《概率论与数理统计》课后习题答案

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.习题1.1解答1 .将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件AB,C中的样本点。解：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）A（正，正），（正，反）；B（正，正），（反，反）C（正，正），（正，反），（反，正）2 .在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB,AB,AC,BC,ABCD中的样本点。解：(1,1),(1,2),(

2、1,6),(2,1),(2,2),(2,6),(6,1),(6,2),(6,6)；AB(1,1),(1,3),(2,2),(3,1);AB(1,1),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)；AC;BC(1,1),(2,2)；ABCD(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)A,B,C表示以下事件：(1)(3)(5)(7)(9)只订阅日报； 只订一种报； 至少订阅一种报； 至多订阅一种报； 三种报纸不全订阅3 .以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用（2）只订日报和晚报；（4）正好

3、订两种报；（6）不订阅任何报；（8）三种报纸都订阅;解：(1)ABC;(2)ABC;(3)ABCABCABC;4 4)ABCABCABC;(5)ABC;(6)ABC;(7)ABCABCABCABC或AbACBC(8)ABC;(9)ABC4 .甲、乙、丙三人各射击一次，事件Ai,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2,A2A3,A1A2,A1A2,A1A2A3,AA2A2A3A1A3.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5 .设事件A,B,C满足ABC,试把

4、下列事件表示为一些互不相容的事件的和:ABC,ABC,BAC.解：如图：6 .若事件A,B,C满足ACBC,试问AB是否成立？举例说明。11文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.解：不一定成立。例如：A那么，ACBC,但A7.对于事件A,B,C,试问A解：不一定成立。那么A(BC)例如：AB。(BC)3,4,5,B(AB)4,5,6C是否成立？举例说明。,C6,7,8.设P(A)解:(1)(2)(3)(1)ABP(BA)P(BA)P(BA)9.已知P(A)3,但是(AB)C3,6,7。P(B)1,试就以下三种情况分别求P(BA)：(2)AB,(3)P(AB)P(BP(BP(BP(B)

5、A,B,C全不发生的概率。解:=1P(ABC)P(A)P(B)11110.AB)P(B)P(AB)A)AB)P(B)P(B)P(C)4,1P(A)6P(AB)P(AC)P(BC)3O812,P(AB)0求事件P(C)0-16P(AB)-016每个路口有红、绿、黄三色指示灯,车经过三个路口，试求下列事件的概率:“全绿”C“全黄”；DP(ABC)P(AC)P(BC)38P(ABC)假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑A“三个都是红灯”=“全红”；B“无红”；E“无绿”；F“三次颜色相同”；解:G“颜色全不相同”；“颜色不全相同”。P(A)P(B)P(C)P(F)1厨P(D)P(E)8277'

6、;P(H)2727271P(F)；P(G)3!3311.设一批产品共种情况：一次拿3件;次)，试求:100件，其中98件正品,每次拿1件，取后放回拿(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率;2件次品，从中任意抽取3件(分三3次；每次拿1件，取后不放回拿3(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：C2C1(1)P0.0588；(2)C1300每次拿一件，取后放回，拿3次：C2c98C1300CC80.0594；2982(1)P9831003每次拿一件，取后不放回,0.0576；(2)98330.0588;10033次:(1)P298971009998(989796110099980

7、.0588；0.059412.从0,1,2,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率:A三个数字中不含解：0与5,A2三个数字中不含0或5。P(A)POC；C302C3715；c；C3014、/c8一或P(A2)1315C；0141513.从0,1,2,9中任意选出4个不同的数字,计算它们能组成一个4位偶数的概率。解：P5P934P82419014.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率:(1)6人中至少有1人生日在10月份;(2)6人中恰有4人生日在10月份;(3)解：6人中恰有4人生日在同一月份;(1)P1161260.41；(2)P»0.00061；12(3)PC11

8、2C641121260.007315.从一副扑克牌(52张)任取3张(不重复)，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：13121P一3413390.602或P1C52C31114C13C13C13C520.602习题1.2解答1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件，结果不1,2,3P(Ai A3)P(AA) P(Ai)P(A3)P(A3)0.60.9是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令a"取到的是i等品”，i从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合2.设10件产品中有4件不合格品,格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令a"

9、两件中至少有一件不合格“两件都不合格”P(B)_1 p(A)P(AB)P(B|A)P(A)3.为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统I和IIO两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85,求(1)两种报警系统I和II都有效的概率；(2)系统II失灵而系统I有效的概率；(3)在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令A "系统(I)有效”“系统(n)有效”则 P(A) 0.92, P(B)P(AB)P(B0.93, P(B | A) 0.85AB) P(B) P(AB)(2)P(BA)P(B)P(A

10、P(A)P(B|A) 0.93 (1 0.92) 0.85 0.862AB)P(A) P(AB) 0.92 0.862 0.058(3)p(a|b)P(AB)P(B)0.0580.82861 0.93P(B|A) P(B|A) 0 P(A)又 P(B| A)4.设0P(A)1,证明事件A与B独立的充要条件是证：:A与B独立，A与B也独立。P(B),P(B|A)P(B)P(B|A)_10p(A)1迪P(B|A)年P(A)P(A)而由题设P(B|A) P(B|A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)即1P(A)P(AB)P(A)P(B)P(AB)B发生的概率都P(AB)P(A)P(B),故A与B独

11、立。5.设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有是工，求P(A)和P(B).4_1解：P(AB)P(AB)一,又A与B独立41P(AB)P(A)P(B)1P(A)P(B)41P(AB)P(A)P(B)P(A)1P(B)421P(A)P(B),P(A)P(A)-4r1即P(A)P(B)一26 .证明若P(A)>0,P(B)>0,则有(1)当A与B独立时，A与B相容；(2)当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P(A)0,P(B)0(1)因为A与B独立，所以P(AB)P(A)P(B)0,A与B相容。(2)因为P(AB)0,而P(A)P(B)0,P(AB)P(A)P(B),A

12、与B不独立。7 .已知事件A,B,C相互独立，求证AB与C也独立。证明：因为A、B、C相互独立，P(AB)CP(ACBC)P(AC)P(BC)P(ABC)P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(AB)P(C)P(AB)P(C)AB与C独立。8 .甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么P(Ai)07P(A2)0.8,P(A3)0.9令B表示最多有一台机床需要工人照顾，那么P(B)P(A1A

13、2A3A1A2A3AA2A3A1A2A3)P(AA2A3)P(A1A2A3)P(AA2A3)P(AA2A3)0.70.80.90.30.80.90.70.20.80.70.80.1p(0 p 1),(称为元件的可0.9029 .如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为靠性)，假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。系统I解:A12n+2“系统作B2P(Ai)那么P(A)“第i个元件正却而卜iP,A1,A2, A2n 相互独立。4,?,n+2, 2nn2n2nP (A1A2An)(An1 An 2A2n )(A1A2nP(A) i 1 2Pn P2nAn)2nP(A)P(B)

14、 P(A1 Anni n 1Pn(21)(A2(An 1An 2A2n)P(AAzAzn)2nP(A)i 1Pn)An 2)(AnA2n )P(AAni)2P P2 Pn(2 P)n注：利用第7题的方法可以证明(Ai An i )与(Aj An j ) i j时独立。张，求P(A)P(Ani)P(A)P(Ai)10 .10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买(1)前三人中恰有一人中奖的概率；(2)第二人中奖的概率。解：令Ai"第i个人中奖”，i1,2,3P(AA2A3A1A2A3AA2A)P(AA2A3)P(A1A2A3)P(A,A2A3)P(A)P(A21 A)P(A3 1AA2)

15、P(A)P(A2| A)P(A31A1A2)6 5 _6 5 4 6_ 410 9 8 10 9 8 10 9P(Ai)P(A2 |A)P(A3 1AA2)12c：cC30(2)P(A2)P(Ai)P(A2 | Ai)p(Ai)p(A2 I A)10 9 10 9511.在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将 10%的人误诊。根据以往的记录，每 10 000人中有4人患有肝癌,试求:(1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；(2)已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。 解：令B"被检验者患有肝癌”，A“用该检验法诊断被检验

16、者患有肝癌”那么，P(A|B) 0,95,P(A| B) 0,10, P(B) 0.0004(1) P(A) P(B)P(A|B) P(b)P(A| B) 0.0004 0.95 0.9996 0.1 0.10034(2) P(B| A)P(B)P(A | B)P(B)P(A| B) P(b)P(A| B)0.0004 0.950.0004 0.95 0.9996 0.10.003812 . 一大批产品的优质品率为 30%,每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：(1)取到的5件产品中恰有2件是优质品;(2)在取到的5件产品中已发现有 1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品解：令Bi&

17、quot;5件中有i件优质品”，i 0,1,2,3,4,5(1) P(B2) c；(0.3)2(0,7)3 0.30875_(2) P(B2 I Bi) P(B2|B0)i 1P(B2B0)P(b0)P(B2)1 P(B。)0.3087_51 (0.7)0.37113.每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%,1件次品被误判是正品的概率是5%,试计算:(1)抽取的1件产品为正品的概率;(2)该箱产品通过验收的概率。解：令A“抽取一件产品为正品”Ai“箱中有i件次品”，i

18、0,1,2B“该箱产品通过验收”22110i(1) P(A)P(A)P(A|Ai)0.9i0i0310(2) P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.90.980.10.050.88714 .假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率；(2)其中恰有2件不能出厂的概率；(3)其中至少有2件不能出厂的概率。解：令A“仪器需进一步调试”；B“仪器能出厂”A“仪器能直接出厂”；AB“仪器经调试

19、后能出厂”显然BAAB,那么P(A)0.3,P(B|A)0.8P(AB)PA)P(B|A)0.30.80.24所以P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94令Bi“n件中恰有i件仪器能出厂”，i0,1,n(1) P(Bn)(0.94)n(2) P(Bn2)Cn2(0.94)n2(0.06)2C：(0.94)n2(0.06)2(3) P(Bk)1P(Bn1)P(Bn)1C：0.06(0.94)n1(0.94)15 .进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p,试求以下事件的概率：(1)直到第r次才成功；(2)第r次成功之前恰失败k次；(3)在n次中取得r(1rn)次成功；(4)直到第n次

20、才取得r(1rn)次成功。解：r1(1) Pp(1p)r1(2) PC；小(1p)k(3)PC；pr(1p)nr(4)PC"pr(1p)nr16.对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4,第二次为0.5,第三次为0.7.击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2,击中飞机二次而飞机被击落的概率解:为0.6,若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。令Ai“恰有i次击中飞机”，i0,1,2,3B“飞机被击落”显然：P(Ao)P(A)(1 0.4)(1 0.5)(10.4 (10.360.5) (10.7) 0.090.7) (1 0.4) 0.5 (1 0.7)

21、(1 0.4) (1 0.5) 0.7P(A2)0.40.5(1 0.7)0.4 (10.5) 0.7(1 0.4) 0.5 0.7P(A3)0.410.4而 P(B | A0)所以0.50,0.7 0.14P(B | A1)0.2,P(B|A2)0.6,P(B| A3)P(B)3P(Ai)P(B|AJi 00.458 ;P(B) 1P(B)1 0.4580.5421.设X为随机变量，且习题1.3解答P(X k) 2k (k1,2,，则(1)判断上面的式子是否为X的概率分布;解:(2)若是,试求P(X为偶数)和P(X 5).令P(Xk)Pk1,2,(1)显然0 pkpkk 1k 112k所以P

22、(Xk)且12112k,k1,2,为一概率分布。(2) P(X为偶数P2kk 1 22k1414P(X 5)Pk2.设随机变量x的概率分布为 P(X k)116(，(k1,2,)，且文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持图 1.3.811文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.解:c e k 1 k!1,e o k!1,(1 e的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？1解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为p 1,4的独立重复试验。P(X 4) C；(；)4 3 C；(55(：)0ln 2P(X 1)e0!3.设一次试验成功的概率为p(0p1),不断进行重复

23、试验，直到首次成功为止。用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布。解：P(Xk)p(1p)k1,k1,2,4.设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求(1)X的概率分布；P(X5)。解：(1) P(Xk)(1p)kp(0.9)k0.1,k0,1,2,k5(2) P(X5)P(Xk)(0.9)0.1(0.9)k5k55 .一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确“、口人1所以这是一个n5,p41646 .为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概

24、率为0.01,各台设备工作情况相互独立。(1)若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；(2)设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01?解：2019(1) 1(0.99)200.01(0.99)0.0175(按Poisson(泊松)分布近似)(2) n100,np1000.011(按Poisson(泊松)分布近似)100100kk1kk100k1eP(XN1)C100(0.01)(0.99)0.01kN1kN1k!查表得N47 .设随机变量X服从参数为的Poisson(泊松)分布，且P(X0

25、)1,求(1) ；(2)P(X1).01解：P(X0)e-,0!2P(X1)1P(X1)1P(X0)1111111n21(1ln2)2228 .设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。解： P(X 1) P(Xi2),即一e 1!一 e2!P (X0)P (e 2)42e8e9 .在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)，求(1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)

26、某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；9.在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为-A的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计).求(1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；解：3(1) t3,P(X2一5(2) t5,P(X20)1)51 P(X 0) 1 e W10.已知X的概率分布为:-2-101232a3aaa2a试求(1)a；(2)YX21的概率分布。解：1(1) 2a3aaa2a110一1a-。101x21(2)f(x)-x601212X1,0)

27、x0,3)其它(3)P(2X2)11(x)dx12211x)dx62111212.设连续型随机变量X的概率密度为试确定常数a并求P(X解：令f(x)dx6).a即sinxdx10cosx1,即cosa0,aP(X6)2sinxdxcosx|26,3213.乘以什么常数将使x变成概率密度函数？解：令x2cexdx(X试求14.解:f(x)2)21e4dx随机变量XN(,2),其概率密度函数为f(x)2x1e-4x4二(2；若已知Cf(x)dxf(x)dx,求C.1e.64x46.23e(x2)22(3)2文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持若f(x)dxf(x)dx,由正

28、态分布的对称性c可知c2.15 .设连续型随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复试验中“X-”出现的次数，试求概率P(Y2)._1解：P(X 1)12xdx-o4_ 2 1 2 3P(Y 2) 3 9964F(x) +13文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑116 .设随机变量X服从1,5上的均匀分布，试求P(x1Xx2).如果(1)x11x25；(2)1x15x2.解：X的概率密度为(1) P(x1 X x2)(2) P(x1 X x2)f(x)x21dx14dx均44 , 1 x 50 , 其他*2 1)41-(5 x1)417. 设顾客排队等待服务的时间X (以分计)

29、服从待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务1的指数分布。某顾客等55次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和P(Y 1).解：P(X 10) 1 P(X 10) 1 1P(Y k) C；(e2)k(1 e2)5k,k100,1,2,3,4,5_2 5_P(Y 1) 1 (1 e )0.5167习题1.4解答1.已知随机变量 X的概率分布为 P(X 1) 0.2, P(X 2) 0.3,P(X 3) 0.5 ,试求X的分布函数；P(0.5 X 2)；画出F(x)的曲线。解：F(x)00.20.5,x 1,1x2,2x3P(0.5 X 2) 0.5F(x)曲

30、线：文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.2.设连续型随机变量X的分布函数为试求：(1)X的概率分布；(2)P(X2|X1).解：(1) P(X 2|X1)P(X 1)2P(X 1)325文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.3.从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4,设X为途中遇到红灯的次数，试求(DX的概率分布;(2) X的分布函数解:(1)P(Xk)C；(2)k(3)3k,k0,1,2,355列成表格4.F(x)解:F(x)027125811251171251x00x11x22x3x3试求习题1.3中第11题X的分布函数，并画出12一x121x11x00x3x35.设连续型随机变量X的分布函数为试求：(1)A,B的值；(2)P(1X解：(1)F()lim(ABe2x)1x又lim(ABe2x)F(0)0x0F(x)的曲线。1);(3)概率密度函数A1BA1f(x)(2)P(1X1)FF(1)(3)f(x)F'(x)2e2x6.试确定解：又又设X为连续型随机变量，其分布函数为F(x)中的a,b,c