数据结构——二叉树

1、数据结构二叉树(C+)【摘要】现实社会中的树 一一书籍的目录、任务大纲、家族族谱之类等等。人们要研究就必须能过将树正确的储存，如何存储又关系到实际的操作 树是否为空，在本学期学习的数据结 构的教材中允许树为空 【1】。因为树表现形式的是一种现实的结构，而o不是自然数.从直观上看树是分支关系定义的层次结构，其中树和二叉树是最常见的【关键词】数据结构；树；二叉树；遍历；探讨空间；1、二叉树1.1二叉树T是有限的结点的集合 (允许为空)，或者由一个根结点 u以及分别称为左子 树和右子树的两棵互不相交的二叉树u(1)和u( 2)组成。若用n,n1和n2分别表示T, u(1)和u (2)的结点数，则有n

2、=1+ n1+n2 。u(1 )和u(2)有时分别称为T的第一和第二子树。在二叉树中，每个结点至多有两个孩子，并且有左、右之分。因此任一结点的孩子不外4种情况：没有孩子；只有一个左孩子；只有一个右孩子；有一个左孩子并且有一个右孩子。图1.1五种基本形态(其中 口 表示空)1.2 二叉树与度数不超过 2的树不同，与度数不超过2的有序树也不同。在有序树中，虽 然一个结点的孩子之间是有左右次序的，但若该结点只有一个孩子时，就无须区分其左右次序。而在二叉树中，即使是一个孩子也有左右之分。由图可见：(a)和(b)是两棵不冋的二叉树。虽然它们与普通的一棵树(作为无序树或有序图1。2a (不同的两颗二叉树)

3、图1。2b (普通的一棵树)树）很相似，但它们却不能等同于这棵普通的树。若将这 3棵树均看作是有序树，则它们就 是相同的了。所以二叉树和树尽管有很多相似 ，但是二叉树不是树的特殊情形。所以，二叉树是一种人们假设的一种现象 ，所以允许为空是无争议的二叉树是一种有序 的树，左边是孩子、右边是兄弟。其实可以看作不同的两棵树。做这个规定 ，正式因为人们 要赋予给孩子兄弟不同的意义。 通过这学期的学习发现了一个现象， 就是树并没有插入删除 操作。对于非线性的树结构，插入删除操作不在一定的法则规定下，是毫无意义的 因此， 只有在具体的应用中，才会有插入删除操作。2、特殊形态的二叉树2。1满二叉树 卬：一棵

4、高度为h> 0且有2h+1-1个结点的二叉树称为满二叉树。（如图3。1）图3.1（满二叉树）2。2完全二叉树 “：若一棵二叉树至多只有最下面的两层结点的度数小于2，并且最下面一层结点都集中在该层的最左边，则称这种二叉树为完全二叉树（如图3。2）图3.2（完全二叉树）3、二叉树的遍历以及实现（C+）3。1二叉树基本上有先序遍历、 中序遍历、后序遍历，最开始并不明白为什么有这么多， 到了后面才明白，这是不同的应用需要的。例如，删除二叉树，必须先删除左右子树，然后才能删除根节点，这时就要用后序遍历，而判断两个二叉树是否相等，只要子树根节点不同，那么就不等，显然这时要用先序遍历；3.1.1 前序

5、遍历public:void PreOrder(void (衣 visit) (T &data)= print) PreOrder(root, visit) ;private:void PreOrder(BTNode* p ， void (*visit) (T data)if (p) visit(p>data)；PreOrder(p->left, visit);PreOrder(p-right， visit)；3。1.2 中序遍历public：void InOrder(void (visit) (T data) = print) InOrder(root, visit); p

6、rivate ： void InOrder(BTNode* p ， void (*visit ) (T &data)if (p) InOrder(pleft, visit) ;visit(p data)；InOrder(p- > right, visit); 3。1。 3 后序遍历public：void PostOrder(void (visit) (T data) = print ) PostOrder(root, visit); private:void PostOrder(BTNode p, void (*visit)(T &data) )if ( p) PostO

7、rder(p->left, visit);PostOrder(p> right, visit ) ;visit (p->data);4、二叉树的顺序存储结构4.1 在一棵具有 n 个结点的近似满二叉树中,我们从树根起，自上到下，逐层从左到右给所有结点编号，就能得到一个足以反映整个二叉树结构的线性序列.所以，顺序存储结构是二叉树的一种特点,按照一定的顺序存储在特定的连续单元中。(如图 4.1)图4.1（完全二叉树的结点编号）我们将数组下标作为结点编号，就可将二叉树中所有结点的标号存储在一维数组中。（如图4.2）图4.2可以看到二叉树的这种表示方式下，各结点之间的逻辑关系是隐含表

8、示的。完全二叉树中，除最下面一层外，各层都充满了结点。除最底层外，每一层的结点个数恰好是上一层 结点个数的2倍。因此，从一个结点的编号就可推知其父亲，左孩子、右兄弟，等各结点的编号.假设对结点为i的二叉树有如下定义：1. 仅当i=1时，结点i为根结点；2. 当i1时，结点i的父结点为i/2；3. 结点i的左孩子结点为 2i；4. 结点i的右孩子结点为 2i+1 ；5. 当i为奇数且不为1时，结点i的左兄弟结点为i-1 ；6. 当i为偶数时，结点i的右兄弟结点为i+1。4。2但对于一般的二叉树，采用顺序存储时，为了能用结点在数组中的位置来表示结点 之间的逻辑关系，也必须按近似满二叉树的形式来存储

9、树中的结点。一个只有k个结点的右单枝树却需要 2k-1个结点的存储空间.假设结点为 3的右单二叉树，添上虚结点后，成为一棵近似满二叉树。（如图4。2）5、索化二叉树5。1当用二叉链表作为二叉树的存储结构时，因为每个结点中只有指向其左、右孩子结 点的指针，所以从任一结点出发只能直接找到该结点的左、右孩子。在一般情况下靠它 无法直接找到该结点在某种遍历序下的前驱和后继结点。如果在每个结点中增加指向其 前驱和后继结点的指针，将降低存储空间的效率。例:一棵中序线索二叉树如（图5.1）:图5.1图5.2（线索链表）由图5。2可知：在二叉树的线索链表上增加了一个头结点，其LeftChild指针指向二叉树的

10、根结点，其 RightChild指针指向中序遍历时的最后一个结点.另外，二叉树中依中序列表的第一个结点的 LeftChild 指针，和最后一个结点的 RightChild 指针都指向头结点 .这 就像为二叉树建立了一个双向线索链表,既可从第一个结点起，顺着后继进行遍历，也可从最后一个结点起顺着前驱进行遍历。6、探讨线索化二叉树是否降低空间效率7.1 线索化二叉树提出的缘由： 第一，二叉树的叶子节点还有两个指针域没有用，可以节省内存。第二， 我们想用比较少的时间， 寻找二叉树某一个遍历线性序列的前驱或者后继。 当然， 这样的操作很频繁的时候，做这方面的改善才是有意义的 .7.2 证明：求遍历后的

11、线性序列的前驱和后继。7.2。1 先序线索化能依次找到后继 ,但是前驱需要求双亲； 中序线索化前驱和后继都不需 要求双亲 ,但是都不很直接； 后序线索化能依次找到前驱 ,但是后继需要求双亲。 可以看出， 线索化成中序是最佳的选择，基本上算是达到了要求。7。2.2 节省内存： 线索化增加了两个标志位， 但是这两个位怎么储存 ?即使是在支持位存 储的CPU上，也不能拿位存储器来存的，第一是因为结构体成员变量的内存地址是在连 续的一起的，第二是位存储器的存储数目是有限的。目前的计算机最少需要1 个字节来储存这两个标志位。而为了传输速度和内存移植，大部分的内存是要对齐的，这就导致 在内存中使用线索化二叉树根本就没节省内存。 假设把个内存空间用来储存双亲指针时， 带来的方便绝对不是线索化所能比