初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版

1、动点问题专题训练1、如图，已知 ABC中，AB=AC=10厘米，BC =8厘米，点D为AB的中点.(1) 如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动. 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后， bpd与 CQP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度 为多少时，能够使 BPD与厶CQP全等？(2) 若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇?32、直线y x 6与坐标轴分别交于A

2、B两点，动点P、Q同时从0点出发,4同时到达A点，运动停止.点Q沿线段0A运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线0 B A运动.(1) 直接写出A、B两点的坐标；(2) 设点Q的运动时间为t秒， OPQ的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式；48(3) 当s二一时，求出点P的坐标，并直接写出以点50、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标.3如图，在平面直角坐标系中，直线I: y= 2x 8分别与x轴，y轴相交于A, B 两点，点P( 0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径 作O P.(1) 连结PA,若PA=PB,试判断O P与x轴的位置关系，并说明理由;(2)

3、 当k为何值时，以O P与直线I的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?4如图1,在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为(一3, 4)，点C在x轴的正半轴上，直线 AC交y轴于点M， AB边交y轴于点H .(1) 求直线AC的解析式；(2) 连接BM，如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位 /秒的速度向终点C匀速运动，设厶PMB的面积为S (SM 0),点P的运动时间 为t秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量 t的取值范围)；(3) 在(2)的条件下，当t为何值时，/ MPB与/ BCO互为余角，并求 此时直线0P与直线AC所夹锐角的

4、正切值.（图1）5在RtMBC中，/C=90° AC = 3, AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个 单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿 AC返回；点QB图16从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀 速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ, 且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q 同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之 停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t >0).(1) 当t = 2时，AP =，点Q到AC的距离是;(2) 在点P从C向A运动的过程中，求APQ 的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值

5、范围)在点E从B向C运动的过程中，四边形 QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4) 当DE经过点C时，请直接写出t的值.(备用图)6 如图，在 Rt ABC 中，N ACB =90 ° N B = 60 °， BC =2 .点 O 是 AC的中点，过点O的直线I从与AC重合的位置开始，绕点O作逆 时针旋转，交AB边于点D .过点C作CE II AB交直线I于点E，设 直线I的旋转角为.(1) 当：二度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；当：一 90。时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说

6、明理由.7 如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD = 3, DC =5, AB =4 . 2, / B=45 .动 点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同C时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点 D运动.设运动的时间为t秒.(1) 求BC的长.(2) 当M N / AB时，求t的值.(3) 试探究：t为何值时， MNC为等腰三角形.8如图1,在等腰梯形ABCD中，AD / BC，E是AB的中点，过点E作EF / BC 交 CD 于点 F . AB =4，BC =6，/ B =60 .(1) 求点E到BC的距离；(2) 点P为线段EF上

7、的一个动点，过P作PM _ EF交BC于点M，过M作 MN / AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP =x. 当点N在线段AD上时(如图2)， PN 的形状是否发生改变？若不变，求 出厶PMN的周长；若改变，请说明理由； 当点N在线段DC上时(如图3)，是否存在点P，使 PMN为等腰三角形？ 若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由C图1MM3图4 (备用)C9如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为(0, 10), (8, 4),点C在第 一象限动点P在正方形ABCD勺边上，从点A出发沿A-B-C-D匀速运 动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点

8、时，两 点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1) 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x (长度单位)关于运动时间t (秒)的函数图象如图所示，请写出点 Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2) 求正方形边长及顶点C的坐标；(3) 在(1)中当t为何值时， OPQ勺面积最大，并求此时P点的坐标； 如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A-B-C- D匀速运动时，0P与 PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由.10数学课上，张老师出示了问题：如图 1,四边形ABCD是正方形，点E 是边BC的中点 . AEF =90 ；且EF交正方形外角.DCG的平行线CF于点F， 求证

9、：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则 AM = EC，易证 AM E ECF，所以 AE EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1) 小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边 BC上(除B, C夕卜)的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成 立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明 理由；(2) 小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点， 其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明理由

10、.图1图2图311已知一个直角三角形纸片 OAB，其中NAOB=90 ° 0A=2, OB =4 .如图， 将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D .(I)若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标;x(U)若折叠后点B落在边OA上的点为B ，设OB'x，0C二y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围;(川)若折叠后点B落在边OA上的点为B ，且使B D II OB，求此时点C的坐 标.B+ xA12如图（1）,将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上 一点E （不与点C , D重合）,压平后得到折痕MN 当竺 1AMCD

11、 2时，求的值.BN方法指导：为了求得 A性的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB =2BN类比归纳值等于在图（1）中，若竺=丄，则竺的值等于CD3BNCE1AM;若二（n为整数），则的值等于CDnBNN图（1）；若竺CD1AM ,则 的4BN.（用含n的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上AB重合），压平后得到折痕MN，设一BC点E （不与点C，D1C E 1AMm . 1 ，则 的值等mCD nBNDEC.（用含m，n的式子表示）12.如图所示，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，/ A = 90° AB= 12, BC= 21,AD=16

12、。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动， 动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动， 当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t（秒）（1）设厶DPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？（3）分别求出出当t为何值时， PD= PQ,DQ= PQ ?13.三角形ABC中，角C=90度，角CBA=3（度, BC=20根号3。一个圆心在 A点、半径为6的圆以2个单位长度/秒的速度向右运动，在运动的过程中，圆心始终都在直线AB上，运动多少秒时，圆与 ABC的一边所在的直线相切。1

13、解：（1 ）© t =1 秒，二 BP 二 CQ =3 1=3 厘米，T AB =10厘米，点D为AB的中点， BD =5 厘米.又 PC =BC - BP , BC =8 厘米， PC =8 _3 =5 厘米， PC =BD .又 AB =AC , . B, BPD 幻 CQP . （4 分）Vp-Vq , BP又BPD 幻 CQP,/ B ZC，贝U BP 二 PC =4, CQ 二 BD =5 ,点Vq（2）CQ设经过515二一二一厘米/秒.44x秒后点P与点Q第一次相遇,（7 分）15由题意，得 x4二 3x2 10，解得x = 80秒.3点P共运动了80 X33 =80厘米

14、.BP 4，点Q运动的时间t秒,33/ 80 =22824 , 点P、点Q在AB边上相遇,经过 秒点P与点Q第一次在边 AB上相遇. （12分）32解（1） A （ 8, 0） B （0, 6） 1 分（2） OA =8, OB =6.AB =108点Q由O到A的时间是 8 （秒）16+10二点P的速度是=2 （单位/秒）分8当P在线段OB上运动（或 0< t < 3 ）时，OQ二t, OP =2ts =t2 1分 当 P 在线段 BA 上运动（或 3 ：: t < 8 ）时，OQ = t, AP = 6 T0 - 2t = 16 - 2t ,PD A P ,口48 - 6t

15、如图，作PD _0A于点D，由，得PD =BO AB513 224S OQ PDtt 55(自变量取值范围写对给 1分，否则不给分.)/C、(8 24 (3) P 一，-2 5丿：824-f 1224)一 f1224 )1,M 2,M 3 155.55553解：(1 )0 P与x轴相切.直线y= 2x 8与x轴交于A (4, 0), 与y轴交于B (0, 8),/ 0A=4, 0B=8.由题意，0P= k, PB = PA=8+k.在 Rt AOP 中，k2+42=(8+k)2, k= 3,. OP等于O P的半径， O P与x轴相切.(2)设0 P与直线I交于C, D两点，连结PC , PD

16、当圆心P 在线段 OB上时,作PE丄CD于E./ PCD 为正三角形， DE = 1cd=2 , PD=3,2 23、3 PE= .2/ AOB = / PEB=90° ,/ ABO= / PBE ,AOAB=竺,即斗=PB 4 . 52PB3后- PB,2PO =BO PB =8 23尿P(0,8),23尿k8 .2当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P(0, 3 15 8),222P为顶点的三.当k=U® 8或k= 口5 8时，以O P与直线l的两个交点和圆心2 2角形是正三角形228”(I)过点A作AE丄x轴 垂足为E(如图1vA(-3t4) /.AE=4 0E=3

17、 .OA=VAE2+OE3 =5, t 四边形 ABCO 为菱形 /.QC=B=BA=OA=5 /.C(5t0) 1分4.设直线AC的解析式为；y=la+b 、;貢址AC的解析式S：y=-i+y- 由得M点坐标为(0,y) M兮 如图1当P点在AB边上运动时 由题盍得0H=4 AHM斗 .歸 BP+MH*(5-2i今 /S=-t+-(Ot<-)* 2分当P点往BC边上运动时3E为R vZ.OCMiBCM CO=CB CM=CM /.AOMCsAEMC /,OM=BM=y fMOCMMRC旳5k+b=0 -3k+b=4分n E设OP与ACffi交干点Q连接OR交AC于点K vZAOOiAB

18、C . ZAOM=£ABM LMPB+ASCO=90P iBAO=21BCO £BAO+Z.AOU=90° z.£LMPB=iAOH ;MPB=ZMBH 当P点在AB边上运动时，如图2,.PH=HB=2 ;PA=AH-PH=1 vABOC MPAgOCQ1分图2VMH1PB.l=4*I 分2UAQ卩MCQO上AQP®ACQO 器二需二丄 I 在 R也AEC 中 AC=VAF+ECr=VZ433r =4VT 脸攀曙譬L 在 RtAOHB 申 0B=VHBW'=V2Mr2yT AC1OB OK=KB AK=CK .-.0K=vT AK=KC

19、=2vT ,QK=AK-AQ=- 当P点在BC边上运动时，如图3 .MPB=2LMBHDr llD?.SP=J- I 分;.PC=BC-BP=z5-=-同理可证APQC-AOQAft PC/?OA工 1一0P 2fCO_CP=Q _A0" CQ=| AC-y/5 . flK=KC-CQ=vT ；,lanZ.0QK-=l413；ok=vTZ图3综上所述待吕扌时,门【吧与£ 互为余角值线OP与直线AC所先税角的正切值为中 当=孕时上MPB与£肮0互为余甫，査线0P与直线AC所夹锁角的正切值为1 n+T分” 85解：(1) 1,5(2)作QF丄AC于点F，如图 3, A

20、Q = CP= t,. AP =3 _t .(2)作QF丄AC于点F，如图 3, AQ = CP= t,. AP =3 _t .由AQFsMBC,BC = 52 _324 , S =1 (3 _t)t ,2 -即 S »2t25(3)能.当DE /QB时，如图4.DE丄PQ,.PQ丄QB,四边形 QBED是直角梯形. 此时/ AQP=90° .由厶APQ ABC，得ACAQ APAB ，即t =3.解得t =9 .358如图5，当PQ /BC时, 此时/ APQ =90° .DE丄BC,四边形 QBED是直角梯形.由厶 AQP ABC ,彳F AQ APAB 一

21、AC '图53 .t3解得t15845 t14点连接P由C向A运动，DE经过点C.QC,作QG丄BC于点G,如图6.2 2PC =t , QC 二 QG23242-CG = (5 t)- 4(5t).55由 PC 2 =QC 2，得 t2二3(5 -t)24 55(5切2，解得点P由A向C运动，DE2324(6 -t)二一(5t)4(555经过点-t)2 ,C,如图7.t/】146.解(1) 30, 1 : 60,1.5 ;(2)当/ a =900时，四边形 EDBCl菱形./ a =Z ACB=9°, BC/ EDCE/AB 四边形EDB(是平行四边形.在 Rt ABC中，

22、/ ACE=90°，/ B=60°,BC=2, AB=4, AC=2 .3.8分-AO= A C ='. 3 2在 Rt AOD中, Z A=300 , AD=2.二 BD=2. BD=BC又四边形EDB（是平行四边形,10分四边形EDBC是菱形7.解：（1）如图，过A、D分别作AK _ BC于K , DH _ BC于H，则四边形AD H K 是矩形 KH = AD =3. 1分BK在 Rt ABK 中,=AB cos 4557508分57508分在Rt CDH中，由勾股定理得，HC = 52 _42 =3 BC = BK KH HC = 433 =10 3分（图）

23、GM(图)57508分57508分(2) 如图，过 D作DG II AB交BC于G点，则四边形 AD G B是平行四边形/ M N II AB M N II DG BG = AD = 3 GC =10 -3 二 74 分由题意知，当 M、N运动到t秒时，CN =t, CM =10 -2t./ DG II M N Z NM C DGC又 Z C 二Z C M NC GDCC N CMCD CG10 -2t解得,57501（3）分三种情况讨论： 当NC =MC时，如图，即t =10 _2t11（图）（图） 当M N = NC时，如图，过 N作NE_MC于E解法一：11由等腰三角形三线合一性质得EC

24、二 MC二 10 _2t =5_t22亠亠EC 5 -t在 R t C EN 中，cos c =NC tCH 3又在 Rt DHC 中，cosc=二CD 5.5 _t 3t 52 5解得t = 25 8分8解法二：/ Z C 二/ C, . DHC 二.NEC =90 NEC s DHCNCECDCH C5 -t325 t811 当MN =MC时，如图，过 M作MF_CN于F点.FC NC t22（图）解法一：（方法同中解法一）FC10 -2tcos C =MC” 60解得t17解法二：/ Z C 二 Z C , . MFC= DHC=90 M FC s DHCFC _ M CH C DC即J

25、0 -2t360 - t17综上所述，当8解(1)如图1,过点 E为AB的中点,10-3E作EG _ BC于点G .tn25或tn60时， MNC为等腰三角形8171- BE = AB =2.2在 Rt EBG 中，/ B =60，/ BEG =30 . BG JbE =1, EG =22_12 =、3.2图1即点E到BC的距离为-.,3.(2)当点N在线段AD上运动时， PMN的形状不发生改变./ PM _ EF , EG _ EF, / PM II EG ./ EF II B C , EP GM , PM 二 EG - . 3同理M N = AB =4.1如图则NH在RtB =60 ,/

26、PM H =30 .1 PM2=PM=M NPN Hcos 303-MH =4 一一2C中，PN 二 NH2 2PH 二l2丿J2丿2，过点 P 作 PH _ MN 于 H ,T M N II AB,11 PM N 的周长=PM PN当点N在线段DC上运动时， PM N的形状发生改变，但 MNC恒为等边三角 形.当 PM =PN 时，如图 3，作 PR _ M N 于 R，贝V MR =NR.类似，MR .2 M N =2M R =3. 7 分/ MNC是等边三角形， MC=MN =3.此时，x =EP =GM 二 BC - BG M C = 6 -1 一3 = 2. 8分7分图3MGM图5当

27、MP二M N时，如图4,这时 MC 二MN = MP =、3.此时,x = EP = GM=6-1 -'、3 = 5 -、3.当NP则/ PM N =120，又/ M NC =60 ,=NM时，如图5,/ N PM =/ PM N =30 . / PN M / M NC =180因此点P与F重合， PMC为直角三角形. M C = P M 上an 30= 1.此时，x =EP =GM =6 一1 _1 =4.综上所述，当x =2或4或5 -时, PM N为等腰三角形.10分9 解：(1) Q (1 , 0)点P运动速度每秒钟 1个单位长度. (2) 过点B作BF丄y轴于点F , BE丄

28、x轴于点E ,则BF = 8, AF -10 -4 =6在 Rt AAFB 中，AB =汩2 -6 =10过点C作CG丄x轴于点G，与FB的延长线交于点H . . ABC =90 , AB =BC ABFBCH . BH=AF =6, CH =BF =8 .所求=FH =8 - 6 =14, CG =8 4 =12 .C点的坐标为(14, 12)M , PN丄x轴于点过点P作PM丄y轴于点(3)则厶 APM sAABF .N,OF =BE =4 .APAMABAFBF3t,5PM PN =OM=103-t,5ON =PM =设厶OPQ的面积为S (平方单位) S =丄(10 _3t)(1254

29、73亠 t)=5 t t? ( 0 Wt W 1 01010说明：未注明自变量的取值范围不扣分.47a 3 <0 当 t = 一 1010310 2 ()10=47时， OPQ的面积最大.67分9453此时P的坐标为(，)1510(4) 当t二？或t二9丄时，0P与PQ相等.313（1 分）10.解：(1)正确.证明：在 AB上取一点 M，使AM =EC，连接ME .（2分）.BM =BE . . BM E =45 ° ,. AM E =135 ° .CF是外角平分线，-ZDCF =45 ° ,.EC F =135 ° .AM E = . ECF

30、.AEB Y/BAE =90 ° , AEB Y/CEF =90 ° ,.BAE = . CEF . AM E BC F （ASA） . （ 5 分）AE =EF . （6 分）（7 分）（8 分）(2)正确.证明：在BA的延长线上取一点 N使AN二CE，连接NE .BN =BE.N=. PCE =45 ° .四边形ABC D是正方形,.AD / BE .ED AE = . BEA .NAE = . CEF . AN E EC F （ASA） .（10 分）AE =EF .（11 分）11.解(I)如图，折叠后点 B与点A重合，则 ACD BCD .设点C的坐标为

31、 0, m m 0 .则 BC =OB -OC = 4- m.于是 AC = BC =4 - m .在Rt AOC中，由勾股定理，得 AC OC 2 OA 2 ,2223即4 m m 2，解得m 2f 3)八二点C的坐标为 0, . 4分I 2丿(H)如图，折叠后点 B落在OA边上的点为B ,则厶 B Cd BCD .由题设 OBx, OC = y ,7分则 B C 二 BC =0B _0C =4 _ y , 在R t B 0 C中，由勾股定理，得 b C 2 = OC 2 U OB 2.x224 yi即 yx2 2 6 分8由点B在边OA上，有0 < x < 2 ,1 2. 解析

32、式y x 20 w x w 2为所求寫当0 w x w 2时，y随x的增大而减小，一 3.y的取值范围为 w y W 2. 7分2（川）如图，折叠后点 B落在OA边上的点为B ，且B D II 0B .则.OCB = . CB D .又CBD 二.CB D,. OCB 二.C BD，有 CB I BA .Rt COB s Rt BO A .亠 O B O C有 =，得 OC =2OB '. 9分OA OB在 Rt B OC 中，设 OB = x0 i x >0，则 O C = 2 x0 1由（n）的结论，得 2x。二x20 2 ,8解得 x0 - -8 _45l x0 0, x0

33、-84'、5.10分点C的坐标为 0,8-、5-1612解：方法如图（1-1）,连接 BM , EM , BEDEC7分7分CECD由题设，得四边形 ABNM和四边形FENM关于直线M N对称.M N 垂直平分 BE BM = EM , BN = EN .=CD四边形 ABCD 是正方形， A =/D=90 ° , AB = BC1，二 CE = DE =1.设 BN =x,贝 V NE =x, NC = 2x.2在 Rt CNE 中，NE 2 =CN 2 CE 25.解得x二一，即BN4在 Rt ABM和在Rt D EM 中,2 2AM AB =BM2 2DM DE =EM

34、22AM2 2 2 2AB = DM DE .设AM解得y=y，则 DM1,即AM42 2. 2 2=2 - y, . y 2 h2 - y i T .1AMBN方法二:同方法一,如图1-2）,过点N做NG II CD，交AD于点G，连接BE .DCE/ ADIIBC,.四边形G DCN是平行四边形.NG二 C D 二 BC .同理,5 四边形 ABNG也是平行四边形. AG二BN二4/ M NNG_ BE,. EBC 以/BNM_ BC , . M NG . BN M=90 °=90/EBC - . M NG .在厶BCE与厶NGM中"ZEBCzm ng ,=N G,BC BCE NGM , EC = M G . AM类比归纳