寒假配套特训100题

1、 寒假配套特训100题 特训题1、设，求f(x).解令，于是特训题2、 求极限解：特训题3、求.解分子、分母用3n除之，原式（注：主要用当时，）特训题4、求下列各极限（1）（2）解（1）解一原式解二原式解三用洛必达法则1原式（2）解一原式解二类似（1）中解二用等价无穷小量代换解三类似（1）中解三用洛必达法则（2）解原式特训题5、求下列极限（1）（2）解（1）（2）解一解二特训题6、求下列极限（1）（2）（3）解（1）令则，当时于是（2）令则，当时，于是（3）特训题7、 求下列极限（1）（2）解（1）而由夹逼定理可知（2）而则夹逼定理可知特训题8、求.分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑而，由此可

2、见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑.解特训题9、求.解离散型不能直接用洛必达法则，故考虑原式.特训题10、求.解若直接用“”型洛必达法则1，则得（不好办了，分母x的次数反而增加），为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令，于是(“”型)特训题11、求.解（“”型）特训题12、求.解原式特训题13、设函数在内连续，则.解：1分析：由特训题14、求.解令，（见2中例3）特训题15、求（前面已用重要公式的方法）.解令，（“”型），特训题16、求.解令，特训题17、求极限.解：特训题18、求.解用等价无穷小量代换原式特训题19、求.解这个极限虽是“”型，但分子、分母分别求导数后

3、的极限不存在，因此不能用洛必达法则.原式特训题20、求.解（当时）原式特训题21、设，求.解原式特训题22、设曲线与在原点相切，求.解由题设可知，于是特训题23、设，求.解（算术平均值几何平均值）又，则因此单调减少，又有下界，根据准则1，存在把两边取极限，得，A0，取，于是特训题24、求下列函数在分段点处的极限解特训题25、求.解特训题26、设，求a和b.解 由题设可知，1+a+b=0再对极限用洛必达法则特训题27、连续，则解：分析：，由连续，则特训题28、讨论函数在点处的连续性。解因即有，故在点连续.特训题29、讨论函数在点的连续性.解因，因而不存在，故在点不连续.特训题30、 设在处连续，

4、求常数k.解，由连续性可知特训题31、求函数的间断点，并确定其类型.解显然是间断点，由于所以是的可去间断点.特训题32、 求函数的间断点，并确定其类型.解所给函数在点，-2，2没有定义，因此，-2，2是所给函数的间断点.下面确定它们的类型.对于，由于，故是第一类间断点，且为跳跃间断点.对于，由于故是第二类间断点，且为无穷间断点.对于，由于故是第一类间断点，且为可去间断点.若补充定义，则在连续.特训题33、设在内有定义，且则下列结论中正确的是（）(A) 必是的第一类间断点(B)必是的第二类间断点(C)必是的连续点(D)在处的连续性与a的取值有关解时是的连续点，时，是的可去间断点故选D.特训题34

5、、 求.解因，而函数在点连续，所以特训题35、设在处连续，且，求.解由于在处连续，且，所以则特训题36、设在上连续，且，证明：在内至少有一个根.证令，可知在上连续，由介值定理的推论，可知在内至少有一个零点，即在内至少有一个根.特训题37、求证：方程在内恰有两个根.证令，它是偶函数，所以只需讨论在内恰有一个根.，在上连续，根据介值定理推论，至少有一个，使.又因为，所以在内单调增加，因此，在内最多只有一个零点，于是在内恰有一个零点，由偶函数的对称性，在内恰有两个零点，也即所给方程在内恰有两个根.特训题38、设，其中在点处连续，求。解没有假设可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义。特训题

6、39、曲线在点处的切线方程为.解：.分析：设，斜率，在处，所以切线方程为，即特训题40、讨论函数在处连续性与可导性。解函数在处连续，因为则但是，在处没有导数，因为曲线在原点的切线不存在（见上图）。特训题41、设函数试确定的值，使在点处可导。解可导一定连续，在处也是连续的，由要使在点处连续，必须有或又要使在点处可导，必须，即故当时，在点处可导。特训题42、求下列函数的导数：（1）（2）解（1）（2）特训题43、求下列函数的微分（1）（2）解（1）（2）特训题44、设，求.解令则因此特训题45、设可微，求dy.解特训题46、设由方程所确定，求和.解一对方程两边关于x求导，y看作x的函数，按中间变量

7、处理.于是，解二对方程两边求微分，根据一阶微分形式不变性.于是特训题47、求的导数.解对x求导，得因此，特训题48、设，求.解特训题49、证明曲线上任一点处切线与两坐标轴所围成的直角三角形面积恒为2.证所求切线方程为令，得切线截x轴的截距，令，得切线截y轴的截距，直角三角形面积特训题50、求曲线在处的切线方程.解，.，故切线方程为即特训题51、设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是 (A) . (B) . (C) . (D) . A 【详解】 当x=3时，有，得（舍去，此时y无意义），于是，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：，令y=

8、0, 得其与x轴交点的横坐标为：, 故应(A).特训题52、设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为_【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 定义的 求出二阶导数,再由 确定的取值范围.【详解】,令 .又 单调增, 在 时, 。(时，时，曲线凸.)特训题53、设在上连续，在内可导，且，试证：必存在，使。证在上连续，在上连续，且有最大值和最小值,于是；，故。由连续函数介值定理可知，至少存在一点，使得因此，且在上连续，内可导，由罗尔定理得出必存在，使得。特训题54、设在上连续，在内可导，且.求证：存在使证由积分中值定理可知，存在c，使得得到对在上用罗尔定理（三个条件都满足），故

9、存在，使特训题55、设，试证：.证令，它在上满足拉格朗日中值定理条件，因此于是成立.特训题56、设不恒为常数的函数在上连续，内可导，且，证明内至少有一点，使得.证由题意可知存在使得如果，则在上用拉格朗日中值定理存在，使如果，则在上用拉格朗日中值定理存在，使，因此，必有，使得成立.特训题57、设，证明对任意，恒有证不妨假设，由拉格朗日中值定理有，从而可知，单调减少，于是这样由两式可知因此，成立.特训题58、设在上连续，内可导，且，证明：存在，使证考虑柯西中值定理（待定）最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.再把欲证的结论变形，两式比较，看出令即可.类似地，欲证，则取即可特训题59、设函数在上二阶可

10、导，且，.求证：存在，使得证先把在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式再把在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式在上面两个公式中皆取则得两式相减，得，于是因此亦即证明存在，使特训题60、设在上，则，或的大小顺序是（）（A）（B）（C）（D）解选根据拉格朗日中值定理其中，又，单调增加因此，特训题61、设函数在上连续，在内可导，且满足，如果单调增加，求证在内单调增加.证 用拉格朗日中值定理于是是单调增加，因此，则在内单调增加特训题62、设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有（）（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个

11、极大值点解有三个驻点和一个不可导点，考察它们两侧导数的符号，用第一充分判别法可知，最小驻点为极大值点，另一个较小驻点为极小值点，原点为不可导点是极大值点，最大的驻点为极小值点，故应选C特训题63、讨论的极值.解为极小值特训题64、 设在邻域内有定义，且，其中n为正整数，为常数，讨论（对n）是否为极值.解，其中（）若n为正偶数，当（充分小），则与k同号，当k0，为极小值；当k0，为极大值.（）若n为正奇数，当（充分小），则在两侧异号，所以不是极值.特训题65、设，求的极值、单调区间和凹凸区间.解：. ,令，得.因为，所以.，得 ，得 因此，的单调增区间是；单调减区间是.由，可知为凹区间.由知为极

12、小值.特训题66、设，则 = _ .【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： =，于是，从而 =方法二： 两边取对数，对x求导，得，于是 ，故=特训题67、 曲线的斜渐近线方程为_【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=，于是所求斜渐近线方程为【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当时，极限不存在，则应进一步讨论或的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，

13、所以只考虑的情形.特训题68、当时，与是等价无穷小，则k= _【分析】 题设相当于已知，由此确定k即可.【详解】 由题设， =，得【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.特训题69、设函数，则f(x)在内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】 当时，； 当时，；当时，即 可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.特训题70、设函数则(A) x=0,x=1都是f(x)的第一

14、类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 ，所以x=0为第二类间断点；，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).【评注】 应特别注意：， 从而，特训题71、 若时， 与是等价无穷小，则a= .【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换

15、进行化简.【详解】 当时，.于是，根据题设有 ，故a=-4.特训题72、 设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】 等式两边直接对x求导，得，将x=1,y=1代入上式，有 故过点(1,1)处的切线方程为，即 特训题73、的麦克劳林公式中项的系数是 _【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值，则麦克劳林公式中项的系数是_【详解】 因为 ，于是有，故麦克劳林公式中项的系数是特训题74设均为非负数列，且,则必有(A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立.(C

16、) 极限不存在. (D) 极限不存在. 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限属型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).特训题75设函数 问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】 分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即【详解】 = = =令，有 ，得或.当a=-1时，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，因而x=0是f(x)的可去间断点.【评注】

17、 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.特训题76、设函数y=y(x)由参数方程所确定，求【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t的取值.【详解】由，得 所以 = =当x=9时，由及t>1得t=2, 故特训题77、设, 则的间断点为 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式, 再讨论的间断点.【详解】显然当时,;当时, ,所以 ,因为 故 为的间断点.特训题78、设函数由参数

18、方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为_【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 定义的 求出二阶导数,再由 确定的取值范围.【详解】,令 .又 单调增, 在 时, 。(时，时，曲线凸.)特训题79、把时的无穷小量, , 排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A） （B）（C） （D） （ ）【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】,即 .又 ,即 .从而按要求排列的顺序为, 故选（B）.特训题80、设, 则（A）是的极值点, 但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点, 但是曲线的拐点.（C）是

19、的极值点, 且是曲线的拐点.（D）不是的极值点, 也不是曲线的拐点. （ ）【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论两方, 的符号.【详解】,从而时, 凹, 时, 凸, 于是为拐点.又, 时, , 从而为极小值点.所以, 是极值点, 是曲线的拐点, 故选（C）.特训题81、设函数连续, 且, 则存在, 使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有. ( )【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质.【详解】由导数的定义知,由极限的性质, , 使时, 有即时, ，时, ,故选（C）.特训题82、求极限.【分析】此极限属于型未定式.可

20、利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.【详解1】 原式【详解2】 原式特训题83、设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.()写出在上的表达式;()问为何值时, 在处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论.【详解】()当,即时,.()由题设知 .令, 得.即当时, 在处可导.特训题84、设, 证明.【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设, 则,所以当时, , 故单调减小, 从而当时, ,即当时, 单调增加.因此, 当时, , 即故 .【详证2】设, 则,时, ,

21、 从而当时, ,时, 单调增加.时, 。令有即 .【详证3】证 对函数在上应用拉格朗日定理, 得, .设, 则,当时, , 所以单调减小,从而, 即,故 特训题85、曲线的水平渐近线方程为_特训题86、设函数 在x=0处连续，则a=_特训题87、设函数确定，则_ 当x=0时，y=1， 又把方程每一项对x求导，特训题88、设函数具有二阶导数，且为自变量x在点x0处的增量，则（ ）（A）（B）（C）（D）由严格单调增加是凹的即知特训题89、设函数则g(1)等于（ ）（A）（B）（C）（D），特训题90、试确定A，B，C的常数值，使其中是当.解：泰勒公式代入已知等式得整理得比较两边同次幂函数得B+1

22、=AC+B+=0式-得代入得代入得特训题91、设数列满足，证明：（1）存在，并求极限 （2）计算证：（1）单调减少有下界根据准则1，存在在两边取极限得因此（2）原式 离散散不能直接用洛必达法则先考虑 用洛必达法则特训题92、证明：当时，证：令只需证明单调增加（严格） 单调减少（严格）又故单调增加（严格）得证特训题93、已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程（III）求此切线与L（对应部分）及x轴所围的平面图形的面积解：（I）（II）切线方程为，设，则得点为（2，3），切线方程为（III）设L的方程则由于（2，3）在L上，由特训题94、当时，与等价的

23、无穷小量是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】 应选(B).【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当时，有； 可见应选(B).特训题95、设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：(A) 若存在，则f(0)=0. (B) 若存在，则f(0)=0. (C) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在【】【答案】 应选(D).【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推

24、导出f(0)=0.若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在x=0处连续，且=存在，但在x=0处不可导 .特训题96、曲线，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【】【答案】 应选(D).【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】 因为，所以为垂直渐近线；又 ，所以y=0为水平渐近线；进一步，=，= =，于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).特训题97、= .【答案】 应填0.【详解】 因为，而sinx+cosx有界，故=0.特训题98、设函数则= .【答案】 应填【详解】 一般地， ，从而 =特训题99