矩阵环的单侧理想

1、本科毕业论文（设计、创作）题目：矩阵环的单侧理想学生姓名：冯兆东学号：A00914178 院（系）：数学科学学院专业：数学与应用数学入学时间： 二九年九月导师姓名：葛茂荣职称/学位：副教授导师所在单位：数学科学学院完成时间：二一三 年六月矩阵环的单侧理想摘要本文将证明:若是一个单环,则是单环; 若是一个有单位元的环，则一定是单环,并给出了主理想环上的矩阵环的全部理想的形式以及上三角形矩阵环一类理想的构造方法.讨论了实数域上矩阵环中的单侧理想、伪理想、双边理想,给出了它们的结构和性质。关键词：矩阵环；单环；理想；伪理想;双边理想The oneside ideal of matrix ringAb

2、stractThe paper proved that R is single ring if is single ring, is single ring if R is single ring ,gave all ideal form of matrix ring with chief ideal I and an structural method of all ideal of upper triangular matrix. In this paper, oneside ideal, Pseudo ideals and ideals in matrice ring on real n

3、umber field are discussed, the structure and characters is given.Key words: matrix ring; single ring;ideal;Pseudo ideal; ideal目 录第一章前言11.1 矩阵理论的发展史11.2 引言11.3 矩阵环的定义2第二章矩阵环22.1 单环22.2 单环与有单位元的环的关系4第三章矩阵环的理想形式43.1 主理想环上的矩阵环的理想43.2 n 阶上三角矩阵环的一类理想的构造方法4第四章矩阵环中的单侧理想64.1 单侧理想及伪理想64.2 双边理想8主要参考文献10致谢11第一章

4、 前言1.1 矩阵理论的发展史根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的九章算术一书中已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。1850年，英国数学家西尔维斯特 (SylveSter，1814-1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。1855年，英国数学家凯莱 (Caylag，1821-1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在

5、矩阵论的研究报告中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随阵求逆阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。1878年，德国数学家弗罗伯纽斯 (Frobeniws，1849一1917)在他的论文中引入了矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义,1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念.矩阵的理论发展

6、非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。1.2 引言我们知道，域上的线性空间是定义了加法与乘法运算的一种代数系统。除以上两种运算外，如果还定义了一个乘法运算，并且满足分配律与结合律，称这样的代数系统是一个结合代数，简称是一个代数。实数域上的全阵环 中的理想只有平凡理想. 本文来讨论其中的广义理想. 本文中的一切记号见2,特别是文中反复使用的表示第行第 列的元素为 1, 其余元素为 0 的阶方阵, 左理想和右理想的概念见1 .理想的定义定义1.2.12：非空子集

7、称为代数的一个理想，如果对加法和数乘运算封闭；对，一切形如及的元素的有限和都属于。注：如果把改为一切形如的元素的有限和都属于，称为代数的一个左理想，类似定义的右理想，把左理想（或右理想）称为单侧理想。设是数域，是上矩阵的全体，上定义了三种运算：矩阵加法，数乘矩阵，矩阵乘法，因此，不仅是一个维的线性空间，还是上的一个有限（维）结合代数。本文的目的是刻画出的所有单侧理想。定义1.2.2:环的理想叫做一个极大理想，如果并且对于的每一个理想，或。1.3 矩阵环的定义定义1.3.12：设是环，上一切阶方阵关于矩阵的加法和乘法形成一个环，叫做上的矩阵环，记为。环自身和（记作）显然为的理想。除和以外的其他理

8、想叫做的真理想。一个环可能没有真理想，这样的环叫单环。定义1.3.21: 设是环 ，是的非空子集 。中包含的一切理想的交集仍是的一个理想 ，叫做由生成的理想 ，记为()。由一个元素生成的理想()叫做主理想 。如果一个环的每一个理想都是主理想 ，则称这个环为主理想环。第二章矩阵环2.1 单环对单环的研究我们先提出下列问题：问题1：如果是单环,那么是单环吗？解答：设是单环, 假设有真理想,(), (), () - (),(), 令()()( ),因为,所以 ()( ) .同理可证 ()().所以是的一个理想.又是 的真理想, 所以存在, 但,所以 阶方阵.所以 是的真理想, 这与是单环矛盾, 故

9、是单环.因此得到定理2.1.14若是单环,则是单环。问题2：如果是一个有单位元的单环, 那么一定是单环吗？解答：设 是一个单环且有单位元, 假设 有真理想. 令,符号 表示第 行第 列位置的元素为 1, 其余位置的元素均为 0的方阵.则() ,(),所以- (-),所以 - ., 因为, 其中, ,所以. 同理可证.所以 是的一个理想.由的构造方法及定理2.1.1的证明可知。再证 是的一个真理想. 若 不是的一个真理想, 则,，使,则() =, 于是 . 从而 , 与 是 的真理想矛盾.所以是的一个真理想, 这又与是一个单环矛盾. 故是 一个单环.用符号表示环的全部理想作成的集合, 符号表示

10、的全部理想作成的集合.因此得到 定理2.1.23若是一个有单位元的单环, 则一定是单环。推论 若环有单位元, 是的理想, 则 :A是到的一一映射.证明: 由定理2.1.1 的证明, 易证是单、满射.2.2单环与有单位元的环的关系问题：若是一个有单位元的环, 且中存在非零不可逆元,那么是不是单环?解答：因为, 又是一个有单位元的交换环,易证是的一个真理想.所以不是单环.因此得到 定理2.25 若是一个有单位元的单环, 且中存在非零不可逆元, 则不是单环.推论 设是一个有单位元的单环, 且中存在非零不可逆元, 则不是单环.证明：由定理 2.2,不是单环. 再由定理2.1.1，不是单环。结论：当是一

11、个有单位元的非交换环时, 定理2.2不成立。例如: 域上阶矩阵环 是有单位元的非交换环, 它是一个单环.第三章矩阵环的理想形式3.1主理想环上的矩阵环的理想我们有如下结论7:(1) 有真理想, 且它的全部理想形如:, 其中是的主理想.(2) 是 的极大理想当且仅当是的素元.3.2 n 阶上三角矩阵环的一类理想的构造方法用符号 表示环上的一切阶上三角矩阵对于矩阵的加法、乘法作成的环. 我们要证明不是单环, 并构造它的一类理想.设 , 令.定义:如果, 则称集合具有 性质.问题1：若是无零因子环,是 的一个真理想, 则是否具有 性质 ?解答:若, 不妨设<, 则, 有,因为是 的一个理想,

12、所以 ()( ),所以 ()( ) 的第行第列元素0又 因为无零因子, 所以0.由(1) 式有 0, 所以.所以 ()() 的第行第列元素0, 所以 0,所以, 其中, 即具有性质.因此得到 定理3.2.17若是无零因子环,是 的一个真理想, 则具有性质.问题2：设 , 且含有非零元, 如果具有性质, 且, 则是否 是 的一个真理想?解答：, 有 ,.所以- , 所以 () - ()( - ),(), 令()()(),因为, 而 具有性质,所以, ,所以 , 所以. 因此().同理可证 () ().故是的 的一个理想.又因为取, 则.所以是 的一个真理想.因此得到 定理3.2.27 设 , 且

13、含有非零元, 如果具有 * 性质, 且, 则是 的一个真理想.推论 设是无零因子环, 且, 则作成 的真理想的充要条件是具有性质。定理3.2.1, 定理 3.2.2不仅说明了 的真理想的存在性, 而且给出了它的一类真理想的构造方法.例如：有理数域上的 2 阶上三角矩阵环有如下形式的真理想, , .第四章矩阵环中的单侧理想4.1单侧理想及伪理想首先引入 定理4.1.17设L为 的一个右理想, 则存在中的秩最大的矩阵 , 使得 .证明:设是 的一个右理想, 若或 , 则 或 . 若 , 则中无可逆矩阵, 但有秩> 0 的矩阵, 且中矩阵的秩. 在中取一个秩最大的矩阵( 这样的矩阵有许多, 任

14、取其一即可) , 设秩<, 且对于任意, 有秩. 因为 的右理想, 从而, 下证 .因为秩, 所以存在可逆矩阵、, 使得，故有=,现证.对于任意的 , 由于秩,所以秩,而+=,但,故，从而秩.令，则可由, , 0, 0线性表出. 否则, 不妨设 不能由, , 0, 0线性表出, 则，但秩>, 矛盾. 从而有 , 使得,故，进而.综上所述, . 即 的任意右理想都是主右理想. 证毕.同理可证 的左理想也是主左理想.下面来讨论实数域上的矩阵环 的另一类广义理想的性质. 先给出概念.定义4.17 设为环的一个子环, 若对于任意及任意, 都有 及, 则称为环的一个伪理想.显然, 环的任意理

15、想都是伪理想, 但伪理起却不一定是理想. 若在实数域中, 伪理想一定是理想. 因为对于任意, 存在, 使得, 那么对于任意的, 都有, 从而, 故, 所以 是 的一个理想. 也就是说, 实数域中的理想和伪理想是一回事, 从而只有平凡伪理想.那么在实数域上的全阵环 中情况是怎样的呢? 有下面的结论.定理 4.1.27实数域上的全阵环 中只有平凡的伪理想.证明:设为 的一个伪理想, 以下分三种情况来证明 .时, 因, 由前面的叙述结论成立. 时, 因为存在, 且, 不妨设, 因,从而, 那么- , 即, 由是伪理想得= =, 故, 由此又得 = = , 所以 = = . 进而, 对于任意的 , 必

16、有 =±,故此时仍有.当时, 因为中存在, 所以中至少有一个 0. 当时,; 当时, 取 且, 则; 同理可得, 从而, 所以 , 故. 又因为 , 且, 从而对于任意的 , 有. 那么对于任意的 , 有 =,故. 从而可得综上所述, 中只有平凡伪理想. 证毕.4.2双边理想定义4.27 设是环的一个子环, 若, 且, 都有, 则称是环的一个双边理想.由定义易得, 除环中的双边理想都是平凡的. 当然实数域中的双边理想也都是平凡的. 那么, 实数域上的全阵环 中双边理想的情况如何呢? 首先有下面的结论.定理4.27 中形如的集合都构成 的双边理想.证明:设,将中任一矩阵分块为, 则对于

17、中任意矩阵及, 中任一矩阵, 都有=,从而是 的双边理想. 证毕.同理可证: 形如及的集合也构成 的双边理想.主要参考文献1 熊全淹. 近世代数. 武汉:武汉大学出版社, 1995. 961282 Sen M K. On Pseudo Ideals of Rings. Nonta Math,1976,5(2):1581603 刘绍学.环与代数M 1 北京:科学出版社,1983，3:1-74 刘太琳.中的子代数J.山东科学，2003,16（3）：9-115 姚志平.矩阵代数的无赘幂零生成元素J.河南师范大学学报，1995,23（3）：26-286 李立彬，魏俊潮.矩阵代数的stochastic矩阵子