同济版高数练习及解答

1、高等数学I 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. .（A） （B）（C） （D）不可导.2. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。4.（A） （B）（C） （D）.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. .6. .7. .8. .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设

2、函数由方程确定，求以及.10.11.12. 设函数连续，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.13. 求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.17. 设函数在上连续，且，.证明：在内

3、至少存在两个不同的点，使（提示：设）高数I解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. . 6.7. . 8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 解：方程两边求导 ，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。 ，在处连续。13. 解： ，四、 解答题（本大题10分）14. 解：由已知且， 将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而

4、切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：故有： 证毕。17.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即. 高数II试题一、选择题（每题4分，共16分）1函数在(0, 0)点 .(A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在；(C) 不连续，且偏导

5、函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在。2设为可微函数，则 。 () ()； () ； ()。 3设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。()； ()；()；()。4幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为 。()； ()；()； ()。二、填空题（每题4分，共20分）1 设函数，则函数的全微分 。2 函数在点处沿方向的方向导数为 ，其中O为坐标原点。3 曲面在点（1，2，0）处的切平面方程为 。4 曲线积分（其中是圆周：）的值为 。5 设的正弦级数展开式为，设和函数为，则 , .三、计算题（每题7分，共21分）1求方程的通解。2交换二次积分的积分顺序。3计算曲面

6、积分，其中为锥面。四（9分）设函数，其中具有二阶连续偏导数，求。五、（10分）确定的值，使曲线积分与路径无关，并求分别为，时曲线积分的值。六、（10分）化三重积分为柱面坐标及球面坐标系下的三次积分，其中是由和，所围成的闭区域。七、（10分）求，其中为锥面的外侧。 八、（4分）设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。高数II解答一、选择题（每题4分，共16分）B C D B1函数在(0, 0)点 B .(A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在；(C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在。2设为可微函数，则 C 。 () ()

7、； () ； ()。 3设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 D 。()； ()；()；()。4幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为 B 。()； ()；()； ()。二、填空题（每题4分，共20分）1 设函数，则函数的全微分。2 函数在点处沿方向的方向导数为，其中O为坐标原点。3 曲面在点（1，2，0）处的切平面方程为。4 曲线积分（其中是圆周：）的值为。5 设的正弦级数展开式为，设和函数为，则 ，。三、计算题（每题7分，共21分）1求方程的通解。解：特征方程为，则特征根为，因此齐次方程通解为设非齐次一个特解为，代入方程得得，故方程的通解为2交换二次积分的积分顺序。解

8、：=3计算曲面积分，其中为锥面。解： 四（9分）设函数，其中具有二阶连续偏导数，求。解：五、（10分）确定的值，使曲线积分与路径无关，并求分别为，时曲线积分的值。解：，故欲使曲线积分与路径无关只需 得六、（10分）化三重积分为柱面坐标及球面坐标系下的三次积分，其中是由和，所围成的闭区域。解：七、（10分）求，其中为锥面的外侧。 解：作曲面，朝上，则 由，朝上有故八、（4分）设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。证明：因为在点的某一邻域内具有二阶连续导数，故则，故，又收敛故由正项级数的比较法的极限形式得收敛，即绝对收敛。高等数学II（A卷）096 一、 单项选择题（每小题4分

9、，共16分）1 微分方程，其特解设法正确的是 （ ） （A）； （B）； （C）； （D）2 设空间区域；，则 ( ) （A）； （B）； （C）； （D）3 设，且收敛，则级数（ ）（A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）收敛性与有关。4 设二元函数满足，则（ ） （A）在点连续； （B）；（C），其中为的方向余弦； （D）在点沿x轴负方向的方向导数为二、 填空题（每小题4分，共16分）5. 设函数，则= 6. 曲面被柱面所割下部分的面积为 7. 设，而，其中则 ， 8. 幂级数的收敛域为 三、 解答下列各题（每小题7分，共28分）9. 设是由方程确定的隐函数，可微,计算 在

10、曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面10. 将函数展开为的幂级数11. 计算，是由曲面及所围成的闭区域四、 解答下列各题（每小题10分，共30分）12. （10分）设具有二阶连续导数，曲线积分与路径无关求13. （10分）计算积分，其中为圆周（按逆时针方向）14. （10分）计算，其中为锥面被所截部分的外侧 五、 综合题（每小题5分，共10分）15. 在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大，并求出最大值 证明：设是单调递增的有界正数列，判断级数是否收敛，并证明你的结论高等数学II（解答）096 四、 单项选择题（每小题4分，共16分）B C B D 五、 填空题（每小题4分，共1

11、6分）1 ； ； 0 ； 1，3六、 解答下列各题（每小题7分，共28分）9. 解：， 10.解：令，则在点的法向量为，平面的法向量为。，得，又得，故满足题意的点为（-3，-1，3）11.解： 12. 计算，是由曲面及所围成的闭区域解：=解答下列各题（每小题10分，共30分）13. （10分）解： ， 的通解为设特解，代入得的通解为。由，得。14. （10分）解（1）故当时，在所围的区域内有连续偏导，满足格林公式条件。（2）当时，构造曲线（取得足够小保证含在所围区域）方向为逆时针，即。故即15. （10分）解 : 五、 综合题（每小题5分，共10分）16. 解： 问题变为求在下的最大值点。 解

12、得，求得点沿的方向导数最大值17.解：为正项级数 设，则，故收敛高等数学I一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. 当时，都是无穷小，则当时（ ）不一定是无穷小. (A)(B) (C)(D) 2. 极限的值是（ ）.（A） 1（B） e （C） （D） 3. 在处连续，则a =（ ）.（A） （B） （C） （D） 4. 设在点处可导，那么（ ）.（A） （B） (C) （D） 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 极限的值是 .6. 由确定函数y(x)，则导函数 .7. 直线过点且与两平面都

13、平行，则直线的方程为 .8. 求函数的单调递增区间为 .三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）9. 计算极限.10. 已知：，求。11. 设在a，b上连续，且，试求出。12. 求 四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）13. 求 .14. 求函数 的极值与拐点.15. 求由曲线与所围成的平面图形的面积.16. 设抛物线上有两点，. 在弧上，求一点使三角形的面积最大.六、证明题（本大题4分）17. 设，试证.高等数学I 解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. 当时，都是无穷小，则当时

14、（ D ）不一定是无穷小. (A)(B) (C)(D) 2. 极限的值是（ C ）.（A） 1（B） e （C） （D） 3. 在处连续，则a =（ D ）.（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 4. 设在点处可导，那么（ A ）.（A） （B） (C) （D） 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 极限的值是 .6. 由确定函数y(x)，则导函数 .7. 直线过点且与两平面都平行，则直线的方程为 .8. 求函数的单调递增区间为 （¥，0）和（1，+¥ ） .三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）9. 计算极限.解：10. 已知：，求。解

15、： ，11. 设在a，b上连续，且，试求出。解：12. 求 解：四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）13. 求 . 14. 求函数 的极值与拐点.解：函数的定义域（¥，+¥） 令得 x 1 = 1, x 2 = -1 x 1 = 1是极大值点，x 2 = -1是极小值点极大值，极小值令得 x 3 = 0, x 4 = , x 5 = -x(-¥,-)(-,0)(0, )(,+¥)+故拐点（-，-），（0，0）（，）15. 求由曲线与所围成的平面图形的面积. 16. 设抛物线上有两点，在弧A B上，求一点使的面积最大.解：六、证明题（本大题4

16、分）17. 设，试证.证明：设，因此在（0，+¥）内递减。在（0，+¥）内，在（0，+¥）内递减，在（0，+¥）内，即亦即当 x>0时， 。高等数学I A一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)18. 函数 的全体连续点的集合是 （ ）(A) (-,+)(B) (-,1) (1,+ )(C) (-,0) (0,+)(D) (-,0) (0,1) (1,+ )19. 设，则常数a,b的值所组成的数组（a,b）为（ ）（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1

17、） （D） （1，-1）20. 设在0，1上二阶可导且，则（ ）（A）(B) (C) （D）21. 则（ ）（A） M < N < P（B） P < N < M（C） P < M < N（D） N < M < P二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1. 设（ ）2. 设则（ ）3. 直线方程，与xoy平面，yoz平面都平行，那么的值各为（ ）4. （ ）三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）1. 计算 2. 设试讨论的可导性，并在可导处求出3. 设函数连续，在x¹0时二阶可导，且其导函数的图形如图所示，给出的极

18、大值点、极小值点以及曲线的拐点。dycbOax四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）1. 求不定积分 2. 计算定积分3. 已知直线,求过直线l1且平行于直线l2的平面方程。4. 过原点的抛物线及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为，确定抛物线方程中的a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）1. 设，其中在区间1,2上二阶可导且有，试证明存在（）使得。2.（1） 求的最大值点；（2） 证明：高等数学I解答一、单项选择题 B D B C.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. .6. .7. .8. .三

19、、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）9. (8分)计算极限 .解：10. (8分)设，试讨论的可导性，并在可导处求出.解：当；当故f (x)在x=0处不可导。11. (8分)设函数在连续，在时二阶可导，且其导函数的图形如图.给出的极大值点、极小值点以及曲线的拐点. dycbOax解：极大值点： 极小值点：拐点四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）12. (9分)求不定积分 .解：原式=13. (9分)计算定积分.解：原式= 14. (9分)已知直线，,求过直线l1且平行于直线l2的平面方程.解： 取直线l1上一点M1(0,0,1) 于是所求平面方程为 15. (9分)过

20、原点的抛物线 及y=0, x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为. 求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.解：由已知得 故 a = 9 抛物线为：绕y轴一周所成的旋转体体积：五 综合题（每小题4分，共8分）16. (4分)设，其中在区间1,2上二阶可导且有. 证明：存在（）使得。证明：由在1，2上二阶可导，故F (x)在1，2二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0在1，2上用罗尔定理，至少有一点使得在1，x0上对用罗尔定理，至少有点17. (4分).解：（1）为的最大值点。，当，；当，。为极大值，也为最大值。（2）高等数学上B（07）试题一、 填空题：（共24

21、分，每小题4分）1，则_。2 已知，=_。3 _。4 过原点的切线方程为_。5已知，则= 。6 ， 时，点是曲线的拐点。二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）1求的导数。2求。3求。4设在点处可导，则为何值？5求极限。6求过点且与两直线和平行的平面方程。三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）1设，求。2求在上的最大值和最小值。3设由方程确定，求。4求由与围成的图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。四、证明题：(共12分，每小题6分)1证明过双曲线任何一点之切线与二个坐标轴所围成的三角形的面积为一常数。2设函数与在闭区间上连续，证明：至少存在一点使得 高等数学上B（07）解答二、 填空题：（共

22、24分，每小题4分）1，则。2 已知，=_1_。3 。4 过原点的切线方程为。5已知，则=。6，时，点是曲线的拐点。二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）1求的导数。解：2求。解：3求。解： 4设在点处可导，则为何值？解： 5求极限。解： = 6求过点且与两直线和平行的平面方程。解：两直线的方向向量分别为，平面的法向量。平面方程为。三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）1设，求。解： 2求在上的最大值和最小值。解： 最大值为，最小值为。3设由方程确定，求。解：方程两边同时对x求导 将代入上式 4求由与围成的图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。解： 四、证明题：(共12分，每小题6分)1证明

23、过双曲线任何一点之切线与二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。证明：双曲线上任何一点的切线方程为 切线与轴、轴的交点为故切线与二个坐标轴所围成的三角形的面积为 2设函数与在闭区间上连续，证明：至少存在一点使得 证明：令 ，由Rolle定理，存在一点，使，即v高等数学上试题（07）一、 单项选择题（每小题4分，共16分）1是 。（A）奇函数； （B）周期函数；（C）有界函数； （D）单调函数2当时，与 是同阶无穷小量。（A）； （B）； （C）； （D）3直线与平面的位置关系是 。（A）直线在平面内；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。4设有三非零向量。若，则 。（A）0； （B）-

24、1； （C）1； （D）3二、 填空题（每小题4分，共16分）1曲线上一点P的切线经过原点，点P的坐标为 。2 。3方程确定隐函数，则 。4曲线、与轴所围图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 。三、 解答下列各题（每小题6分，共30分）1已知，求。2求不定积分。3计算定积分。4求不定积分。5已知，且，求。四、 （8分）设对任意有，且，。求。五、 （8分）证明：当时，。六、 （8分）已知，连续，且当时，与为等价无穷小量。求。七、 （8分）设有曲线和直线。记它们与轴所围图形的面积为，它们与直线所围图形的面积为。问为何值时，可使最小？并求出的最小值。八、 （6分）设在内的点处取得最大值，且。证明：高等

25、数学上解答（07）九、 单项选择题（每小题4分，共16分）1是 A 。（A）奇函数； （B）周期函数；（C）有界函数； （D）单调函数2当时，与 B 是同阶无穷小量。（A）； （B）； （C）； （D）3直线与平面的位置关系是 C 。（A）直线在平面内；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。4设有三非零向量。若，则 A 。（A）0； （B）-1； （C）1； （D）3十、 填空题（每小题4分，共16分）1曲线上一点P的切线经过原点，点P的坐标为。2。3方程确定隐函数，则 0 。4曲线、与轴所围图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为。十一、 解下列各题（每小题6分，共30分）1已知，求。解

26、： 2求不定积分。解: 3计算定积分。 解： 4求不定积分。 解： 5已知，且，求。 解：令， ， 十二、 （8分）设对任意有，且。求。 解：由， 五、（8分）证明：当时，。证明：只需证明。 令 ，在单调递增。 ，当时，。即。六、 （8分）已知，连续，且当时，与为等价无穷小量。求。解： 七、 （8分）设有曲线和直线。记它们与轴所围图形的面积为，它们与直线所围图形的面积为。问为何值时，可使最小？并求出的最小值。解： 令，得。 ，为最小值点。 八、设在内的点处取得最大值，且。证明：证明： 在对应用拉格朗日定理 在对应用拉格朗日定理 高等数学试卷第二学期10T一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中

27、选出一个正确答案，填在题末的括号中）( 本 大 题3分 ) 设f(x,y)是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为 答 ( )二、解答下列各题(本大题共15小题，总计90分)1、(本小题3分)设，求。2、(本小题3分)设函数，求时的全微分。3、(本小题3分)求函数的驻点。4、(本小题3分) 计算二重积分 其中D：0x1,0y2.5、(本小题4分)6、(本小题5分)求微分方程的通解。7、(本小题6分)设由方程所确定，求。8、(本小题7分) 计算，其中光滑曲面围成的的体积为V。9、(本小题7分) 求数量场u(x,y,z)=ln(x2+2y2+3z2)的梯度。10、(本小题7分)求微分方程满足初

28、始条件的解。11、(本小题7分)求的通解。12、(本小题7分) 计算，其中:1x2,1y2,1z2.13、(本小题7分)计算积分 式中L是从点O(0，0)沿曲线y=sinx到点A(，0)的弧段。14、(本小题9分)求曲面在点处的切平面和法线方程 。15、(本小题12分) 是由x=0,y=0,z=0,及z2=cosx·cosy所围z0部分的区域。试计算I=.三、解答下列各题( 本 大 题7分 ) D是由曲线y2=4(x+y)以及x+y=4所围的图形，试求D的面积。 高等数学第二学期10T (答案)一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(

29、本 大 题3分 ) (C). 10二、解答下列各题(本大题共15小题，总计90分)1、(本小题3分)（5分）（10分）2、(本小题3分)（6分）（10分）3、(本小题3分)由6分解得驻点：10分4、(本小题3分) 原式= 5 =2ln2. 105、(本小题4分)6、(本小题5分)特征方程为：特征根为：（5分）通解为：（10分）7、(本小题6分)（8分）（9分）（10分）8、(本小题7分)由高斯公式9、(本小题7分)10、(本小题7分)解一：（3分）（6分）由，得（8分）故所求通解为（10分）解二：原方程化为解得（8分）由初始值求得故原初始值问题的解为（10分）11、(本小题7分)（4分）故方程

30、为全微分方程。由（8分）为所求通解。（10分）12、(本小题7分)13、(本小题7分)14、(本小题9分)对应的切平面法向量 5分切平面方程 或 8分 法线方程 10分15、(本小题12分)三、解答下列各题( 本 大 题7分 )高等数学半期试题一. 一.         (本题6分)利用二重积分求不等式r2cos且r1所表达的区域的面积.二. 二.         (本题6分)设是由z=+及z=1所围的有界闭区域，试将化成球面坐标下的三

31、次积分式。 三. 三.     （本题6分）设z=,求dz四. 四.     （本题6分）求函数u=在点（1，0，-1）处沿方向的方向导数,其中的坐标为(2,1,-1).五. 五.     (本题6分)设,其中具有一阶连续偏导数，且六. 六.     （本题6分）求函数u=在点（1，1，4）处沿曲线在该点切线方向的方向导数。七. 七.     （本题8分）计算二重积分，其中D：八. 八.

32、     （本题8分）求微分方程的一个特解。九. 九.     （本题8分）利用多元函数求极值的方法，求点P（1，2，-1）到直线的距离。十. 十.     （本题8分）计算，其中是由z=及z=1，z=2围成。十一. 十一.            （本题8分）设z=z（x，y），由z+x=确定，求十二. 十二.        &#