函数的单调性函数的单调性例题详解.doc

1、函数的单调性_函数的单调性例题详解幂函数、指数函数和对数函数·函数的单调性一·教案教学目的 1使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性 2通过函数单调性概念的教学，培养学生分析p 问题、认识问题的才能通过例题培养学生利用定义进展推理的逻辑思维才能 3通过本节课的教学，浸透数形结合的数学思想，对学生进展辩证唯物的教育 教学重点与难点 教学重点：函数单调性的概念 教学难点：函数单调性的断定 教学过程设计 一、引入新课 师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？ 用投影幻灯给出两组函数的图象 第一组：

2、第二组： 生：第一组函数，函数值y随_的增大而增大；第二组函数，函数值y随_的增大而减小 师：手执投影棒使之沿曲线挪动对他她答得很好，这正是两组函数的主要区别当_变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不一样，但每一组函数却具有一种共同的性质我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质而这些研究结论是直观地由图象得到的在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容 点明本

3、节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意 二、对概念的分析p 板书课题：函数的单调性 师：请同学们翻开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍 学生朗读 师：好，请坐通过刚刚阅读增函数和减函数的定义，请同学们考虑一个问题：这种定义方法和我们刚刚所讨论的函数值y随自变量_的增大而增大或减小是否一致？假如一致，定义中是怎样描绘的？ 生：我认为是一致的定义中的“当_1_2时，都有f_1f_2”描绘了y随_的增大而增大；“当_1_2时，都有f_1f_2”描绘了y随_的增大而减少 师：说得非常正确定义中用了两个简单的不等关系“_1_2”和“

4、f_1f_2或f_1f_2”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质这就是数学的魅力！ 通过老师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣 师：如今请同学们和我一起来看刚刚的两组图中的第一个函数y=f1_和y=f2_的图象，体会这种魅力 指图说明 师：图中y=f1_对于区间a，b上的任意_1，_2，当_1_2时，都有f1_1f1_，因此y=f1_在区间a，b上是单调递增的，区间a，b是函数y=f1_的单调增区间；而图中y=f2_对于区间a，b上的任意_1，_2，当_1_2时，都有f2_1f2_2，因此y=f2_在区间a，b上是单调递减的，区间a，b是函数y=f2_的单调减区间 老师指图说明分析p

5、定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解浸透数形结合分析p 问题的数学思想方法 师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应 不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师 生：较大的函数值的函数 师：那么减函数呢？ 生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数 学生可能答复得不完好，老师应指导他说完好 师：好我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析p ，通过阅读和分析p 你认为在定义中我们应该抓住哪些【关键词】：p 】： 语，才能更透彻地认识定义？ 学生思索 学生在高中阶段以致在以后

6、的学习中经常会遇到一些概念或定义，能否抓住定义中的【关键词】：p 】： 语，是能否正确地、深化地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环因此老师应该学生如何深化理解一个概念，以培养学生分析p 问题，认识问题的才能 老师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在【关键词】：p 】： 语处适当加重语气在学生感到无从下手时，给以适当的提示 生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的【关键词】：p 】： 语 师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要擅长抓住定义中的【关键词】：p 】： 语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同增函数和减函数都是对相应的

7、区间而言的，分开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性请大家考虑一个问题，我们能否说一个函数在_=5时是递增或递减的？为什么？ 生：不能因为此时函数值是一个数 师：对函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数注意这四个字“唯一确定”，因此没有增减的变化那么，我们能不能脱离区间泛泛议论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？ 生：不能比方二次函数y=_2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数因此我们不能说y=_2是增函数或是减函数 在学生答复下列问题时，老师板演函数y=_2的图像，从“形”上感知 师：好他她举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”这说明函数的单

8、调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排挤有些函数在其定义域内都是增函数或减函数因此，今后我们在议论函数的增减性时必须指明相应的区间 师：还有没有其他的【关键词】：p 】： 语？ 生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是【关键词】：p 】： 语 师：你答的很对能解释一下为什么吗？ 学生不一定能答全，老师应给予必要的提示 师：“属于”是什么意思？ 生：就是说两个自变量_1，_2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取 师：假如是闭区间的话，能否取自区间端点？ 生：可以 师：那么“任意”和“都有”又如何理解？ 生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”那么是说只要

9、_1_2，f_1就必须都小于f_2，或f_1都大于f_2 师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？ 让学生考虑片刻 生：可以构造一个反例考察函数y=_2，在区间-2，2上，假如取两个特定的值_1=-2，_2=1，显然_1_2，而f_1=4，f_2=1，有f_1f_2，假设由此断定y=_2是-2，2上的减函数，那就错了 师：那么如何来说明“都有”呢？ 生：y=_2在-2，2上，当_1=-2，_2=-1时，有f_1f_2；当_1=1，_2=2时，有f_1f_2，这时就不能说y=_2，在-2，2上是增函数或减函数 师：好极了！通过分析p 定义和举反例，我们知道要判断函数y=f_在某个区间内是增函数或

10、减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格按照定义在给定区间内任取两个自变量_1，_2，根据它们的函数值f_1和f_2的大小来断定函数的增减性 老师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到详细，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解在概念教学中，反例常常帮助学生更深化地理解概念，锻炼学生的发散思维才能 师：反过来，假如我们f_在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去断定函数值的大小，也可以由函数值的大小去断定自变量的大小即一般成立那么特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立这恰是辩证法中一般和特殊的关系 用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知

11、识去理解辩证法的原理，这样的分析p ，有助于深化地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的才能 三、概念的应用 例1 图4所示的是定义在闭区间-5，5上的函数f_的图象，根据图象说出f_的单调区间，并答复：在每一个单调区间上，f_是增函数还是减函数？ 用投影幻灯给出图象 生甲：函数y=f_在区间-5，-2，1，3上是减函数，因此-5，-2，1，3是函数y=f_的单调减区间；在区间-2，1，3，5上是增函数，因此-2，1，3，5是函数y=f_的单调增区间 生乙：我有一个问题，-5，-2是函数f_的单调减区间，那么，是否可认为-5，-2也是f_的单调减区间呢？ 师：问得好这说明你想的很

12、仔细，考虑问题很严谨容易证明：假设f_在a，b上单调增或减，那么f_在a，b上单调增或减反之不然，你能举出反例吗？一般来说假设f_在a， 增或减反之不然 例2 证明函数f_=3_+2在-，+上是增函数 师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析p 识别，这才是我们研究函数单调性的根本途径 指出用定义证明的必要性 师：怎样用定义证明呢？请同学们考虑后在笔记本上写出证明过程 老师巡视，并指定一名中等程度的学生在黑板上板演学生可能会对如何比拟f_1和f_2的大小关系感到无从入手，老师应给以启发 师：对于f_1和f

13、_2我们如何比拟它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，假如ab，那么它们的差a-b就大于零；假如a=b，那么它们的差ab就等于零；假如ab，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系 生：板演设_1，_2是-，+上任意两个自变量，当_1_2时， f_1-f_2=3_1+2-3_2+2=3_1-3_2=3_1-_20， 所以f_是增函数 师：他的证明思路是清楚的一开场设_1，_2是-，+内任意两个自变量，并设_1_2边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“设”，然后看f_1-f_2，这一步是证明的关键，再对式子进展变形，一般方法是分解因式或配成完全平方

14、的形式，这一步可概括为“作差，变形”同上，划线并标注”作差，变形”但美中缺乏的是他没能说明为什么f_1-f_20，没有用到开场的假设“_1_2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号应写明“因为_1_2，所以_1-_20，从而f_1-f_20，即f_1f_2”这一步可概括为“定符号”在黑板上板演，并注明“定符号”最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”在相应位置标注“下结论” 这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住需要指出的是第二步，假如函数y=f_在给定区间上恒大于零，也可以 小 对学生的做法进展分析p ，把证明过程步骤化，可以形成思维

15、的定势在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的 调函数吗？并用定义证明你的结论 师：你的结论是什么呢？ 上都是减函数，因此我觉得它在定义域-，00，+上是减函数 生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义比方取_1-，0，取_20，+，_1_2显然成立，而f_10，f_20，显然有f_1f_2，而不是f_1f_2，因此它不是定义域内的减函数 生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在-，0和0，+上都是减函数 域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在-，0和0，+每

16、一个单调区间内都是减函数因此在函数的几个单调增减区间之间不要用符号“”连接另外，_=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间 上是减函数 老师巡视对学生证明中出现的问题给予点拔可根据学生的问题，给出下面的提示： 1分式问题化简方法一般是通分 2要说明三个代数式的符号：k，_1·_2，_2-_1 要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变 对学生的解答进展简单的分析p 小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视 四、课堂小结 师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？ 请一个思路明晰，擅长表达的学生口述，老师可从中给予提示 生：这节课我们

17、学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个【关键词】：p 】： 语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤 五、作业 1课本P53练习第1，2，3，4题 数 =a_1-_2_1+_2+b_1-_2 =_1-_2a_1+_2+b_ +b0由此可知_式小于0，即f_1f_2 课堂教学设计说明 函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质并且在比拟几个数的大小、对函数作定性分析p 、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味因此，在设计教案时，加强了对概念的分析p ，希望可以使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原