初中数学动点问题专题讲解

1、中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自 主探究能力，促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解

2、图形在不同位置的情况， 才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解 决数学 动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等研究历年 来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好

3、的培养学生解题素养，在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向. 本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点.专题一：建立动点问题的函数解析式|函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系 ，这种变化关系就是动点问题中的函数关系 那么,我们怎样建立这种函数解析式呢 ？下面结合中考试题举例分析、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年上海)如图1,在半径为6,圆心角为90 °的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH

4、丄OA, 垂足为H, OPH的重心为G. 当点P在弧AB上运动时，线段GO GP GH中，有无长度保持不变的线段 ？如果有，请指出这样的线段,并求出相应的长度(即自变量x的取值范围).图1(2) 设PH二x,GP二y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(3) 如果 PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时，OP保持不变，于是线段 GO GR GH2 2 1 中，有长度保持不变的线段，这条线段是GH=- NH=- OP=2.3 3 2(2)在 Rt POH 中， OH =OP2 -PH2 =36-x2 ,1 1 tMH OH36 -x2.2 2在 Rt M

5、PH中 ,MP h：PH 2 MH 2 x2 9 -；x2.36 3x2二 y =GP=2 MP= V33x2 (0< x <6).3 3,6是原方程的根，且符合题意x二0是原方程的根，但不符合题意(3) PGH是等腰三角形有三种可能情况： GP=PH时,-V33x =x ,解得 x = 76 .经检验，3 GP=GH时,1 ,36 3x2 -2 ,解得x =0.经检验,3 PH=GH时,x =2.综上所述,如果 PGH是等腰三角形，那么线段PH的长为,6或2.、应用比例式建立函数解析式例2 (2006年山东)如图 2,在厶ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线 BC上运动.设B

6、D=x,CE=y .(1) 如果/ BAC=30，/ DAE=105 ,试确定y与x之间的函数解析式； 如果/ BAC的度数为:-,Z DAE的度数为1 ,当:,：满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函A数解析式还成立？试说明理由.解: 在厶 ABC中，/ AB=AC,Z BAC=30 ,Z ABC玄 ACB=75 ,/-Z ABDZ ACE=105 Z DAB+Z CAE=75 Z CAE玄 ADB,ADBA EAC,AB _ BDCE " ACvZ BAC=30 , Z DAE=105 又 Z DAB+Z ADB=/ ABC=751- y .x(2) 由于/ DAB+Z CA

7、E=0 ot ,又/ DAB+Z ADB玄 ABC=9 且2，A函数关系式成立，a a 90=：-，整理得90 .2 2八£1当90时,函数解析式y 成立.2 x例 3(2005 年上海)如图 3(1),在厶 ABC中,Z ABC=90 ,AB=4,BC=3.3(1)点O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D, 交线段OC于点E.作EP丄ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.(1) 求证： ADE AEP.(2) 设OA=x ,AP= y ,求y关于x的函数解析式,并写出它的定 义域(3) 当BF=1时，求线段AP的长解：(1)连结OD.根据题意，得 ODL

8、 AB,.Z ODA=90 , Z ODAZ DEP.又由 OD=OE得Z ODE=Z OED.Z ADE=Z AEP,ADEAEP.3(2)F,如图 3(1)，则 CF=4.(2) / Z ABC=90°,AB=4,BC=3, AC=5./ Z ABC=ZADO=90 , OD/ BC, OD xADx535 '45343 ODd x ,AD= x . - AE=xx=8x .555584AF AD/ ADEA AEP, .22x5.x一 5 y(250 ： x)AP AEy8x585(3)当 BF=1 时,若EP交线段CB的延长线于点vZ ADE=Z AEP, / PDE

9、=Z PEC. vZ FBP=Z DEP=90 , Z FPB=Z DPE, Z F=Z PDE,/ F=Z FEC, CF=CE.8/口 5 5- x =4,得 x .可求得 y = 2,即 AP=2.5 8若EP交线段CB于点F,如图3(2),贝U CF=2.类似，可得CF=CE. 5-5x=2,得x 晋可求得y =6 ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式BC例4 (2004年上海)如图，在厶ABC中，Z BAC=90运动(与点B C不重合),设BO=x , AOC的面积为y .(1)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域

10、.（2）以点0为圆心，BO长为半径作圆 O,求当O O与O A相切时， AOC勺面积.解: 过点A作AFU BC,垂足为H.1/ BAC=90 ,AB=AC=2T? , / BC=4,AH= BC=2. / OC=4-X .21 S aocAH ,当O 0与O A外切时,y = _x4 ( 0 ： x ： 4).7#解得x=-.6解得込在 Rt AOH中 ,OA=x 1,0H=2-X, (x 1)2 =22 (2-x)2.717此时， AOC勺面积y = 4.6 6当O O与OA内切时，在 Rt AOH中 ,OA=x-1,0H=x-2,二(x -1)2 =22 (x-2)2.7 1此时， AO

11、C勺面积y = 4.2 2171综上所述,当O 0与O A相切时， AOC勺面积为或一.6 2专题二：动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是 中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯 形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键 给以点拨。-、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题.1.（09年徐汇区）如图， ABC中，AB=AC=10, BC=1

12、2，点D在边BC上，且BD = 4,以点D为顶点作EDF二 B，分别交边AB于点E，交射线CA于点F .（1）当AE =6时，求AF的长；（2）当以点C为圆心CF长为半径的O C和以点A为圆心AE长为半径的O A相切时，求BE的长；（3）当以边AC为直径的O 0与线段DE相切时，求BE的长.题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形24.5（4）例六，典型的一线三角（三等角）问题，试题在原题的基础上改编出第一小题 当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了第二小题，加入直线与圆的位置 关系（相切问题）的存在性的研究形成了第三小题.区分度测量点在直线与圆

13、的位置关系和圆与圆的位置关系，从而利用方程思想来求解.区分度性小题处理手法1直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程.2.圆与圆的位置关系的存在性 （相切问题）的处理方法：利用 d=R± r（ R . r ）建立方程. 3解题的关键是用含 x的代数式表示出相关的线段.略解CF cd解：（1）证明 CDF s aEBD ，代入数据得 CF =8 ,二 AF=2BD BE32（2） 设 BE= x，则 d 二 AC =10, AE =10x,利用（1）的方法 CF = 32 ,x相切时分外切和内切两种情况考虑:外切,10=109#内切，10=10x32 , x=10±

14、;2ji? .= 0cxc10x当O C和O A相切时，BE的长为4. 2或10 - 2、. 17 .20（3）当以边AC为直径的O O与线段DE相切时，BE =亠.3类题 一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题.（二）线动问题在矩形ABCD中，AB = 3，点O在对角线AC上，直线l过点O ,且与AC垂直交AD于点E.（1）若直线I过点B,把 ABE沿直线I翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A/重合，求BC的长;一 1若直线l与AB相交于点F,且AO = - AC ,设AD的长为x，五边4EAOA形BC

15、DEF的面积为S.求S关于x的函数关系式，并指出 x的取值范 围；3探索：是否存在这样的 x，以A为圆心，以X-长为半径的圆与4直线I相切，若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由.题型背景和区分度测量点本题以矩形为背景结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线 AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆 的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了区分度测量点二.区分度性小题处理手法1.找面积关系的函数解析式， 规则图形套用公式或用割补法， 图形用割补法.2直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程

16、.3解题的关键是用含 x的代数式表示出相关的线段.略解（1） TA'是矩形ABCD勺对称中心 A'B= AA=AC 2 AB= A'B, A吐3二 AC= 6 BC =3、3AE4x AC =、x2 9 , AOx2 9 , AF-（x2 9）,-S AEF=-AE2AF2 2（X 9）96 x=3x -2 2（X 9）96xs' 2 7°x28196x（3：x：3 3）若圆A与直线I相切，则x - 3 = Jx2 +9 , x- = 0 (舍去),4 4不存在这样的x ,使圆A与直线I相切.类题09虹口 25题.(三) 面动问题8 . .8厂.x?

17、x?3 55如图，在 ABC中，AB二AC =5, BC =6, D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合)，且保持 DE / BC，以DE为边，在点 A的 异侧作正方形DEFG .(1) 试求. ABC的面积；(2) 当边FG与BC重合时，求正方形 DEFG的边长；(3) 设AD =x , ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(4) 当 BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长.题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题 ，试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第

18、一小题，当D点在AB边上运动时，正方形 DEFG整体动起来,GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应， 可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二.区分度性小题处理手法1找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况.2正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决.12113解题的关键是用含 x的代数式表示出相关的线段 略解#解：(1)

19、 S ABC = 12(2)令此时正方形的边长为a，则一二64a 4"，解得a二嗟5(3)当0 X乞2时,(6 Vy x5 25当2 x 5时,24 2x x25(4) AD =125<2573 1120类题改编自09奉贤3月考25题，将条件(2) “当点M、N分别在边BA、CA上时”，去掉，同时加到第(3)题中.已知：在 ABC中，AB=AC,/ B=30o, BC=6，点 D 在边 BC上，点E在线段DC上，DE=3， DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点 M、N.(1)求证： BDM CEN;(2)设BD=X , ABC与厶DEF重叠部分的面积为 y

20、，求y关于X的函数解析式，并写出定义域.(3)当点M、N分别在边BA、CA上时，是否存在点D ,使以M为圆心,BM为半径的圆与直线 EF相切,如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由.例1:已知O O的弦AB的长等于O O的半径，点C在O O上变化(不与 A、B)重合，求/ ACB的 大小分析：点C的变化是否影响/ ACB的大小的变化呢？我们不妨将点C改变一下，如何变化呢？可能在 优弧AB上，也可能在劣弧 AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，/ ACB所对的弧是劣弧 AB ,它的大小为劣弧 AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO ,则由于AB

21、=OA=OB，即三角形 ABC为等边三角形，则/ AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的1关系得出：/ ACB= 2 / AOB=300 ,当点C在劣弧AB上变化时，/ ACB所对的弧是优弧 AB，它的大小为优弧 得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关 系得出：/ ACB=1500 ,因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.反思：本题通过点C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。f变式1 :已知 ABC是半径为2的圆内接三角形，若 AB = 2 3，求/ C的

22、大小.AB 的一半，由/ AOB=600#AB 的一半，即.C = 60°OAA本题与例1的区别只是 AB与圆的半径的关系发生了一些变化，其解题方法与上面一致，在三角形 AOB1 - AB3isinAOB =23-.AOB =60°0中，2OB 2 ,则 2，即 ZAOB=120从而当点C在优弧AB上变化时，/ C所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧当点C在劣弧AB上变化时，/ C所对的弧是优弧 AB，它的大小为优 弧AB的一半，由/ AOB=1200得，优弧 AB的度数为 3600-1200=2400,则 由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：/C=1200 ,因此 C

23、=60。或/ C=1200.变式2：如图,半经为1的半圆0上有两个动点 A、B,若AB=1 ,判断/ AOB的大小是否会随点 A、B的变化而变化，若变化，求出变化范 围，若不变化，求出它的值。四边形ABCD的面积的最大值。解：(1)由于 AB=OA=OB，所以三角形 AOB为等边三角形，则/ AOB=600，即/ AOB的大小不会随点 A、B的变化而变化。130#0(2)四边形ABCD的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB的面积为 4，而三角10D x AF +10C x BG = 1 (AF + BG)形AOD与三角形BOC的面积之和为222，又由梯形1(AF + BG) = EH的中位线

24、定理得三角形 AOD与三角形BOC的面积之和2，要四边形ABCD的面积最大，只需 EH最大，显然EH < OE= 2，当AB / CD时，EH=OE，因此.3.33、3四边形ABCD的面积最大值为 4 + 2=4.对于本题同学们还可以继续思考：四边形ABCD的周长的变化范围. 变式3：如图,有一块半圆形的木板，现要把它截成三角形板块.三角形的 两个顶点分别为A、B，另一个顶点 C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形 的面积最大？要求说明理由(广州市2000年考题)分析：要使三角形 ABC的面积最大，而三角形 ABC的底边AB为 圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。 过点C作CD丄

25、AB于点 D，连结CO,由于CD < CO,当O与D重合，CD=CO，因此，当 CO与AB垂直时, 即C为半圆弧的中点时，其三角形 ABC的面积最大。D O本题也可以先猜想，点 C为半圆弧的中点时，三角形 ABC的面积最大，故只需另选一个位置 C1 （不与C重合），证明三角形 ABC的面积大于三角形 ABC1的面积即可。如 图 显然三角形 ABC1的面积=2 AB X C1D，而C1D< C10=C0,贝U三角形 ABC1的面积=2 AB X C1D< 2 ABX C10=三角形ABC的面积,因此，对于除点C外的任意点C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形ABC的面

26、积,故点C为半圆中点时，三角形ABC面积最大. 本题还可研究三角形 ABC的周长何时最大的问题。提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形 ABC的周长最大，AB为常 数，只需 AC+BC 最大，而（AC+BC ） 2=AC2+CB2+2AC X BC=AB2+4 X ABC的面积，因此 ABC的面积最大时，AC+BC最大，从而 ABC的周 长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现，解决动态几何问题的常见方法有：一、特殊探路，一般推证例2:（ 2004年广州市中考题第11题）如图，O 01和O 02内切于 A, O 01的半径为3,0 02的半径为2,点P为O 01上的任一点（与点A不

27、重合），直线PA交O 02于点C, PB切O 02于点B ,BP则PC的值为(A)-2(B)33(C) 2_6(D)2分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以 取一个特殊位置进行研究，当点P满足PB丄AB时，可以通过计算得出PB= -12 =2.2BC X AP=BP X AB，因此AB BP _ 8.2_ 8.24.2BC= ABBP216 82、6_ 6.BP2-BC2 =一 2 6在三角形BPC中，PC=3BP所以，PC-3选（B）A当然，本题还可以根据三角形相似得BP _ APPC BP，即可计算出结论。#0#0作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题

28、，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进 步证明对一般情况也成立。例3:如图，在等腰直角三角形 ABC中，斜边BC=4 , 0A BC于0,EA点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持 AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断OEF的形状，并加以证明。判断四边形AEOF的面积是否随点 E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值AEF的面积是否随着点 E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E、F分别为AB、AC中点，显然有 EOF为等腰直角三角形。还可发现当点E与A无限接近时，点 F

29、与点C无限接近，此时 EOF无限接近 AOC，而 AOC为等腰直角三角形，几种特殊 情况都可以得出 EOF为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE与OF相等吗？/ EOF为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形AOFC与三角形OEA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC，/ OCF= / OAE，而AE=CF，贝U OEAA OFC，贝U OE=OF，且/ FOC= / EOA，所以/ EOF=Z EOA+ / AOF= /FOC+ / FOA=9OO，则/ EOF为直角，故 A EOF为等腰直角三角形。二、动手实践，操作确认例4 （2003年广州市中考

30、试题）在O O中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点（与 A、C不重 合），则（A ） AC+CB=AD+DB（B） AC+CB<AD+DB（C） AC+CB>AD+DB （D） AC+CB 与AD+DB 的大小关系不确定分析：本题可以通过动手操作一下 ，度量AC、CB、AD、DB的长度，可以尝试换几个位置量一量， 得出结论（C）例5:如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径 CA和非直径的弦 CD ,延长CA和CD与大圆分别交于点 B、E,则下列结论中正确的是（* ）（a） DE =AB （ b） DE AB（C） DE : AB（d） DE,AB的大小不确定分析：本题

31、可以通过度量的方法进行，选（B）本题也可以可以证明得出结论，连结DO、EO,则在三角形 OED 中,由于两边之差小于第三边，则OE OD<DE,即 OB OA<DE,因此 AB ： ED，即 DE AB三、建立联系，计算说明例6:如图，正方形ABCD的边长为4,点M在边DC 上,且DM=1 ,N为对角线AC上任意一点，贝U DN+MN的最小值为分析：能否将DN和NM进行转化，与建立三角形两边之和大于第三 边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD为正方形，因此连结BN，显然有ND=NB，则问题就转化为 BN+NM的最小值问题了，一般 情况下：BN+NM > BM,只有在B

32、、N、M三点共线时，BN+NM=BM，因 此DN+MN的最小值为BM= BC CM $ =5本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边 及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定 理计算得出结论。例7:如图，在等腰直角三角形 ABC中，斜边BC=4 , OA BC于O,ECAOB点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持 AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断四边形AEOF的面积是否随点 E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它150的值.'AEF的面积是否随着点 E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化

33、，求它的值。AC(即例3的第2、第3问)分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF与AE长的函数关系式，如设 AE=x，则AF= 2=36，即当 P、 2 x，2 2而三角形AOB的面积与三角形 AOE的面积之比=X ，而1OB OA = 2三角形AOB的面积=2，则三角形AOE的面积X (2、2 一 x) = 2J2； 即x2 2 - x=2，同理三角形 AOF的面积=2 ，因此四边形 AEOF的面积=AEOF的面积不会随点 E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.当然，本题也可以这样思考，由于三角形 AOE与三角形COF全等，则四边形 AEOF的面积与 三角形AOC的面积相等

34、，而 AOC的面积为2,因此AEOF的面积不会随点 E、F的变化而变化，是 一个定值，且为2.本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系，然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛1 1 2 x(2 2 - x) (x -2)1第问也可以通过建立函数关系求得，二AEF的面积=22，又x的变化范围为° "X ：2、2,由二次函数知识得 : AEF的面积的范围为：0 - AEF的面积岂1 .本题也可以根据三角形 AEF与三角形OEF的面积关系确定-：AEF的面积范围：不难证明 AEF的面积WOEF的面积，它们公用边 EF,取EF的中点H，显然由于s OEF为等腰直角三角形,则O

35、H丄EF,作AG丄EF,显然AG W AH=AG(=2-EF),所以二AEF的面积W厶OEF17QDC的面积一三角形 PBC的面积Q运动时，四边形QAPC的面积不变。的面积，而它们的和为 2，因此°：二AEF的面积-1.本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：比如，比较线段 EF与AO长度大小等(可以通过 A、E、O、F四点在以EF为直径的圆上得出很 多结论)例&如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm , BC=6cm，点P沿AB 边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点 Q沿DA边从点D 开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用 t秒 表示移动

36、的时间(0W t W 6)，那么：(1 )当t为何值时，三角形 QAP为等腰三角形？(2) 求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3) 当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似？分析：(1)当三角形QAP为等腰三角形时，由于/ A为直角，只能是 AQ=AP，建立等量关系,2t =6 -t，即t =2时，三角形QAP为等腰三角形;(2)四边形QAPC的面积=ABCD的面积一三角形1 112 612 x (12 2x) 6当然还有其它方法。同学们可以继续研究。练习2：(广东省2003年中考试题最后一题) 在Rt ABC中，AB AC, / BAC 90°

37、, O(3)显然有两种情况： PAQ s ABC , QAP s ABC ,2x 12 2x _ 6由相似关系得6-x6或6-x_12，解之得x = 3或x = 1.2建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函 数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述 图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。作为训练同学们可以综合上述方法求解：练习1： 2003年广州市中考压轴题(全卷得分最低的一道)已知 ABC 为直角三角形， AC=5 , BC=12，/ ACB为直角，P 是AB边上的动点(与点A、B不重合)，

38、Q是BC边上动点(与点B、 C不重合)(1) 如图，当PQ / AC,且Q为BC的中点，求线段CP的长。当PQ与AC不平行时，: CPQ可能为直角三角形吗？若有可能, 不可能，请说明理由。求出线段CQ的长的取值范围；若第1问很易得出P为AB中点，贝U CP=1ab2 2第2问：如果CPQ为直角三角形，由于 PQ与AC不平行， 则/ Q不可能为直角又点P不与A重合，则/ PCQ也不可能为直角，只能是/ CPQ为直角，即以CQ为直径的圆与 AB有交点，设CQ=2x , CQ的中点D到AB的距离DM不大于CD,DM _ DB DMAC AB，即 512-x13，所以DM5(12 -x)13DM,由5

39、(12 x)13=x，即3*6而x ： 6,故3，亦即号S12时,CPQ可能为直角三角形。为BC的中点,(1)写出点O到厶ABC的三个顶点 A、B、(2)如果点M、N分别在线段 AB、AC上移动,请判断 OMN的形状，并证明你的结论。B该题与例3类似，同学们可以仿 本大类习题的共性：；四大数学思想：数学结合、1 代数、几何的高度综合(数形结合)；着力于数学本质及核心内容的考查 分类讨论、方程、函数.2 以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值.专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点

40、为一体，集多种解题思想于一题这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏1以双动点为载体，探求函数图象问题例1 (2007年杭州市)在直角梯形 ABCD中，/ C=90，高CD=6cm(如图1).动点P, Q同时从点B 出发，点P沿BA , AD , DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是 1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C.设P, Q同时从点B出发，经过的时间为 t(s)时， BPQ的 面积为y(cm

41、)2(如图2).分别以t, y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 P在AD边上从A到D运动 时，y与t的函数图象是图 3中的线段MN.(1) 分别求出梯形中BA , AD的长度；(2) 写出图3中M , N两点的坐标；(3) 分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在 图3中补全整个运动中 y关于x的函数关系的大致图象评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活 运用解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t

42、的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象2以双动点为载体，探求结论开放性问题例2 (2007年泰州市)如图5 , Rt ABC中，/ B=90°，/ CAB=30 .它的顶点 A的坐标为(10 , 0), 顶点B的坐标为(5, 53), AB=10 ,点P从点A出发，沿2B-C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0 , 2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点 P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1) 求/ BAO的度数.(2) 当点P在AB上运动时， OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部 分，(如图6)，

43、求点P的运动速度.(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积 S取最大值时点P的坐标.如果点P , Q保持中的速度不变，那么点 P沿AB边运动时，/ OPQ的大小随着时间t的增大 而增大；沿着BC边运动时，/ OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点 P沿这两边运动时，使/OPQ=90的点P有几个？请说明理由.解(1) / BAO=60 .(2)点P的运动速度为2个单位/秒 .试题有难度、有梯度也有P的速度为2,然后建立S评析 本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题解决本题的关键是从图象中获取与t的函数关系式，利用函数的性质解

44、得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以21B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题3以双动点为载体，探求存在性问题例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M, N同时从B点 出发，分别沿BA , BC运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于 AB，分别交AN , CD于P , Q. 当点N到达终点C时，点M也随之停止运动设运动时间为t秒.(1) 若a=4厘米，t=1秒，贝U PM=厘米；(2) 若a=5厘米，求时间使厶PNB PAD，并求出它们的相似比；(3) 若在运动过程中，存在

45、某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示 PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中， 要有全局观念以及对问题的整

46、体把握4以双动点为载体，探求函数最值问题例4 (2007年吉林省)如图9,在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点， 它们分别从点 A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过 E作EH垂直AC交Rt ACD的直角边于 H ;过F作FG垂直AC交Rt ACD的直角边于 G ,连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成 的图形面积为 S 1 , AE、EB、BA围成的图形面积为 S 2(这里规定：线段的面积为 0).E到达C , F到 达A停止若E的运动时间为x(s)，解答下列问题：(1) 当 0<X若y是s 1与S 2的和，求y与x之间的函数关系式；

47、(图10为备用图)求y的最大值解(1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形 ABCD的边长为82，所以AC=16，过B 作 BO 丄 AC 于 O,则 OB=89，因为 AE=x，所以，因为 HE=AE=x ,EF=16-2x，所以-2x),当 S 1=S 2 时，4x=x(16-2x)，解得 X1=0(舍去),x2=6，所以当 x=6 时，；(2) 当 0W x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x,当 8< xw 16寸，AE=x , CE=HE=16-x , EF=16-2(16-x)=2x-16,所以 S 1=( 16-x)(2x-16), 所以

48、y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.当 0w x<8 时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当 x=5 时，y 的最大值为 50.当 8< x< 16寸，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82,所以当x=13时，y的最大值为82.综上可得，y的最大值为82评析本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的

49、 思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为 A (2 , 1)，且经过原点 O,与x轴的另一个交点为 B。yx2+x求抛物线的解析式；(用顶点式求得抛物线的解析式为4)若点C在抛物线的对称轴上，点 D在抛物线上，且以 0、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四 边形，求D点的坐标；连接0A、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得 0BP与厶0AB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。分析：1当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点白勺连线.为四边形的边和对角线来考

50、虑问题以0、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按0B为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边.和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来 推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。练习1、已知抛物线y =ax2 +bx+c经过P( J3,3, e"垂,0i及

51、原点0(0,0).I 22 2 5/3(1)求抛物线的解析式.(由一般式得抛物线的解析式为 y = -x2一'3x).33(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC下方的抛 物线上，任取一点 Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直 线PC及两坐标轴围成矩形 OABC .是否存在点 Q，使得 AOPC与 PQB相似？若存在，求出 Q点23的坐标；若不存在，说明理由.(3) 如果符合(2)中的Q点在x轴的上方，连结 0Q，矩形OABC内的四个三角形#_o轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠CE =

52、 5. 5，且tan . EDA二-。4(1)判断AOCD与厶ADE是否相似？请说明理由;(2)求直线CE与x轴交点P的坐标;(3)是否存在过点 D的直线I，使直线I、直线CE与x轴所围成的三角形和直线 I、直线CE与y轴 所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。中，已知二次函数B两点(点A在点B的1，且过点(2,3)和得抛物线的解析式为练习2图练习3、在平面直角坐标系xOy2y = ax b x ( c 00 的图象与x轴交于A, 左边)，与 y轴交于点C，其顶点的横坐标为(-3,-12) (1 )求此二次函数的表达式；(由一般式y = -x

53、2 2x 3 )(2)若直线丨：y二kx(k =0)与线段BC交于点D (不与点B, C重合)，则是否存在这样的直线I ,使得以B, O, D为顶点的三角形与 BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；A(-1,0), B(3,0),C(0,3)(3) 若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 PCO与 练习4 (2008广东湛江市)如图所示，已知抛物线 y = x2 -1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.练习4图P的横坐标Xp的取值范围.O16练习3图(1 )求A、B、C三点的坐标.(2)过点A作AP / CB交抛物线于点 P,求四边形 ACBP的面积.(3 )在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG _ x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与.：PCA相似.若存在，请求出 M点的坐标；否则，请说明理由.练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，