有界性|x| w a|y| w b|x| > ax > 0焦半径P（xo, yo）为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点|PF 1|=a+ex 0|PF 2|=a_ex 0P在右支时：|PF 1|=a+ex 0|PF 2|=-a+ex 0P在左支时：|PF 1|=-a-ex 0|PF 2|=a-ex 0|PF|=x 0+E22、直

4、线和圆锥曲线位置关系（1 ）位置关系判断：法（适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为 0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两 种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为 0。（2 ）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。例题研究例1、根据下列条件，求双曲线方程。2 2（1 ）与双曲线 厶 1有共同渐近线，且过点（-3，2 3）；9162

5、(2 )与双曲线乞16分析:(1)设双曲线方程为2 y16(入工0)(3)29(23)2"76-双曲线方程为2 X2y1944(3 )设双曲线方程为2 X2 y161k 016 k4 k4k 0(3.2)222116 k 4k解之得：k=422双曲线方程为Xy112822评注：与双曲线X2y21共渐近线的双曲线方程为ab2焦点在x轴上；当兰入<0时,焦点在y轴上。与双曲线时,2 X2 a222y_b7(入工0),当入>0Xa2 kb12Xa22令1共焦点的双曲线为(a2+k>0, b2-k>0 )。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高2y1有公共焦点，

6、且过点(3 2 , 2)。4解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。2 2例2、设F1、F2为椭圆 匚 厶 1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知 P、F1、F2是94个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF 2|，求厅印的值。| PF2 |解题思路分析:当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一：当/ PF2Fi=900 时，由144円1 14, |PF21 4|PFi| 压| 6222|PFi| IPF2 |(2c) 得:c25 |PF1 |7|PF2 |2当/ F1PF>=900 时,同理求得 |PF1|=4 , |

7、PF2|=2 |PF1 |2|PF2 |法二：当/PF2F1=90°, xP5yp4 P ( .5,4 )又 F2 ( 533 |PF 1|=2a-|PF|= 142卜-3，0) |PF 2|=32当/ FiPF2=900,x由 2xT2y2 y4(5)得:1p （3飞，5评注：由|PF1|>|PF 2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。4J5）。下略。5例4、已知x2+y2=1，双曲线（x-1） 2-y 2=1，直线同时满足下列两个条件：与双曲线交于不同两点；与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。分析:选择适当的直线方程形式，把条件“是圆的切线”

8、 “切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当 斜率不存在时，x=-1满足;当 斜率存在时，设：y=kx+b与OO相切，设切点为M,则 |OM|=1 |b| 1Q1 b 2=k2+1由（：）21得:2 2(1-k )x -2(1+kb)x-b2=o1 kb1 k2设 A (X1, y1), B (X2, y2),则中点 M(xo, yo),X1 X22(1 kb) x2 , x01 k y o=kx°+b= -_-21 k/ M在O O上22 丄x 0 +y° =1.(i+kb)2+(k+b)2=(i-k2)2k_3k.3由得：或3b=3b2T -i333:y、3

9、X2、3或y兰=33333)转化为关于rHzj>o评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件(“相切”和“中点”参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的例5、A B是抛物线y2=2px( p>0)上的两点， 且OM OB(1 )求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2) 求证：直线AB过定点；(3) 求弦AB中点P的轨迹方程；(4) 求厶AOB面积的最小值；(5) O在AB上的射影 M轨迹方程。分析：设 A (xi,y 1) , B ( X2,y 2),中点 P (xo,y 0)SbXiY2X2/ OA丄 OB k o/koB=-l/ x i

10、X2+yiy2=0y i2=2pxi, y22=2px222yiy22p 2pT y 详 0, 丫2工 042.y iy2=-4p“ 2.x iX2=4p22(2 )T y i =2pxi, y2 =2px2(yi-y 2) (y i+y2)=2p(x i_x 2)yi y2 2pxi X2yi y2k AB2pyi y2直线 AB： y yi2p (X Xi)yi y22pxyiy2yi2pxiyi y22px yi2pxi y°2yyi y2yi y?yi2 2pxi， y2 4p22px4p2yyi y2yi y2丝(x 2p)设 m (2p, o)yi y2 AB 过定点(2

11、p, o),（3）设 OA： y=kx，代入y2=2px 得：x=0,k2同理，以2、(2pk , -2pk )Xop(k2k2)yoP(ik)JQk2旷（k k）2 Xgp2即 yo =pxo-2p(空)2 2p2中点M轨迹方程y2=px-2p21(4) S aob s aom s bom IOM I (I yi2p(|yiI)2p . |yiy2 I 4p2当且仅当|y i|=|y 2|=2p时，等号成立评注：充分利用（i）的结论。（5）法一:设 H (X3,y 3)，则 koHYsX3k ABX3y3 AB:y3X3(X X3)yy3(yX3y3) X3 代入 y2=2p 得 y2叱yX

12、32p32X32pX3由（i）知， yiy2=-4p22py32x322px3 4p22整理得：X3 +y3 -2px 3=0点H轨迹方程为x2+y2-4x=0 （去掉（0, 0） 法二：/ OHM=90又由（2）知0M为定线段 H在以0M为直径的圆上点H轨迹方程为（x-p） 2+y2=p2,去掉（0, 0）2例6、设双曲线x2-1上两点A、B, AB中点M（ 1 , 2）2（1）求直线AB方程；（2） 如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于 C、D两点，那么A、B C D是否共圆,为什么?分析：(1)法一：显然 AB斜率存在设 AB： y-2=k(x-1)y kx 2 k222由y2 得：(2

13、-k )x -2k(2-k)x-k+4k-6=0x212当厶 >0 时，设 A (x1,y 1) , B (X2,y 2)则 X1 X2k(2 k)22 k2 k=1，满足 >0直线 AB: y=x+12y1法二：设 A (X1,y 1), B (X2,y 2)2X12y2则2 X2卄，1两式相减得：(x 1-X2)(x 计X2)= (y 1-y 2)(y 计y2)2X 1工 X2y1y22(X1X2)X1X2y1y22 1k AB12 AB：y=x+12代入x2y_1 得: >02评注：法一为韦达定理法， 法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件厶>0是否成立。(2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设A、B、C、D共圆于O OM因AB为弦，故 M在AB垂直平分线即 CD上；又CD为弦, 故圆心 M为CD中点。因此只需证 CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|y x 1由 2 y2 得：A (-1 , 0), B (3, 4)x212又CD方程：y=-x+3y x 3由 2 y2 得：x2+6x-11