《反比例函数的图象与性质》教学实录

1、反比例函数的图象与性质教学实录新滩中学 袁玉玲 【教材】北师大版实验教材数学九年级上册第五章第二节【教材地位】 本节课是在介绍了反函数的概念及其图象后的一节，是进一步对反函数的图象性质的探索和认识。【学生情况】学生在七年级和八年级对函数的变化关系有了较丰富的体验和感受，也具备了一定的探索能力和归纳能力。【教学目的】逐步提高从函数图象中获取信息的能力。探索并掌握反比例函数的主要性质。【教学重点】探索反比例函数图象的主要性质【教学难点】对反比例函数增减性的理解【教学策略】开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握反比例函数图像和性质的

2、有关内容；另外，借助教具及多媒体课件，使学生能更为直观地观察、猜想、验证。 【教学方法】1、教法：师生互动，引导发现 2、学法：自主探究，合作交流【教学思路】复习引入-引发认知冲突探究新知探索图象性质-应用提高【教学程序】一、复习引入1、慧眼识珠：以下图象中，是反比例函数的图象的是 。【设计意图】培养学生的识图能力，以新颖的标题给学生自信与展现自我的欲望。当学生得出正确的答案后，并引导学生上升到一个新的台阶，对答案进行分析，将函数图象与函数类型有机结合，使学生在识图的基础上，进一步理解数-形结合的思想。2、提问：让学生对照图象回忆学过的正比例函数y=kx(k0)的性质。要求完整地表达出性质正比

3、例函数反比例函数解析式y=kxk0y=k/x或k0图象k>0k<0k>0k<0oxyoxyoxyoxy性质所在象限图象经过一、三象限图象经过二、四象限图象经过一、三象限图象经过二、四象限增减性假设X1X2, 则 y1y2 假设X1X2, 则 y1y2与x、y轴交点直线与x、y轴都有交点对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形【设计意图】通过正比例函数与反比例函数的比照，让学生掌握比较、归纳的思想方法及类比的学习方法，为本节课要探索的内容设下伏笔。此内容采用留白的方式，让学生完成了填空，对于反比例函数的增减性我注重了强化学生的符号感，逐步渗透数学语言的魅力。二、探索性质1、

4、行家看点一：观察反比例函数y=， y=， y=的图象,你能发现它们的共同特征吗？点拨：从解析式和图象两个方面来说明，为呈现的问题作铺垫1函数的图象分别位于哪几个象限内？2在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？3反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？ 【设计意图】为学生提供独立思考与合作交流的时空，让他们在观察、交流中提高分析问题的能力和从图象中获取信息的能力。学生把讨论的重点放在增减性，有6个小组能通过举例计算来比较数，3个小组会通过类比一次函数的增减性的探索来分析图象的走势从而得出增减的性质形，最后我启导学生比较得出了最优解决方案形。4

5、动手操作：A 将反比例函数的图象沿一、三象限或者二、四象限的角平分线对折，你发现了什么？B 将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？由此可得何结论？【设计意图】为学生提供动手操作与合作的时机，使他们经历折叠与旋转，探索出反比例函数的对称性，并体验到探索的乐趣。该活动分工明确：单号组沿一、三象限的角平分线对折，双号组沿二、四象限的角平分线对折；旋转时一人执圆规固定旋转中心，另一人旋转图象；学生积极性高，能在活动中归纳出数学知识。2、 行家看点二： 考察当k=2，4，6时，反比例函数y的图象，它们有哪些共同特征？ 【设计意图】给学生独立解决的时机，让他们通过类比的方

6、法归纳出反比例函数图象在K 0时的相关性质。 3、小结：正比例函数反比例函数解析式y=kxk0y=k/x或k0图象k>0k<0k>0k<0oxyoxyoxyoxy性质所在象限图象经过一、三象限图象经过二、四象限图象经过一、三象限图象经过二、四象限增减性假设X1X2, 则 y1 >y2假设X1X2, 则 y1y2在每一象限内 假设X1X2,则 y1y2 在每一象限内 假设X1X2,则 y1 >y2 与x、y轴交点直线与x、y轴都有交点双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形1、反比例函数的图象是一个以原点为中心的中心对称图形；

7、2、反比例函数是一个以y=±x 为对称轴的轴对称图形。明 辨 是 非【设计意图】通过补白进一步培养学生的鉴别力与归纳的良好学习习惯，利用课件暗示“在每一象限内”的重要性。4、跟踪练习 反比例函数图象的每个分支只能无限接近x轴和y轴，但永远不可能到达x轴或y轴反比例函数图象假设过点3，2，则它一定过点-3，-2生甲：利用3，2求出反比例函数的解析式，然后将-3，-2代入所求解析式，看它是否满足解析式。师：有不同方法的同学请说出来让大家一起分享。生乙：利用反比例函数的对称性直接就可作出判断。师：哪种方法更简单？生：通过比较顺理成章地找出了最优法。已知点A-3，a、B4，b均在y=- 2/

8、x的图象上，则a<b×生甲男：将坐标代入解析式，求出a、b，再比较。当该生说出其思路之后，陆续有几个人举手了，多数是男生，我就点了一位有不同观点的女生发表高见。生乙女：我是利用形解决的，画图象，描点，比较大小。瞧，说话的语气及那刻的表情已透出了几分自信，语言表达简洁、准确。生丙：我是直接利用性质得到的。其他同学由启而思，领悟到了形带来的便利。师：给了我们何启示？引导学生理解直接用增减性的条件：在每一象限内【设计意图】让学生学有所用。5、试一试：在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐

9、标轴围成的面积为S2,S1与S2有什么关系？它们与K有关吗？【设计意图】培养学生用运动的观点来看待几何问题，并从变中抓住不变的几何关系。师：当呈现出题目内容之后不久你心里在想些什么？有的学生是丈二和尚摸不着头脑，也有的同学似有所悟，给他们展现自我的时机，生却又处于懵懂状态，说不出什么来。师：科学家爱因斯坦言：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”。数学这门学科就是要敢于猜想，并去验证猜想。所以，大家应首先去猜测S1与S2有什么关系。同学们虽由启而发，但在验证的过程中又碰上了障碍，苦思不得其解。于是，我在此进行点拨：由生活中的实例出发我们地穿着会变，但人没变还是你自己，引出数学问题中的变与不变：通

10、过几何画板软件动态演示，让学生直观感受到矩形的位置在变，通过观察数据的变化，学生得出了S1=S2= K，此后我便将反比例函数的值变为负值，学生终于归纳出：S1=S2= | K |考考你三、课堂练兵已知正比例函数y=k1xk10与反比例函数y=k2/xk20的图象有一个交点的坐标为-2，-1，则它的另一个交点的坐标是A A2，1 B-2，-1 C-2，1 D2，-12.已知反比例函数经过点A(2,m)和B(n,2n)，求：(1)m和n的值；(2)假设图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x10 x2，试比较y1和 y2的大小【设计意图】对反函数图象性质认识的及时应用和稳固。 四、

11、小结稳固通过本节课的学习，谈谈你有哪些收获？【设计意图】通过学生对知识与方法的归纳，加深对“反函数的图象与性质”的实质把握，并能用相应的方法去解决以后遇到的数学问题与实际问题。教师可根据学生的发言适当进行补充，如： 1、知识：用反比例函数的增减性应注意在同一象限内；巧用称性2、方法：比较：找出最优解决方案； 归纳：要养成善于归纳的习惯，在归纳中得到提升。 猜想：在观察的基础上猜想并予以验证。3、思想：数-形结合 用运动的观点看待数学问题：在变中紧扣不变的数量关系。五、作业布置1、老师在黑板上写了这样一道题：“已知点2，5在反比例函数y=?/x的图象上，试判断点-5，-2是否也在此图象上”题中的

12、“？”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目2、已知点A2，B1，和C3，都在反比例函数的图象上，比较，和的大小。已知点A2，B1，和C3，都在反比例函数的图象上，那么，与的大小关系又如何呢？六、课后反思以新颖的标题还学生以自信，激发他们展现自我的欲望：复习引入-慧眼识珠、探索性质-行家看点、跟踪练习-明辨是非、稳固提高-考考你；充分让学生经历折叠、旋转的数学活动，使他们在独立与合作的操作中归纳反比例函数图象的对称性，使对称性在学生心中打下深深烙印；着力教给学生思维的方法，以爱因斯坦的名言激发学生对待很多数学与实际问题先去大胆猜想，然后予以验证；对于几何与

13、运动的问题，我由生活中的实例出发我们地穿着会变，但人没变还是你自己，引出数学问题中的变与不变，当学生处于愤悱状态之时，通过几何画板软件动态演示，让学生直观感受到矩形的位置在变，通过观察数据的变化，学生得出了S1=S2= K，此后我便将反比例函数的值变为负值，学生终于归纳出：S1=S2= |K|，由此便扣住了不变的数量关系。致力培养数学算法多样化。反比例函数图象假设过点3，2，则它一定过点-3，-2生甲：利用3，2求出反比例函数的解析式，然后将-3，-2代入所求解析式，看它是否满足解析式。生乙：利用反比例函数的对称性直接就可作出判断。教师借此引导学生通过比较找出了最优法。已知点A-3，a、B4，b均在y=- 2/x的图象上，则a<b生甲男：将坐标代入解析式，求出a、b，再比较。生乙女：我是利用形解决的，画图象，描点，比较大小。生丙：我是直接利用性质得到的。其他同学由启而思，顺理成章地领悟到了用形解决问题比数更直观、简洁。也可使学生逐步养成 “追求更好”的数学学习习惯。紧绷学习方法之