江苏高考解析几何压轴题30题

1、精品文档-1.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆的离心222210 xyabab率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.221求椭圆的标准方程；2过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，假设 PC=2AB，求直线 AB 的方程.解：1由题意得，且，解得 那么，22ca23acc2,1,ac1b 所以椭圆的标准方程为2212xy2当轴时，又，不合题意ABx2AB 3CP 当与轴不垂直时，设直线的方程为，ABxAB1yk x11,x yA22,xy将的方程代入椭圆方程，得，AB2222124210kxk xk那么，的坐标

2、为，且221,2222 112kkxkC2222,1212kkkk2222221212122 2 1112kABxxyykxxk假设，那么线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意0k ABy从而，故直线的方程为，0k PC222121212kkyxkkk 那么点的坐标为，从而P22522,12kkk2222 31112kkPCkk因为，所以，解得2PCAB222222 3114 2 11212kkkkkk1k 此时直线方程为或AB1yx1yx 2.椭圆的离心率为，一个交点到相应的准线的距离为 3，圆 N 的方程为2222:1(0)xyMabab12为半焦距直线与椭圆 M 和圆 N 均只有一

3、个公共点，分别设为2222()(xcyac c:(0)l ykxm kA、B.1求椭圆方程和直线方程；BAOxylPC精品文档-2试在圆 N 上求一点 P，使。2 2PBPA3.如图，椭圆 O：y21 的右焦点为 F，点 B，C 分别是椭圆 Ox24精品文档-的上、下顶点，点 P 是直线 l：y2 上的一个动点与 y 轴交点除外 ，直线 PC 交椭圆于另一点 M1当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，求FBM 的面积； 2记直线 BM，BP 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值；求的取值范围PB PM 解：1由题意，焦点，当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，那么直线 PM 的方程为

4、(0,1),(0, 1)BC( 3,0)F，113xy即， 联立，解得或舍 ，即 2 分313yx221,431,3xyyx8 3,71,7xy0,1xy 8 3 1(, )77M连 BF，那么直线 BF：，即，而， 113xy330 xy2BFa228 312 3|33|3777271( 3)d4 分故 5 分113322277MBFSBF d 2解法一：设，且，那么直线 PM 的斜率为，( , 2)P m 0m 1( 2)10kmm 那么直线 PM 的方程为，联立化简得，解得11yxm 2211,1,4yxmxy 2248(1)0 xxmm，8 分22284(,)44mmMmm 所以， 所

5、以为定值 22212412148844mmmkmmmm21( 2)30kmm 123 1344kkmm 10 分 由知，(,3)PBm 2322222841212(,2)(,)4444mmmm mPMmmmmm 所以， 13 分324222212121536(,3) (,)444mm mmmPB PMmmmm 令，故，244mt 22(4)15(4)367887ttttPB PMtttt 因在上单调递增，故，即的取值范围87ytt (4,)t8874794PB PMtt PB PM 为16 分(9,)解法二：设点，那么直线 PM 的方程为，令，得. 000(,)0M xyx 0011yyxx2

6、y 00(, 2)1xPy7 分所以，所以0101ykx0200031211ykxxy 定值.10 分220000122200003131311344 1yyyyk kxxxy 精品文档-由知，00(,3)1xPBy 0000(,2)1xPMxyy 所以20000000200023212311xyxxPB PMxyyyyy =13 分 第 4 题图 2000002004 12723211yyyyyyy令，那么，因为在上单调递减，010,2ty 8187ttPB PMttt 87ytt (0,2)t所以，即的取值范围为 16 分8872792PB PMtt PB PM (9,)4.如图，椭圆的左

7、、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满12222byax0ba1F2FPM1PF足 ，为坐标原点.MPMF1RMFPO2O1假设椭圆方程为，且，求点的横坐标；2假设，求椭圆离心率14822yx），（22PM2的取值范围.e解：122184xy12( 2,0),(2,0)FF2122,2,24OPF MF Mkkk 直线的方程为：，直线的方程为：4 分2F M2(2)yx 1FM2(2)4yx由解得：点的横坐标为6 分2(2)2(2)4yxyx 65x M652设00(,),(,)MMP xyM xy12FMMPuuuu ruuu rQ1002(,)(,)3MMFMxc yxc y0020021

8、2242(,),(,)333333MxcyF Mxcy ，即9 分2POF M00(,)OPxy 2000242()0333xc xy220002xycx联立方程得：，消去得：，解得：或 2200022002221xycxxyab0y222222002()0c xa cxaac0()a acxc12 分0()a acxc 解得：，综上，椭圆离心率 的取值范围0axa 0()(0, )a acxac20aacac 12e e为15 分1( ,1)25.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率xoyC)0( 12222babyax，左顶点为，过点作斜率为的直线 交椭圆于点21e)0 , 4(AA)

9、0( kklC，交轴于点.1求椭圆的方程;2为的中点，是否存在DyECPAD定点，对于任意的都有，假设存在，求出点的坐标；Q)0( kkEQOP Q假设不存在说明理由;3假设过点作直线 的平行线交椭圆于点，OlCMPDMAOxyE精品文档-求的最小值.OMAEAD 解：1因为左顶点为，所以，又，所以.2 分( 4 0)A ，4a 12e 2c 又因为，所以椭圆 C 的标准方程为. 4 分22212bac2211612xy2直线 的方程为，由消元得，.l(4)yk x2211612(4),xyyk x，22 (4)11612xk x 化简得，所以，. 6 分22(4)(43)1612)0 xkx

10、k14x 222161243kxk当时，22161243kxk222161224(4)4343kkykkk所以.因为点为的中点，所以的坐标为，那么222161224,4343()DkkkkPADP2221612,43 43()kkkk.8 分3(0)4OPkkk直线 的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得l(4)yk x0 x E(0,4 )k( , )(0)Q m n m ，OPEQ那么，即恒成立，所以恒成立，所以即1OPEQkk 3414nkkm (412)30mkn412030mn，30mn ，因此定点的坐标为.10 分Q( 3,0)3因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，OM

11、lOMykx2211612xyykx，M24 343xk 12 分由，得14 分OMl2DAEADAMMxxxxxxADAEOMxx222221612149434 3343483kkkkk，当且仅当即时取等号，2216)2(243343kk 2264343kk32k 所以当时，的最小值为16 分32k ADAEOM2 26.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆(ab0)的两焦点分别为 F1(，0)，F2(，0)，22221xyab33且经过点(，) 1求椭圆的方程及离心率；3122设点 B，C，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 B 与点 D 关于原点 O 对称设yxOF1F2BC第 1

12、7 题D精品文档-直线 CD，CB，OB，OC 的斜率分别为 k1，k2，k3，k4，且 k1k2k3k4求 k1k2的值；求OB2+OC2的值解：1方法一：依题意，c，a2b2+3，2 分3由，解得 b21(b2，不合，舍去)，从而 a24故所求椭圆方程为：离心率2213413bb342214xye5 分32方法二由椭圆的定义知，2a4， 即 a2又因 c，故222211(33)(0)( 33)(0)223b21下略2设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，那么 D(x1，y1)，于是 k1k221212121yyyyxxxx12222221yyxx8 分22212221(1)(1)44xx

13、xx14方法一由知，k3k4k1k2，故 x1x214124y y所以，(x1x2)2(4y1y2)2，即(x1x2)2，所以，221216(1)(1)44xx22221212164()xxx x411 分2212xx又 2，故所以，22221212()()44xxyy222212124xxyy22121yyOB2+OC2514 分22221122xyxy方法二由知，k3k4k1k2将直线 yk3x 方程代入椭圆中，142214xy得9 分2123414xk同理，所以，4 11 分下同方法2224414xk22122234441414xxkk22334411414()4kk一7.如图，椭圆其率

14、心率为两条准线之间的距离为分别为椭圆的上、),0( 1:2222 babyaxM,23CB,338M下顶点，过点的直线分别与椭圆交于两点.)0)(2 ,( ttTTCTB,MFE,1椭圆的标准方程；2假设的面积是的面积的倍，求的最大值.MTBCTEFkk解：1由题意，解得，所以，椭圆方程23 28 3,23caac2,3ac1b 为4 分2214xy2解法一： ，6 分12TBCSBC tt直线方程为：，联立，得，所以到的距TB11yxt221411xyyxt284Etxt22284,44ttEtt:TC30 xtyt 离精品文档-，直线方程为：，联立，得8 分2222222424442129

15、94t tttttt tdtttTC31yxt221431xyyxt22436Ftxt所以，所以2222436,3636ttFttTF22222243623636ttttt，10 分 22222222222222212336129129363636tttttttttt所以，22222222221292121211223636494TEFttt tt tSTF dttttt所以，令，那么BCTEFttSkSt21212tm22(8)(24)16192413mmkmmm 分当且仅当，即时，取“， 所以的最大值为16 分24m 2 3t k43解法二：直线方程为，联立，得，

16、6 分TB11yxt221411xyyxt284Etxt直线方程为：，联立，得，8 分TC31yxt221431xyyxt22436Ftxt10 分1sin21sin2TBCTEFTB TCBTCSTB TCkSTE TFTE TFETFTCTBTETFxxxxTB TCTE TFxxxx，12 分2222224368241212436tttttttttttt令，那么，14 分21212tm22(8)(24)16192413mmkmmm 当且仅当，即时，取“，所以的最大值为16 分24m 2 3t k438.如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线 与轴交于点，与xoy2222:1(0)

17、xyCabab63lxE椭圆交于、两点.当直线 垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为.CABlxECAB2 631求椭圆的方程；2假设点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原CE3(,0)2A3A点的直线交椭圆于另一点，求的面积；3是否存在点，使得为定值？假设存OCPPABE2211EAEB在，请指出点的坐标，E并求出该定值；假设不存在，请说明理由.解：1由，设，那么，63ca3 (0)ak k6ck223bkyxBPAOEF1F2第 18 题精品文档-所以椭圆的方程为，因直线 垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，C2222193xykklxEC6ABxxk代入椭圆方程，解得，于是，即，所

18、以椭圆的方程yk 2 623k 63k C为5 分22162xy2将代入，解得，因点在第一象限，从而，3x 22162xy1y A( 3,1)A由点的坐标为，所以，直线的方程为，E3(,0)223ABkPA23()23yx联立直线与椭圆的方程，解得，PAC37(,)55B 又过原点，于是，所以直线的方程为，PAO(3, 1)P 4PA PA30 xy所以点到直线的距离，10 分BPA37 3553 325h13 36 34255PABS 3假设存在点，使得为定值，设，E2211EAEB0(,0)E x当直线与轴重合时，有，ABx202222220001221111(6)(6)( 6)xEAEB

19、xxx当直线与轴垂直时，由，解得，ABx222200112662(1)6xEAEBx20222001226(6)6xxx03x ，所以假设存在点，此时，为定值 2. 12 分20626xE(3,0)E 2211EAEB根据对称性，只需考虑直线过点，设，又设直线的方程为AB( 3,0)E11( ,)A x y22(,)B xyAB，与椭圆联立方程组，化简得，所以，3xmyC22(3)2 330mymy1222 33myym，12233y ym又，22222222111111111(1)(3)EAm yymyxy所以，212122222222221212()21111(1)(1)(1)yyy yE

20、AEBmymymy y将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值22112EAEB(3,0)E 2211EAEB216 分9.如图，在平面直角坐标系中，椭圆 E：的离心率为，xOy22221(0)xyabab22直线 l：与椭圆 E 相交于 A，B 两点，C，D 是椭圆 E 上异于 A，B 两点，12yx2 5AB 且直线 AC，BD 相交于点 M，直线 AD，BC 相交于点 N.1求的值；2求证：直线 MN 的斜率为定值., a b解：1因为 e ，所以 c2 a2，即 a2b2 a2，所以 a22b2 2 分ca221212xyAOBCDMN(第 18 题图)精品文档-故椭圆方

21、程为1由题意，不妨设点 A 在第一象限，点 B 在第三象限 x22b2 y2b2由解得 A(b，b)又 AB2，所以 OA，即b2 b25，解得y 12x， x22b2 y2b21，) 233 33554313b23故 a，b5 分 6 32方法一：由1知，椭圆 E 的方程为1，从而 A(2，1)，B(2，1) x26 y23当 CA，CB，DA，DB 斜率都存在时，设直线 CA，DA 的斜率分别为 k1，k2，C(x0，y0)，显然k1k2从而 k1kCB 所以 y01x02 y01x02 y021x024 3(1sdo1(f(x02,6)1x024 2 x022x02412kCB 8 分

22、12k1同理 kDB于是直线 AD 的方程为 y1k2(x2)，直线 BC 的方程为 12k2y1(x2) 12k1由解得从而点 N 的坐标为(，) y1 12k1(x2)，y1k2(x2)，) 4k1k24k122k1k21 2k1k24k212k1k21用 k2代 k1，k1代 k2得点 M 的坐标为(，) 11 分 4k1k24k222k1k21 2k1k24k112k1k21所以 kMN1即直线 MN 的斜率为定值1 14 分 4(k1k2)4(k2k1)当 CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线 CA 的斜率不存在，从而

23、 C(2，1)精品文档-仍然设 DA 的斜率为 k2，由知 kDB此时 CA：x2，DB：y1(x2)，它们交 12k2 12k2点 M(2，1)2k2BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点 N(2，1)，从而 kMN1 也成立2k2由可知，直线 MN 的斜率为定值1 16 分方法二：由1知，椭圆 E 的方程为1，从而 A(2，1)，B(2，1) x26 y23当 CA，CB，DA，DB 斜率都存在时，设直线 CA，DA 的斜率分别为 k1，k2显然 k1k2直线 AC 的方程 y1k1(x2)，即 yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0y

24、k1x(12k1)， x26 y231)设点 C 的坐标为(x1，y1)，那么 2x1，从而 x1 2(4k124k12)12k12 4k124k122k121所以 C(，)又 B(2，1)，所以 4k124k122k121 2k124k112k121kBC 8 分 2k124k112k1211 4k124k122k1212 12k1所以直线 BC 的方程为 y1(x2)又直线 AD 的方程为 y1k2(x2) 12k1由解得从而点 N 的坐标为(，) y1 12k1(x2)，y1k2(x2)，) 4k1k24k122k1k21 2k1k24k212k1k21用 k2代 k1，k1代 k2得点

25、 M 的坐标为(，) 11 分 4k1k24k222k1k21 2k1k24k112k1k21所以 kMN1即直线 MN 的斜率为定值1 14 分 4(k1k2)4(k2k1)精品文档-当 CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线 CA 的斜率不存在，从而 C(2，1)仍然设 DA 的斜率为 k2，那么由知 kDB此时 CA：x2，DB：y1(x2)，它 12k2 12k2们交点 M(2，1)2k2BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点 N(2，1)，从而 kMN1 也成立2k2由可知，直线 MN 的斜率为定值1 16 分10

26、.在平面直角坐标系中，椭圆 C：，的离心率为，且经过点，过椭圆的xOy22221(0)xyabab226(1,)2左顶点 A 作直线 lx 轴，点 M 为直线 l 上的动点点 M 与点 A 在不重合 ，点 B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆 C 于点 P1求椭圆 C 的方程；2求证：APOM；3 试问是否为定值？假设是定值，请求出该定值；假设不是，请说明理由OP OM 精品文档-11.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆xOy:E22221(0)xyababAx交于、两点，过、两点且分别与直线、AC垂直的直线相交于点椭EBCBCABD圆的离心率为，右焦点到右准线的距离

27、为 1求椭圆的标准方程；E534 55E2证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；3求面积的最DBCD大值解：1由题意得，解得，所以，53ca24 55acc3,5ac224bac所以椭圆的标准方程为4 分E22194xy（2）设，显然直线的斜率都存在，设为，0000(,),(,)B xyCxy,AB AC BD CD1234,k k k k 那么，001200,33yykkxx00340033,xxkkyy 所以直线的方程为：，,BD CD0000000033(),()xxyxxyyxxyyy 消去得，化简得，故点在定直线上运动10 分y0000000033()()xxxxyxxyyy

28、3x D3x （3）由2得点的纵坐标为，又，所以，D2000000039(3)Dxxyxyyyy2200194xy2200994yx 那么，所以点到直线的距离为2000000009354(3)4Dyxyxyyyyy DBCh，00005944Dyyyyy 将代入得，所以面积0yy22194xy203 14yx BCD2001196 12244ABCySBC hy，当且仅当，即时等号成立，220020012712727441242224yyyy2200144yy02y xyDCOBA精品文档-故时，面积的最大值为 16 分02y BCD27412.如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点

29、，顶点的坐标xOy12,F F22221(0)xyababB为，且是边长为的等边三角形.求椭圆的方程；0,b12BFF2 1过右焦点的直线 与椭圆交于两点，记，的面积分别为.假设，求直线 22Fl,A C2ABF2BCF12,S S122SS的斜率.l13.在平面直角坐标系 xOy 中，点 ，C， D 分别为线段( 3,4), (9,0)ABOA， OB 上的动点，且满足 AC=BD.1假设 AC=4，求直线 CD 的方程;精品文档-2证明：OCD 的外接圆恒过定点(异于原点 O).解析：(1) 因为( 3,4)A ，所以22( 3)45OA ，1 分又因为4AC ，所以1OC ，所以3 4(

30、, )5 5C ，由4BD ，得(5,0)D， 4 分所以直线的斜率，所以直线的方程为，即6 分CD40153755 CD1(5)7yx 750 xy2)设( 3 ,4 )(01)Cmmm，那么5OCm7 分那么55ACOAOCm，因为ACBD，所以5 +4ODOBBDm，所以D点的坐标为(5 +4,0)m8 分又设OCD的外接圆的方程为22+0 xyDx EyF，那么有10 分2220,916340,54540.FmmmDmEFmmDF解得(54),0DmF ,103Em ,所以OCD的外接圆的方程为22(54)(103)0 xymxmy，12 分整理得，令2243 =0,+2 =0 xyx

31、yxy，所以0,0.xy舍或2,1.xy 22435 (2 )0 xyxym xy所以OCD的外接圆恒过定点为(2, 1)14 分14.如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆xOy22:C的左顶点为，过原点的直线与坐标轴不重合与椭22221(0)xyababAO圆交于两点，直线分别与轴交于两点假设直线斜率C,P Q,PA QAy,M NPQ为时，222 3PQ 1求椭圆的标准方程；C2试问以为直径的圆是否经过定点与直线的斜率无关？请证明MNPQ你的结论解：1设，直线斜率为时，002(,)2P xxPQ22，分2 3PQ 22002()32xx202x，椭圆的标准方程为 分22211ab222

32、2cabeaa224,2abC22142xy以为直径的圆过定点设，那么，且，即，MN(2,0)F 00(,)P xy00(,)Qxy2200142xy220024xy，直线方程为： ， ，( 2,0)A PA00(2)2yyxx002(0,)2yMx 直线方程为： ， 分QA00(2)2yyxx002(0,)2yNx NMQAOPxy精品文档-xyOABCDF第 18 题E以为直径的圆为，即， 12 分MN000022(0)(0)()()022yyxxyyxx222000220044044x yyxyyxx，令，解得，220042xy 2200220 xxyyy0y 2220 xy2x 以为直

33、径的圆过定点16 分MN(2,0)F 15.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)yxabab的右焦点为(1 0)F ，离心率为22分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E异于A，C两点 ，且OEEF1求椭圆的方程；2求证：直线AC，BD的斜率之和为定值解1由题意，得1c ，22cea，故2a ， 从而2221bac， 所以椭圆的方程为2212xy5 分 2证明：设直线AB的方程为ykx， 直线CD的方程为(1)yk x ， 7 分 由得，点A，B的横坐标为2221k， 由得，点C，D的横坐标为22222(1)21kkk， 9 分记11( )A x kx，22( )B xkx，3

34、3( (1)C xkx，44( (1)D xkx，那么直线AC，BD的斜率之和为13241324(1)(1)kxkxkxkxxxxx132413241324(1)()()(1)()()xxxxxxxxkxxxx1234123413242()()()()()x xx xxxxxkxxxx13分2222213242(1)2420212121()()kkkkkkxxxx016 分16.椭圆C的右焦点为F，右准线为l，离心率为32，点A在椭圆上，以F为圆心，FA为半径的圆与l的两个公共点是,B D1假设FBD是边长为的等边三角形，求圆的方程；22假设,A F B三点在同一条直线上，且原点到直线的距离为

35、2，求椭mm圆方程解：设椭圆的半长轴是a，半短轴是b，半焦距离是c，由椭圆C的离心率为32，可得椭圆C方程是222214xybb ，2 分只要是一个字母，其它形式同样得分， 焦点( 3 ,0)Fb，准线43bx ，设点00(,)A xy，1FBD是边长为的等边三角形，那么圆半径为，且F到直线l的距离是，223又F到直线l的距离是223abbFMccc， 所以，所以33b3b 3 3c 精品文档-所以，圆的方程是。 6 分22(3 3)4xy2因为,A F B三点共线，且F是圆心，所以F是线段AB中点，由B点横坐标是43b得，204222 33333axcbbbc，8 分再由22002214xy

36、bb 得：222200243xybb，063yb，所以直线m斜率0063233bykxcb 10分直线m：2()yxc ，220 xyc12 分原点O到直线m的距离23cd ，依题意223c，6c ，所以2b ，所以椭圆的方程是22182xy 15 分17.如图，在平面直角坐标系中，椭圆 C：的左焦点xOy22221xyab0ab为，右顶点为 A，动点 M 为右准线上一点异于右准线与轴的交点 ，设Fx线段交椭圆 C 于点 P，椭圆 C 的离心率为，点 M 的横坐标为 1求FM2392椭圆 C 的标准方程；2设直线 PA 的斜率为，直线 MA 的斜率为，求的取值范围1k2k12kk解：1由，得，

37、22,39,2caacM A P FOx y 精品文档-18.椭圆 E：22221(a0)xybab+=过点(0,2） ，且离心率为22(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线1xmymR=-，()交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G9(4-, 0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由解法一：()由得2222,2,2,bcaabc=+解得222abc=所以椭圆 E 的方程为22142xy+=故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my(m +1)y042162(m2)m21616(m2)mmy+-=+=-+=+所以|AB|GH|2，故 G9(4-

38、, 0)在以 AB 为直径的圆外解法二：()同解法一.()设点1122(y ),B(,y ),A xx，那么112299GA(,),GB(,).44xyxy=+=+ 由22221(m2)y230,142xmymyxy=-+-=+=得所以12122223y +y =,y y =m2m2m+，精品文档-121212129955GA GB()()(my)(my)4444xxy yy y=+=+ 22212122252553(m +1)25(m +1)y(y )4162(m2)m216mym y=+=-+22172016(m2)m +=+所以cos GA,GB0,GAGB 又，不共线，所以AGB为锐角

39、故点 G9(4-, 0)在以 AB 为直径的圆外19.如图，圆 O 与离心率为的椭圆 T：相切于点 M。2312222byax0 ba) 1 , 0(求椭圆 T 与圆 O 的方程；过点 M 引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D均不重合.1l2lP 为椭圆上任一点，记点 P 到两直线的距离分别为、，求的最大值；1d2d2221dd假设，求与的方程.MDMBMCMA431l2l解: (1)由题意知:解得可知:222, 1,23abcbac3, 1, 2cba椭圆的方程为与圆的方程4 分C1422 yxO122 yx(2)设因为,那么),(00yxP1l2l2020222

40、21) 1(yxPMdd因为 所以142020 yx,7 分316)31(3) 1(442020202221yyydd因为 所以当时取得最大值为，此时点9 分110y310y2221dd316)31,324(P(3)设的方程为,由解得；由解：1l1 kxy1122yxkxy)11,12(222kkkkA14122yxkxy11)4141,148(222kkkkC把中的置换成可得，12 分CA,kk1)11,12(222kkkkB)44,48(222kkkkD所以，)12,12(222kkkkMA)418,148(222kkkkMC)12,12(22kkkMB)48,48(22kkkMD由得解得

41、15 分34MA MCMB MD 44413222kkk2k所以 的方程为，的方程为1l12 xy2l122xy或 的方程为，的方程为16 分1l12 xy2l122xy20.圆过点,且与圆:关于直线对称.C) 1 , 1 (PM222(2)(2)(0)xyrr20 xy(1)求圆的方程；(2)设为圆上的一个动点,求的最小值；CQCPQ MQ (3)过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断PCBA,PAPBO直线和是否平行?请说明理由.OPAB精品文档-解:(1)设圆心,那么,解得 (3 分)C( , )a b222022212abba00ab那么圆的方程

42、为,将点的坐标代入得,故圆的方程为(5 分)C222xyrP22r C222xy(2)设,那么,且 (7 分)( , )Q x y222xy(1,1) (2,2)PQ MQxyxy =,所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)(10 分)224xyxy2xyPQ MQ 4(3)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,PAPB:1(1)PA yk x ,由,得 (11 分):1(1)PB yk x 221(1)2yk xxy 222(1)2 (1)(1)20kxkk xk 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 (13 分)P1x 22211Akkxk 同理,所以=22211

43、Bkkxk(1)(1)2()1BABABAABBABABAyyk xk xkk xxkxxxxxxOPk 所以,直线和一定平行(16 分)ABOP21.圆的方程为，直线 的方程为，点在直线 上，过点作圆的切线，M22(2)1xyl20 xyPlPM,PA PB切点为 1假设，试求点的坐标；,A B60APBP2假设点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；P(2,1)PM,C D2CD CD3求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标., ,A P M解：1设，由题可知，所以，解之得：(2 ,)Pm m2MP 22(2 )(2)4mm40,5mm故所求点的坐标为或P(0,0)

44、P8 4( , )5 5P2设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以CD1(2)yk x kMCD22，221221kk解得，或，故所求直线的方程为：或1k 17k CD30 xy790 xy3设，的中点，因为是圆的切线(2 ,)Pm mMP( ,1)2mQ mPAM所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：, ,A P MQMQ2222()(1)(1)22mmxmym化简得：，此式是关于的恒等式，222(2)0 xyym xym故解得或所以经过三点的圆必过定点或.2220,20,xyyxy02xy1,1.xy, ,A P M(0,2)(1,1)22.椭圆 E：的

45、离心率为，它的上顶点为 A，左、右焦点分别为，直线22221(0)xyabab3312,F FAF1，AF2分别交椭圆于点 B，C 1求证:直线 BO 平分线段 AC；2设点 Pm，n m，n 为常数在直线 BO 上且在椭圆外，过 P 的动直线 l 与椭圆交于两个不同点 M，N，在线段 MN 上取点 Q，满足，试证明点 Q 恒在一定直线上MPMQPNQN精品文档-解:1由题意，那么，故椭圆方程为，32ca3ac22222bacc2222132xycc即，其中，2222360 xyc(0, 2 )Ac1(,0)Fc直线的斜率为，此时直线的方程为，1AF21AF2()yxc联立得，解得舍和，即，2

46、222360,2(),xycyxc2230 xcx10 x 232xc 32(,)22Bcc由对称性知直线 BO 的方程为，线段 AC 的中点坐标为，32(,)22Ccc23yx32(,)44ccAC 的中点坐标满足直线 BO 的方程，即直线 BO 平分线段 AC32(,)44cc2设过 P 的直线 l 与椭圆交于两个不同点的坐标为，点，1122( ,),(,)M x yN xy( , )Q x y那么，设，那么，22211236xyc22222236xycMPMQPNQNMPMQPNQN,APPB AQQB 求得，1212,11xxxxmx1212,11yyyyny222222121222,

47、11xxyymxny，2222222222221212112222223323(23)23611xxyyxyxymxnyc由于 m，n，C 为常数，所以点 Q 恒在直线上22360mxnyc23.椭圆 C：两个焦点为，点 P 在椭圆 C 上，且,，)0( 12222babyax12,F F211FFPF 211PF.3221FF(1)求椭圆 C 的方程.(2)以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC，这样的直角三角形是否存在？假设存在，请说明有几个;假设不存在，请说明理由.解：(1)，又，3221FF3c211FFPF ,27,44922212122PFFFPFPF,

48、所求椭圆 C 的方程为.1, 2, 4222221cabaPFPFa则1422 yx(2)假设能构成等腰直角三角形 ABC，其中，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于) 1 , 0(BBCBA,轴，故可设边所在直线的方程为，,那么边所在直线的方程为.xBA1 kxy)0(k不妨设BC11-xky由得,故，221,44,ykxxy12280()14kxxk 舍，) 1418,418(222kkkkA用代替上式中的，得,4118)418()418(2222222kkkkkkkABk1-k22418kkBC由即即得,BCAB ,41)422kkk（324410,kkk 2(1)(31)0,kkk故存

49、在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.,2531, 0kkk或解得精品文档-24.椭圆：经过与两点，过原点的直线 与椭圆交于、两C12222byax0 ba) 1,1 (23,26lCAB点，椭圆上一点满足CM|MBMA 1求椭圆的方程；2求证：为定值C222|2|1|1OMOBOA解：1将与代入椭圆的方程，得，2 分) 1,1 (23,26C143231112222baba解得，所以椭圆的方程为6 分32a232bC132322yx2由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、关于原点对称|MBMA MABAB假设点、在椭圆的短轴顶点上，那么点在椭圆的长轴顶点上，此时ABM1 分2112

50、211|2|1|122222222baabbOMOBOA同理，假设点、在椭圆的长轴顶点上，那么点在椭圆的短轴顶点上，此时ABM2 分2112211|2|1|122222222babaaOMOBOA假设点、不是椭圆的顶点，设直线 的方程为 ，ABMlkxy 0k那么直线的方程为设，OMxky1),(11yxA),(22yxM由，解得，4 分132322yxkxy221213kx2221213kky所以，同理可得，2221212221)1 (3|kkyxOBOA2222)1 (3|kkOM所以7 分2)1 (3)2(2)1 (321)1 (321|2|1|1222222222kkkkkkOMOBO

51、A综上，为定值8 分222|2|1|1OMOBOA225.左焦点为 F(1，0)的椭圆过点 E(1，)过点 P(1，1)分别作斜率为 k1，k2的椭圆的动弦2 33AB，CD，设 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点1求椭圆的标准方程；2假设 P 为线段 AB 的中点，求 k1；3假设 k1+k2=1，求证直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标解：依题设 c=1，且右焦点(1，0)F所以，2a=，b2=a2c2=2，故所求的椭圆的标准方程EFEF222 32 3(1 1)2 333为4 分22132yx(2)设 A(，)，B(，)，那么，1x1y2x2y2211132xy2222132xyOA

52、BMxyOABMxy精品文档-，得 所以，k1=9 分21212121()()()()032xxxxyyyy212121212()423()63PPyyxxxxxyyy (3)依题设，k1k2设 M(,)，直线 AB 的方程为 y1=k1(x1)，即 y=k1x+(1k1)，亦即MxMyy=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得于是，11 分2221122(23)6360kxk k xk1221323Mk kxk221223Mkyk同理，1222323Nk kxk122223Nkyk当 k1k20 时，直线 MN 的斜率 k=13 分MNMNyyxx222211212146()9()kk kkk

53、k kk21211069k kk k直线 MN 的方程为，即 ，2211222211121063()92323kk kk kyxk kkk21211222221211110610632()992323k kk kk kkyxk kk kkk亦即 此时直线过定点15 分2121106293k kyxk k2(0,)3当 k1k2=0 时，直线 MN 即为 y 轴，此时亦过点综上，直线 MN 恒过定点，且坐标2(0,)3为16 分2(0,)326.椭圆的中心在原点，长轴在 x 轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. O(2,0)A23不过 A 点的动直线交椭圆于 P,Q 两点12yx

54、mO1求椭圆的标准方程；2证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值；3过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C，动圆 C 过不同于 A 的定点，请求出该定点坐标.解：1设椭圆的标准方程为.由题意得.2 分012222babyax23, 2ea, , 2 分 椭圆的标准方程为.4 分3c1b 1422 yx2证明：设点将带入椭圆，化简得：),(),(2211yxQyxPmxy210) 1(2222mmxx1,6 分 , 212122 ,2(1)xxmx xm 222121212()24xxxxx xP,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.7 分3(法一)设圆的一般方程为:,那么圆心为,220 xyDx

55、EyF,22DEPQ 中点 M(), PQ 的垂直平分线的方程为:, 8 分2,mmmxy232 圆心满足，所以,9 分2,2EDmxy232 322EDm2圆过定点(2,0)，所以,10 分420DF3圆过, 那么 两式相加得：1122(,),(,)P xyQ xy2211112222220,0,xyDxEyFxyDxEyF精品文档-O1C2Cxy. .22221212121220,xxyyDxDxEyEyF,11 分222212121212(1)(1)()()2044xxxxD xxE yyF, .12 分12yym5220mDmEF4因为动直线与椭圆 C 交与 P,Q均不与 A 点重合所

56、以，12yxm1m由解得:13 分2343(1)3335,42222mDEmFm 代入圆的方程为：,223(1)3335()042222mxyxmym整理得：,14 分22335333()()0422422xyxymxy所以：15 分解得：或(舍). 223350,4223330,422xyxyxy0,1,xy2,0 xy所以圆过定点(0,1).16 分(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:220 xyDxEyFmxy21.8 分024522FmEmxEDmx5方程与方程为同解方程., 11 分1522122(1)542EmmEFmDmm圆过定点(2,0)，所以 , 12 分024F

57、D因为动直线与椭圆 C 交与 P,Q均不与 A 点重合所以.mxy211m解得: ,13 分 (以下一样)3(1)3335,42222mDEmFm 27.如图，在平面直角坐标系中，圆，圆xOy1) 1( :221yxC. 1)4()3( :222yxC（1）假设过点的直线 被圆截得的弦长为，求直线 的方程；)0 , 1(1Cl2C56l（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长.证明：动圆圆心在一条定直C1C2CC线上运动；动圆是否经过定点？假设经过，求出定点的坐标；假设不经过，请C说明理由.解：思路一：设圆： ，C220 xyDxEyF2240DEF易得圆：， 圆：，1C2220 xyx2C22

58、68240 xyxy 由得，将代入得，(2)0DxEyF1( 1 0)C ，2FD 由得，将代入得， (6)(8)240DxEyF2(3 4)C，6ED 代入得，整理得， 22(6)20 xyDxDyD22(1)620 xyDxyy 由得或 所以定点的坐标为，2210 620 xyxyy ，31223 222xy ，31223 222xy ，3312 2222，3312 2222，精品文档-OxyABl思路二几何方法：利用定点 M 在直线 C1C2上，C1C2的中点为 N，动圆圆心 C 满足 CC12+12=r2= CN2+CM2，那么 CM2= CN2CC12+1= C1N2+1=9，进而得

59、出结论28.如图，在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C：，点22(1)16xyF1，0 ，E 是圆 C 上的一个动点，EF 的垂直平分线 PQ 与 CE 交于点B，与 EF 交于点 D。求点 B 的轨迹方程；当 D 位于轴的正半轴上时，求直线 PQ 的方程；假设 G 是圆上的另一个动点，且满足 FGFE。记线段 EG 的中点为 M，试判断线段 OM 的长度是否为定值？假设是，求出该定值;假设不是，说明理由。解：(1)由，所以，所以点的轨迹是以BFBE4BCBFBCBECEB，为焦点，长轴为 4 的椭圆，所以点的轨迹方程为；CFB22143xy4 分当点位于轴的正半轴上时，因为是线段的中点，为线段的中点，DyDEFOCF所以，且，所以的坐标分别为和，7 分CEOD2CEO