数列求和—裂项相消专题

1、数列求和一裂项相消专题裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的常见的裂项相消形式有:1.a1 1 1n(n 1) n n 11 11 1( ) n(n 2)2 n n 2n2An2 BnC1(2n1)(2n11)(2n1)(2 n13)(6n5)(6 n1)1n(n1)(n2)2n1n 1(21)(2n1)2n(2n1)(2n+11)n22(nn(n1)2nn(n(n k)Panan3. anan2. anan4. an（分母可分解为n的系数相同的两个因式）1 12(2n 112n 1)1 16(6n 51_2n 3)16n 1)n(n 1)

2、(n 1)(n2)12n 11) n n 1)2n+11 12n n 2n 1(n 1)2n-C T221.在数列an中，an2an an 1，求数列bn的前n项2.已知数列an是首相为1，公差为1的等差数列，bn,Sn为bn的前n项和,an an 213证明：Sn.349a?a6，3.等比数列an各项均为正数，且 2ai 3a2 1,af(1 )求an的通项公式；(2 )设 bnlog3ai log3a2log3an，求bn的前n项和.4.设数列an满足ai11 an(1 )求an的通项公式;(2 )设 bnnbk，证明:k 1Sn1.5.（安徽江南十校2015联考）已知各项为正数的数列an

3、满足:an 22anan 24an 1an（ nN）,且a1, a?4 ,（1） 证明：数列是等差数列；2n 1,（2 ） 设bn，bn的前n项和为Sn，求证：S*1 .anan 16.已知等差数列 an的前n项和为Sn ,公差d 0,S5 4a3 6,且aa3,a9成等比数列,（1）求数列an的通项公式；（2）求数列1的前n项和Tn.Sn7.等差数列an中，a1 a36, a11(1 )求数列an的通项公式；1(2 )设 bn，求 Sn bi21,b2bn.n(an 3)8.（2010山东）已知等差数列an满足：a3 7,a5 a726, an的前n项和为Sn,（1 ）求 an 及 Sn ；

4、1（2）令bn （n N ），求数列bn的前n项和Tn.an 19.（ 2013全国1）已知等差数列an的前n项和为Sn,满足S3 0,S55，（1 ）求 an的通项公式；(2)求数列1的前n项和.a2n 132n 1210.(2013江西)正项数列an满足：an (2n 1応 2n 0,（1 ）求 an的通项公式；（2 ）令 bn1，求数列bn的前n项和Tn .(n 1)an2n，11.(2017全国3)设数列an满足印 3a2(2n(1 )求an的通项公式；(2 )求数列的前n项和.2n 112. (2015安徽)已知数列 an是递增的等比数列，且 印 a4 9,a2a3 8 ,(1 )求

5、an的通项公式；(2 )设Sn为数列an的前n项和，bnSnSn ibn的前n项和.1成等比数列,公差为d ， Sn13. （2014贵州适应性训练）已知数列an是等差数列， q 2,a2,a3,a4（1 ）求an的通项公式；2（2 ）设bn，求数列0的前n项和Sn .n （an 2）14.（2013大连育明高中模拟）已知数列an是各项均不为0的等差数列,2 1 1为其前n项和，且满足anS2n i(nN ),数列bh满足bn,Tn为数列bhan an 1的前n项和，(1 )求 ai,d 和Tn ;(2)是否存在实数，使对任意的(n N )，不等式 Tn n 8恒成立？若存在，请求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由15. Sn为数列 an的前n项和，已知an0, an2an4Sn3，(1 )求an的通项公式;（2 ）设 bn1，求数列bn的前n项和.anan 116.已知等比数列an的公比q 1 , 3!和34的等比中项为 3 3 , a?和a?的等差中项为6,数列 bn 满足 bnloga(3