二次函数y=ax^2的图象与性质

1、二次函数二次函数y=axy=ax2 2的的 图象和性质图象和性质x x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 12 23 3y y解解:(1) :(1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2 2画最简单的二次函数画最简单的二次函数 y = x2 的图象的图象 你还记得描点你还记得描点法的一般步骤法的一般步骤? ?列表时应列表时应注意注意什么问题？什么问题？ 列表列表描点描点连线连线描点时应以哪些数描点时应以哪些数值作为点的坐标？值作为点的坐标？连线时应注意

2、连线时应注意什么问题？什么问题？ 二次函数二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线抛物线 y = x2 ，二次函数二次函数y = x 2 的图象是的图象是轴轴对称图形，对称图形，一般地，二次函数一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a0）的图象叫做的图象叫做抛物线抛物线y = ax2 + bx + c1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5抛抛物线物线 与它的对称轴的交点与它的

3、对称轴的交点（0 0，0 0）叫做抛物线）叫做抛物线 的顶点的顶点它是抛物线它是抛物线 的的最低点最低点2xy2xy 2xy 实际上实际上, , 二次函数的图象都是二次函数的图象都是抛物线抛物线，对称轴对称轴是是y y轴轴2xy 这条抛物线是轴对称这条抛物线是轴对称图形吗？如果是，图形吗？如果是，对称轴是什么？对称轴是什么？抛物线与对称轴抛物线与对称轴有交点吗？有交点吗？x x -4-4-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 34 4y= xy= x2 2例例1. 1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y= = x2 2和和y=2=2x2 2的图象的图象解解:

4、(1) : (1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 28 82 2 0.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 84.54.51 12 22yx212yx22yxxy=2xy=2x2 28-2-1.5-1-0.500.511.524.520.500.524.581 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 函数函数y= = x2 2, ,y=2=2x2 2的图的图象象与函数与函数y=x2 2( (图中虚线图形图中虚线图形) )的图的图象象相比相比, ,有什么共同

5、点有什么共同点和不同点和不同点? ?1 12 2共同点共同点: :不同点不同点: :开口都向上开口都向上; ;顶点是原点而且是顶点是原点而且是抛物线抛物线的最低点，对称轴是的最低点，对称轴是 y y 轴轴开口大小不同开口大小不同; ;2yx212yx22yx| |a| |越大，越大，在对称轴的左侧在对称轴的左侧(当当x0时时) ，y y随着随着x x的的增大增大而而增大增大。抛物线的开口越小抛物线的开口越小。探究探究 画出函数画出函数 的图象的图象2222,21,xyxyxyx1y解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线x x-2-2-1.5-1.5

6、-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=y=x x2 2y=y=x x2 2y=y=2x2x2 21 12 2-2.25-0.25-0.25-2.25-2-2-.-.-.-.- -. .- -. .- -. .-.-4. 5-4. 5-1-2-30123-1-2-3-4-52xy221xy 22xy x1y-1-2-30123-1-2-3-4-5 函数函数y= x2 2, ,y=2 2x2 2的图象与函数的图象与函数y=x2 2( (图中蓝线图形图中蓝线图形) )的图象相比的图象相比, ,有什么共同点和不同点有什么共同点和不同点? ?1 12 2共同点共同点:

7、 : 开口都向下开口都向下; ;不同点不同点: :顶点是原点而且是顶点是原点而且是抛物线抛物线的最高点，对称轴是的最高点，对称轴是 y y 轴轴开口大小不同开口大小不同; ;|a|a| 越大，越大，221xy 2xy22xy 在对称轴的左侧在对称轴的左侧( (当当x0时时) ，y y随着随着x x的的增大增大而减小而减小。抛物线的开口越小抛物线的开口越小对比抛物线，对比抛物线，y=x2和和y=x2.它它们关于们关于x轴对称吗？轴对称吗？一般地，抛物线一般地，抛物线y=ax2和和y=ax2呢？呢？在同一坐标系内在同一坐标系内,抛物线抛物线 与与抛物线抛物线 是关于是关于x轴对称的轴对称的.2ax

8、y 2axy 2xy2xy22xy232xy1 1、根据左边已画好的函数图象填空、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x= 时，时，函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线）抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），在对称轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧，；在对称轴的右侧，y随着

9、随着x的的 ，当，当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，当当x 0时，时，y0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值xyOyxO向上向上向下向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。当当x0 x0时，时，y y随着随着x x的增大而的增大而增大增大。当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。抛物线的开口就越小抛物线的开口就越小. |a|越小越小, 抛物线的开口就越大抛物线的开口就越大.2、函数、函数yax2和函数和函数yaxa的图象在同的图象在同一坐标系中大致是图中

10、（一坐标系中大致是图中（ ）2根据下列条件求 a的 取值范围：（1）函数y=(a-2)x2,当xo时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大；（2）函数y=(3a-2)x2有最大值？（3）抛物线y=(a+2)x2与抛物线y=-2x2的形状相同（4）函数y=ax(a2+a)的图象是开口向上的抛物线。3、已知抛物线、已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8）。）。 （1）求此抛物线的函数解析式；）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。的点的坐标。解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得-8=a(-2)2,解出解出a= -2,所求函数解析