微分中值定理的应用

1、微分中值定理的应用一 洛必达法则求 0 型和型未定式的极限0设 (1) 当 x0 时 , 函数 f (x) 和 F ( x) 都趋于零 ;(2)在 a 点的某去心邻域内, f ( x) 和 F ( x) 都存在且 F (x)0 ;(3) lim f (x)x a F (x)(x存在 (或无穷大 ),则 lim f (x )lim f (x )x a F ( x)x a F ( x)注意： 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，常与其它求极限方法结合使用，尤其是等价无穷小的替换 .例 求 lim tan x xx 0 x2 tan x解原式=lim tan xx =lim sec2 x 1= 1

2、lim tan 2 x=1x 0x3x 03x23 x 0x230 ,00 ,1,0 型未定式的求法 （转化为0型和型）010 ) 型例 求 lim (cot x) ln x .(x 011ln(cotx)解 由于 (cot x) ln xeln x11而 lim1ln(cot x)limcot xsin 2 xlimxln x11x 0x 0x0cosx sin xx所以 原式 = e 1.注意： 洛必达法则的使用条件例 1 求 lim x cos x .xx解 原式 = lim1 sin xlim (1sin x). 极限不存在x1x（洛必达法条件不满足的情况）正确解法为原式 = lim

3、(11 cos x)1.x x例 2 求 lim tan n (2)n4n1解 设 f ( x) tan x (2 ) ，则 f ( n) tan n (2 )4x4 nln tan( lim4 limxln tan(2)x1xx4x因为 limf ( x)e= ex222) limsec (4 x)(x2x12tan(2 )44exx= e1例 3.lim1ex1x0xex1eueu解：设 u11ex1limlim， lim1limu1utx 0xu1uuxeeeuu2例 4.exsin x1lim11x2x0xsin x1exsin x1 1 1 x2解： limelim2x 0 11 x

4、2x 011 x22 )x 11u2eu11xxxesin x1lim 11 x2ecos xlime sin x1limx22limx 0x 0x 02xx 01例 5： 设函数 yf ( x) 在 x0 的邻域内具有一阶连续导数，且f (0)0, f / (0) 0若 af (h)bf (2h)f (0) 在 h0 时是比 h 高阶的无穷小，求a, b计算导数二 函数的单调性与曲线的凹凸性设函数 yf (x)在 a,b 上连续在 (a,b) 内可导(1) 如果在 (a,b) 内 f (x)0(2) 如果在 (a,b) 内 f (x)0例 讨论函数y3 x2 的单调性那么函数那么函数y f

5、( x) 在 a,b 上单调增加y f ( x) 在 a,b 上单调减少2解显然函数的定义域为 ( ,), 而函数的导数为 y2(x 0)3x3所以函数在 x0处不可导又因为 x0时 y0 所以函数在因为 x0 时y0, 所以函数在(,0 上单调减少 0,) 上单调增加利用单调性证明不等式例 证明 当 x1时2x31x证明令 f (x)2 x(31)则 f (x)111(x x 1)xxx2 x2因 为 当 x1 时f ( x)0因 此 f (x) 在 1,) 上单调增加从 而 当 x1 时f (x)f (1),又由于f (1) 0 故 f (x)f (1)0即 2x (31)0也就是 2x3

6、1xx ,( x1)曲线的凹凸与拐点定义设 f (x)在区间 I 上连续 如果对 I 上任意两点 x1 , x2恒有f ( x1 x2 )f (x1) f (x2 )22那么称 f (x)在 I 上的图形是 (向上 )凹的 (或凹弧 ) 如果恒有f ( x1 x2 )f (x1) f (x2)22那么称 f (x)在 I 上的图形是 (向上 )凸的 (或凸弧 )定义设函数 y f (x)在区间 I 上连续 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的； 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的曲线凹凸性的判定定理 设 f (x)在 a

7、, b 上连续在 (a b)内具有一阶和二阶导数那么(1) 若在 (a,b) 内 f (x) 0则 f (x)在 a,b上的图形是凹的3(2) 若在 (a,b) 内 f /(x) 0 则 f (x)在 a,b上的图形是凸的拐点 连续曲线 yf (x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线 yf (x)的凹凸区间和拐点的步骤(1)确定函数 yf(x)的定义域(2) 求出在二阶导数 f (x)(3) 求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4) 判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点例求曲线 y2x3 3x212x14的拐点解y 6x26x12y12x66(2x1) ，令 y 0得 x

8、12因为当 x1 时 y0当 x1 时y0 所以点(1201 )是曲线的拐点2222例 4求曲线 y3x44x31的拐点及凹、凸的区间解 (1)函数 y431的定义域为 (,)3x4x(2)y 12x3 12x2y36x224x 36x(x2 )3(3)解方程 y0得 x10x223(4) 列表判断,000,2 32 32 3,f ''x00fx111 27在区间 (,0和 2,) 上曲线是凹的在区间 0, 2 上曲线是凸的点 (0,1)和332 11 是曲线的拐点(,)3 27三 函数的极值、最值及其求法定理1(必要条件 )设函数f ( x) 在点 x0 处可导且在 x0 处

9、取得极值那么函数在4x0 处的导数为零即 f ( x0 ) 0定理 2 (第一种充分条件 )设函数 f ( x) 在点 x0处连续在 x0 的某去心邻域 U (x0 , ) 内可导(1) 若 x (x0, x0 ) 时， f ( x)0而 x( x0 , x0) 时， f (x)0则函数 f (x)在 x0 处取得极大值(2) 若 x (x0, x0 ) 时， f ( x)0而 x( x0 , x0) 时， f (x)0则函数 f (x)在 x0 处取得极小值(3)如果 xU (x0 ,) 时， f ( x) 不改变符号则函数 f ( x) 在 x0 处没有极值确定极值点和极值的步骤（ 1）求

10、函数定义域(2) 求出导数 f ' ( x)(3) 求出 f ( x) 的全部驻点和不可导点(4) 列表判断 (考察 f ' (x) 的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极值点如果是极值点还要按定理2 确定对应的函数值是极大值还是极小值)(5) 确定出函数的所有极值点和极值例 求函数 f (x) (x4)3 (x1) 2的极值解显然函数 f ( x) 在 (,) 内连续 除 x1外处处可导且f ( x)5(x1)令 f ' ( x)得驻点 x1， x1为 f ( x) 的不可导点33 x1(3) 列表判断x( ,1)1( 1,1)1(1, )f

11、' (x)不可导0f ( x)033 4所以极大值为f ( 1)0 极小值为 f (1)33 4如果 f ( x) 存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有5定理 3 (第二种充分条件)设函数f ( x) 在点 x0 处具有二阶导数且f ' (x0 )0f (x0 )0那么(1) 当 f(x0 )0时 函数 f ( x) 在 x0 处取得极大值(1) 当 f(x0 )0时 函数 f ( x) 在 x0 处取得极小值说明： 如果函数f (x) 在驻点 x0 处的二导数 f ( x0 )0 那么该点 x0一定是极值点并可以按 f(x0 ) 的符来判定 f (x0 ) 是极大值还是

12、极小值但如果 f ( x0 ) 0 定理 3 就不能应用 例如 g(x)x3 在点 x 0 没有极值 .最大值最小值问题最大值和最小值的求法设 f ( x) 在 ( a, b) 内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为 x1 , x2 , xn 则比较f (a), f ( x1 ), f ( x2 ), f ( xn ), f (b) 的大小其中最大的便是函数f (x) 在a, b 上的最大值最小的便是函数f ( x) 在 a,b 上的最小值求最大值和最小值的步骤(1).求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值, 比较大小 , 那个大那个就是最大值, 那个小那个就是最小值

13、 ;注意 : 如果区间内只有一个极值, 则这个极值就是最值.( 最大值或最小值)例 求函数f (x)x23x2 在 3,4 上的最大值与最小值解 由于 f ( x)x23x2x3,12, 4x23x2x(1, 2)所以 f(x)2x3x( 3,1)(2, 4)2x 3x(1, 2)求得 f ( x) 在 ( 34)内的驻点为 x3 ，不可导点为 x11, x2 22而 f (3) 20, f (1)0 ， f ( 3)1f (2)0, f (4)624经比较 f ( x) 在 x3 处取得最大值20 在 x11, x22 处取得最小值 06渐近线铅直渐近线 （垂直于 x 轴的渐近线）lim f

14、 (x)或lim f (x)，那么 x x0就是曲线 yf ( x) 的一条铅直渐近线。x x0x x0例如曲线 y1x 2, x3有两条铅直渐近线( x2)( x 3)水平渐近线 （平行于 x 轴的渐近线）lim f (x)b 或limf (x)b（ b 为常数），那么 yb就是曲线 yf ( x) 的一条水xx平渐近线。例如曲线 yarctan x 有两条水平渐近线y,y22斜渐近线如 果 lim f(x)(ax)0或lim f(x)(ax)0（ a, b 为 常 数 ） 那 么xbxby axb就是曲线 yf ( x) 的一条斜渐近线。斜渐近线的求法：求出 limf ( x)a ， li

15、m f ( x)axb ，则 yaxb 就是曲线 yf ( x) 的斜渐近线xxx例 1 求曲线 f ( x)2( x2)( x3)x1的渐近线解 D:(,1)(1,) ,因为 limf ( x),limf ( x)x1x1所以 x1 是铅直渐近线又因为 limf ( x)lim2( x2)( x3)2 ,xx(x1)xxlim 2( x2)( x3)2xlim2(x 2)( x3)2x( x1)4xx1xx 1所以 y2 x4 为斜渐近线描绘函数图形的一般步骤(1) 确定函数的定义域并求函数的一阶和二阶导数(2) 求出一阶、二阶导数为零的点求出一阶、二阶导数不存在的点(3) 列表分析 确定曲

16、线的单调性和凹凸性(4) 确定曲线的渐近性(5) 确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点7(6) 联结这些点画出函数的图形例 做出函数 f (x)4( x1)2 的图形x2解函数的定义域为D : x0 非奇非偶函数 , 且无对称性 .4( x2)f ( x)8( x3)令f(x)0, 得驻点x2f ( x)x3,x4,lim 4( x1)再令 f (x)0 得特殊点 x3 ,又 limf ( x)222xxx得水平渐近线y2, 而 limf ( x)lim 4( x21)2, 铅直渐近线 x 0x 0x 0x列表x(, 3)3( 3, 2)2( 2,0)0(0,)f (

17、 x)不存0在f ( x)0+拐点极值点间断f(x)26y 3点(3,)9补充点： (1 3,0), (13,0)， A(1, 2) ， B (1,6) ， C ( 2,1)y6BC3 2 1o11 2xA238曲率（数三不要求）一、弧微分 ds1y 2 dx二、曲率及其计算公式曲率 是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量曲线弯曲程度的直观描述用比值 |即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MN 的平均弯曲程度记| s|K称 K 为弧段 MN 的平均曲率s记 Klims称K为曲线 C在点 M处的曲率s0在 limd存在的条件下Kdsdsdss0曲率的计算公式设曲线的直角坐标方程是yf (x)

18、且 f ( x) 具有二阶导数（这时f ( x) 连续 从而曲线是光滑的）因为 tany所以 sec2dy dxyyydsec2dx1tan2dx1y 2 dx又 ds1y 2 dx从而得曲率的计算公式Kd| y |ds(1y 2)3 2若曲线的参数方程为x(t)则曲率 K| (t)(t)(t)(t) |y(t )2(t)2(t)3/ 2例 1 计算直线 yaxb上任一点的曲率解 显然 ya, y0 ，所以直线 yaxb 上任一点的曲率 K0 ,即直线的曲率处处为零例 2 计算半径为R 的圆上任一点的曲率解xRcost1由于圆的参数方程为Rsin t,所以KyR即圆上各点处的曲率等于半径的倒数

19、, 且半径越小曲率越大 .三、曲率圆与曲率半径设曲线在点M ( x, y) 处的曲率为K ( K0) 在点M 处的曲线的法线上凹的一侧取一9点D 使DMK 1, 以 D为圆心为半径作圆 这个圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 曲率圆的圆心D 叫做曲线在点M 处的曲率中心曲率圆的半径叫做曲线在点 M 处的曲率半径yD1kMyf ( x )ox曲线在点 M 处的曲率 K ( K0) 与曲线在点M 处的曲率半径有如下关系11KK注意： 1. 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.2. 曲线上一点处的曲率半径越大 , 曲线在该点处的曲率越小 ( 曲线越平坦 ); 曲率半径越小 , 曲率越大

20、( 曲线越弯曲 ).3. 曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧 ( 称为曲线在该点附近的二次近似 ).例题1.函数 f ( x) 在 0,1 上 f / ( x)0 ，比较 f / (1), f / (0), f (1)f (0) 的大小 .解： f ( x) 在 0,1 上满足拉氏中值定理条件，存在0,1 ，使得 f (1)f (0)f / ( ) .由于 f / (x)0 ，所以 f / ( x) 单调增加，而 01，所以f / (0) f / ( ) f / (1) ，即 f / (0)f (1)f (0)f / (1) .2. 函数 f (x) 在 0,1 上 f / (x)

21、0, f / (0)0 ，比较 f / (1), f / (0), f (1)f (0) 的大小 .解：由于 f / (x)0 ，所以 f / ( x) 单调增加，而 f / (0) 0 ，所以在 0,1 上 f / ( x) 0 ，同上题讨论有f / (0)f (1)f (0)f / (1)3.f ( x)f (x) 在 0,内 f / (x)0, f / ( x)0 ,判断在,0 内 f / (x), f / (x) 的符号 .4. 已 知 函 数f ( x) 在 区 间1, 1内 具 有 二 阶 导 数 , 且f / ( x) 严 格 递 增 ,10f / (1)f (1)1，则：A.在

22、 1,1内均有 f ( x)x ； B.在 1 ,1 , 1,1内均有 f ( x)x ；C.在1,1内均有f ( x)x ，在 1,1D.在1,1内均有f (x)x ，在 1,1内均有 f ( x)x ；内均有 f ( x)x 。5 .设 f ( x) 处处可导 ,则A.limf ( x)必 limf / ( x)； B.limf / ( x)必 limf ( x)xxxxC.limf ( x)必 limf / (x)； D.limf / (x)必 limf ( x)xxxx解：选择 D (A,C 的反例 yx ， B 的反例 yx2 )6.设函数 f ( x) 在 0,上有界且可导，则A.

23、limf ( x)0 必 limf / (x)0;B.xlimf / ( x) 存在，必limf / ( x) 0 ；xxxC.limf ( x)0 必 limf / ( x)0;D.limf / ( x) 存在，必limf / (x)0 ；x 0x 0x0x0解：选择 A (B,C,D 的反例 f (x)x )7.设函数f (x)在 x0 的邻域内连续,f (0)0，limf ( x)2，则在 x0 处且x 0 1cos xA.f (x) 不可导 ;B. 可导 ,且 f / (0)0 ;C.取极大值 ;D.取极小值8.f ( x), g( x)为恒大于0,f/(x)g( x)f (x)g/(x)0x b 时的可导函数 且，则当 aA.f (x) g(b