线性代数：第三章向量代数与几何应用

1、第三章第三章 向量代数与几何应用向量代数与几何应用本章主要内容本章主要内容:空间直角坐标系空间直角坐标系平面方程平面方程向量及其坐标向量及其坐标向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积空间直线方程空间直线方程及其方程及其方程13.1 3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系本节主要内容：本节主要内容：空间点的坐标空间点的坐标空间两点间的距离空间两点间的距离21. 1. 空间向量空间向量BAa 【确定向量的方法确定向量的方法】只要确定向量的模和方向只要确定向量的模和方向. 34单位向量：单位向量： 长度为长度为1的向量的向量相反向量：相反向量： 方向相反且长度相等的向量是

2、互为相反方向相反且长度相等的向量是互为相反的向量的向量平行平行(垂直垂直): 若两个向量若两个向量 a 和和 b 所在的直线平行所在的直线平行(垂垂直直)，则称这两个向量为共线的或平行的，则称这两个向量为共线的或平行的(垂直的垂直的)向向量量2. 2. 向量的加法和减法向量的加法和减法ba ba a bOABC平行四边形平行四边形法则或三角法则或三角形法则形法则数乘向量数乘向量( (用一个数和一个向量造新的向量用一个数和一个向量造新的向量) ) a a 2a 12a 678ba,baaab,cosab向量的夹角向量的夹角向量向量 在向量在向量 上的投影上的投影 cccccbabaaa)()2(

3、)()1(投影性质投影性质) 0( cy xz3. 3. 空间直角坐标系空间直角坐标系(1) 在空间中取一定点在空间中取一定点 O ; O(2) 过点过点 O 作三条作三条两两互两两互 相垂直相垂直, 且且成右手系成右手系的的 数轴数轴: Ox Oy Oz 1 1 19拇指方向拇指方向),( ),( ),( VIIVII),( xyOzxOy面面yOz面面zOx面面【卦限卦限】空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限. .【坐标平面坐标平面】xOy, yOz, zOx 面面),( ),( ),( ),( 10空间点的坐标空间点的坐标xyzO; )0 , 0 ,( xP点的坐标为点的

4、坐标为 xP; )0 , , 0( yQ点的坐标为点的坐标为 yQ; ) , 0 , 0( zR点的坐标为点的坐标为; )0 , ,( yxA点的坐标为点的坐标为R z),(zyxM . ) , ,( zyxM点的坐标为点的坐标为)0 ,(yxA y112122122M NM MNM空间两点间的距离空间两点间的距离22212212121()()()M Mxxyyzz22122()PNM PNM 11112222(,),(,):MxyzMxyz设设为为空空间间两两点点121RtRt,M NMM PN在在和和中中 有有222212121()()() ;xxyyzzOxyz1M2MPN: 0 | )

5、,( 2221 zyxzyxS: 0 | ),( 2 yxzyxS: | ),( 3zyxzyxS : 0 | ),( 4 xzyxS 坐标面；坐标面；yOz; )0 , 0 , 0( O原点原点 坐标轴；坐标轴；z 等等的的直直线线；与与三三个个坐坐标标轴轴夹夹角角都都相相: 1 | ),( 2225 zyxzyxS); 1 ,(的球面的球面半径为半径为为心为心以以单位球面单位球面O13向量的标准分解向量的标准分解 xyzkOij【向量的标准分解向量的标准分解】kpjpippzyx向量向量p在三个坐标轴上的投影在三个坐标轴上的投影zyxppp,称为称为p的坐标，的坐标，向量向量p经常表示为经

6、常表示为),(zyxpppp称为向量的坐标表示或代数表示称为向量的坐标表示或代数表示)1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1( kji123(,)A a a a123(,)B b b bxyz(0,0,0)O123(,)C c c ca a .aBC 设设为为空空间间直直角角坐坐标标系系中中的的一一个个量量【向向量量的的坐坐标标】向向,aO将将 自自由由平平移移使使其其起起点点与与原原点点重重合合 终终点点为为123(,);A aaa123,a a aa有有序序数数组组称称为为向向量量 的的坐坐标标 记记为为15).,(321aaaBC 123(,)A a a a1

7、23(,)B b b bxyz(0,0,0)O123(,)C c c ca a 【公式公式】123112233, (,)(,);BCOACcccababab由由于于线线段段平平行行平平移移与与重重合合 因因而而点点的的坐坐标标16).,(332211bcbcbcBC ).,(),(332211321bcbcbcaaaBC 在前面的条件下在前面的条件下从而从而123(,)A a a axyz(0,0,0)O123(,)C c c ca a bba Bbbb),(32117),(),(321321bbbbaaaa 若向量若向量 则则 ).,(332211babababa ),(321cccOCba

8、 );,(332211bababa ).,()(332211bababababa ),(321bbbb 【公式公式】【证明证明】123(,)A a a axyzOa 18),(321aaaa xyzO1A11DCBEFG【解解】(1, 1, 1),E (0, 0, 1);G (1, 1, 0),B (0, 1, 0),C (1, 0, 1),D )1, 1 , 1()10 , 01 , 10( DC)1, 1 , 1()10 , 01 , 01( GB),1 , 1 , 1( OE【公式公式】 0 , , , ;A BOab 当当时时在在原原点点的的同同一一侧侧 即即与与同同向向 0 , ,

9、, ;A BOab 当当时时在在原原点点的的两两侧侧 即即与与反反向向),(),(321321aaaaaa .0时时，上上式式平平凡凡当当 向量的方向角与方向余弦向量的方向角与方向余弦 abxyzO1a2a3a a21222|coszyxxxpppppp 1coscoscos222 xyzO1a2a3a p222|coszyxyypppppp 222|coszyxzzpppppp kppjppippppzyx| kjipp coscoscos kpjpippzyx 【解解】ABCDabMba ba MBMD 12();ab12().ab MCMA , , 0, , ,.a b cabca b

10、c 若若为为单单位位向向量量 且且求求之之间间的的夹夹【思思】角角考考题题23xyzO111241),( zyxzyxV3.2 3.2 向量的内积、外积与混合积向量的内积、外积与混合积 向量的内积向量的内积向量的外积向量的外积 25向量的混合积向量的混合积 1. 1. 两个向量的数量积两个向量的数量积112| |WFM M 12(|cos ) |FM M 12| | cosFM M 1MF2M1F2F 26a bOABab P cos| baba ;|jPr ,900OPab 则则若若 . |jPr ,18090OPab 则则若若 .0 )2( baba.00, | ;| ) 3(2）（且且

11、aaaaaaaaa27a bOABab 1 12233.a ba ba ba b 【证明证明】 由三角形的余弦定理由三角形的余弦定理,2222cos ,ABOAOBOA OB 222| | |2| | | cosbaabab 即即22| | |2,aabb 22212 (| | | )a babba 从从而而22222212312312()()aaabbb222112233()()() bababa1 12233.a ba ba b28),(321aaaa ),(321bbbb 由上述定理由上述定理, 通过直接、简单的通过直接、简单的代数验算代数验算, 很轻松地很轻松地得到下列有关数量积的性质

12、得到下列有关数量积的性质.【向量内积的性质向量内积的性质】;a bb a ( (1 1) )( (交交换换律律) )(); abca cb c ( (2 2) )( (数数量量积积对对加加法法的的分分配配律律) )()()().aba bab ( (3 3) )【 (2)(2)的的验验证证】),(),(),(321321321ccccbbbbaaaa cba )(333222111)()()(cbacbacba )()()(333322221111cbcacbcacbca )()(332211332211cbcbcbcacaca a cb c 29令令),(),(321332211cccbab

13、aba 【解解】,arccos| | | |a ba bab a bMBAarccos| | | |a bAMBab 1arccos22 12arccos6030),0 , 1 , 1 ( MAa),1 , 0 , 1 ( MBb2. 2. 两个向量的向量积两个向量的向量积( (由两个向量造一个新向量由两个向量造一个新向量) ) abOBA lcc31abOBA ba 拇拇指指(1)0;aa (3)/0;a bab ,)4(kji ,jki.kij【评注评注】(2)();abba 32【证明证明】由上面的说明由上面的说明, 令令 另一方面另一方面, 2222| | | | sin abab 2

14、2222| | | | | | | cos abab 222| | | |()aba b22222221231231 12233() ()()aaabbba ba ba b222233231131221()()() ,a ba ba ba ba ba b21, . 1 33),(321bbbb ),(321aaaa ).,(122131132332bababababababa )(),(),(122131132332bababababababa )()()(21221231132233222bababababababa ),1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1(

15、kjiji再由再由知知. 1 由上述定理由上述定理, 通过直接、简单的通过直接、简单的代数验算代数验算, 很轻松地很轻松地得到下列有关向量积的性质得到下列有关向量积的性质.【向量积的性质向量积的性质】;abba ( (1 1) )( (反反交交换换律律) );()abcacbc ( (向向量量积积对对加加法法的的分分配配律律) )( (2 2) )()()().ababab ( (3 3) )【练习题练习题】 验证验证(2).1212212111112222aa aaaaaa34),(),(),(122131132332321321bababababababbbaaa ),(212131313

16、232bbaabbaabbaa 【解解】abCAB12|Sab12163641435),4, 2, 1( CAa),2, 0 , 1( CBb),0121,2141,2042( ba);2 , 6, 4( 363. 3. 两个向量的混合积两个向量的混合积【定义定义3】三个向量三个向量cba,的混合积的混合积),(cba是一个数是一个数cbacba )(),(几何意义：几何意义：以三个非零向量以三个非零向量cba,为棱作一个平行为棱作一个平行六面体，该平行六面体的体积为：六面体，该平行六面体的体积为：),()(coscbacbacbaV 37设：设：kcjcicckbjbibbkajaiaazy

17、xzyxzyx ,zzzyyyxxxcbacbacbacba ),(则有则有三个向量三个向量cba,共面的充要条件是：共面的充要条件是：0),( cba例例3：设向量设向量 它们的始点它们的始点i,kck,jbj,ia 解：解：同为同为O，求以，求以a，b，c为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积V. 22110011101),( Vcba例例4：当当k为何值时，四个点为何值时，四个点P(2,0,1)， A(1,2,3)，B(2,3,1)， C(3,1,k)共面？共面？解：解：. 1)1(3102132101),( kkkcbaPCcPBbPAa，3.3 3.3 平面及其方程平面及其方程

18、平面的一般方程平面的一般方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的截距式方程平面的截距式方程两平面间的关系和平面束两平面间的关系和平面束39平面的三点式方程平面的三点式方程Ozyx n0P 【法向量法向量】垂直于平面的非零向量垂直于平面的非零向量. .1. 1. 平面的点法式方程平面的点法式方程 P000 ()(0 )()A xxB yyC zz即即平面的点平面的点法式方程法式方程【求平面方程的方法求平面方程的方法】( (记住记住!)!):;(1)(1) 在在平平面面上上找找出出一一个个点点.(2)(2) 找找出出一一个个与与平平面面垂垂直直的的非非零零向向量量( (法法向向) )40 ),(

19、0000zyxP ),(zyxP000 nPPnPP),C,B,A( n的的法法向向量量如如图图，平平面面 ),1, 1, 1(1 n);12, 2, 3(2 n取法向量取法向量, 0)1()1(3)1(2 zyx化简得化简得. 0632 zyx平面方程为平面方程为【解解】4121nnn )2311,12311,12211( );1 , 3 , 2(5)5 ,15,10( 1nn2n取法向量取法向量, 0)1()1()1(2 zyx化简得化简得. 02 zyx平面方程为平面方程为【解解】MNn42)1 , 1 , 1(1 n)1 , 1 , 1( MNn)1 , 1 , 1()2 , 0 ,

20、1( )1101,1121,1120( );1, 1, 2( 2. 2. 平面的一般方程平面的一般方程由平面的点法式方程由平面的点法式方程000()()()0A xxB yyC zz000()0AxByCzAxByCz)(000DCzByAx 平面一平面一般方程般方程其中法向量为其中法向量为0 DCzByAx几种特殊情况几种特殊情况：其它情况可以类似讨论其它情况可以类似讨论43),(CBAn nk xyzCDz ;02)1( zyx;02)2( zx;13)3( yx.1)4( y【解解】(2) 过过 y 轴轴;(3) 平行平行z 轴轴;(4) 平行平行 zOx 平面平面.2 ,BC (1)

21、过原点过原点;【解解】20.yz0:ByCz 平平面面为为平平面面方方程程为为44【例例】);, 0(CBn 平面的法向平面的法向,2 , 11), 0(），（由条件知由条件知 CB3. 3. 平面的截距式方程平面的截距式方程0, 1 ( ,0,0),(0, ,0),(0,0, ).yzxabcacbA aBbCc 如如果果则则平平面面方方程程过过三三点点1xyzacb平平面面截截距距式式方方程程, ,.a b c 分分别别称称平平面面在在三三个个坐坐标标轴轴上上截截距距的的xyz)0 ,0 ,(aA)0 ,0(bB),0 ,0(cCO45令令 y=z=0 得：得：x=21245xyz截距方程

22、为截距方程为【解解】46令令 x=z=0 得得：y=4令令 x=y=0 得得：z=5xyz2 0 0( , , )A(0,4,0)B(0,0,5)CO截距式方程便于画图截距式方程便于画图4. 4. 平面的三点式方程平面的三点式方程47在几何上，不共线的三个点确定唯一一个平面在几何上，不共线的三个点确定唯一一个平面.),(),(),(333322221111zyxPzyxPzyxP).,(),(),(),(13131331121212211111zzyyxxPPzzyyxxPPzzyyxxPPzyxP 为为平平面面上上任任一一点点，则则设设由于这三个向量共面，因此它们的混合积为零由于这三个向量共

23、面，因此它们的混合积为零. .于是于是平面的三点式方程平面的三点式方程0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxxn1P3P2PP【解解】取取平面方程为平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyxABC48);1, 3 , 2(),6, 4 , 3( ACABnACABn )3243,1263,1364( )1, 9 ,14( . . 两平面间的关系和平面束两平面间的关系和平面束1212120;A AB BC C11111222220,0A xB yC zDA xB yC zD ：设设有有两两个个平平面面则则：(2)(2)(1)

24、(1)12 49;2121212121DDCCBBAA 重重合合与与 ;2121212121DDCCBBAA 平平行行与与 )3()4(.:22211121CBACBA 相相交交与与 50【例例】求过点求过点)1, 1 , 1( P且与平面且与平面123: zyx 平行的平面方程平行的平面方程所求平面方程为：所求平面方程为：0223 zyx【例例】讨论以下各组里两平面的位置关系讨论以下各组里两平面的位置关系:210,42210;xyzxyz(1)(1)210,320.xyzxyz(2)(2)【解解】(1)(1)12211422/; ( (不不重重合合) )210)1()1(3)1(12 (2)

25、(2)同轴平面束同轴平面束经过同一直线的所有平面的集合叫做同轴平面束经过同一直线的所有平面的集合叫做同轴平面束51，记记为为相相交交时时，它它们们的的交交线线若若和和平平面面当当平平面面l21 由由下下述述方方程程组组确确定定：则则l 0022221111DZCyBxADZCyBxA参参数数，则则是是两两个个不不同同时时为为零零的的实实和和设设21 02222211111 ）（）（DZCyBxADZCyBxA .为为轴轴的的平平面面束束方方程程以以l52031 , 0 , 1- zyxP）且经过两个平面）且经过两个平面（求过点求过点01 zyx和和【例例】.的的交交线线的的平平面面方方程程【解

26、解】由于所求平面与两个已知平面均为同轴平面束中的由于所求平面与两个已知平面均为同轴平面束中的平面，因此可设所求平面为平面，因此可设所求平面为0)1()3(21 zyxzyx 因因此此所所求求平平面面方方程程为为代代入入方方程程，得得将将点点.2)1 , 0 , 1(12 P. 023 zyx3.4 3.4 空间直线及其方程空间直线及其方程直线的一般方程直线的一般方程直线的点向式与参数式方程直线的点向式与参数式方程直线与平面、直线与直线的位置关系直线与平面、直线与直线的位置关系直线与平面的夹角直线与平面的夹角53点到直线与点到平面的距离点到直线与点到平面的距离的的方方向向向向量量为为设设空空间间

27、直直线线 l),(pnms 【直线的方向向量直线的方向向量】与直线平行的一非零向量与直线平行的一非零向量. .1. 1. 直线的点向式与参数式方程直线的点向式与参数式方程xyzsO0P P 54l；且且lzyxP ),(0000即即,/),(0sPPlzyxP .000pzznyymxx 直线的点向式直线的点向式( (对称式对称式) )方程方程55【评注评注】；可可以以为为中中0,)1(000pnmpzznyymxx .)3, 0 , 2()3 , 2 , 1(3-30221的的直直线线为为方方向向向向量量且且以以表表示示过过点点例例如如 szyx特特殊殊平平面面的的交交线线，即即此此时时可可

28、看看成成两两个个如如中中只只有有一一个个不不为为零零，例例和和若若, 0,)2( mpnm 00zzyy【解解】【例例】.),(),(11110000的的直直线线方方程程和和求求过过两两个个相相异异点点zyxPzyxP.100为为方方向向向向量量的的直直线线且且以以所所求求直直线线是是过过PPP),(01010110zzyyxxPP 因因此此所所求求直直线线方方程程为为010010010zzzzyyyyxxxx 56.直直线线的的两两点点式式方方程程57则则方方程程化化为为令令其其比比值值为为在在直直线线的的点点向向式式方方程程中中,t)(000 tptzzntyymtxx直线的参直线的参数式

29、方程数式方程【例例】.42330221Pzyxzyx的交点的交点与平面与平面求直线求直线 【解解】直直线线的的参参数数式式方方程程为为： tzytx33221因因此此所所求求交交点点为为可可得得将将其其代代入入平平面面方方程程, 142 tzyx)0 , 2 , 3(PzxOy空间直线空间直线 L 可看成两平面的交线可看成两平面的交线: :其中其中 L 的方向向量的方向向量2.2. 直线的一般方程直线的一般方程1 2 L1n11111222220 (): 0 ()A xB yC zDLA xB yC zD 直直线线 的的一一般般方方程程5821nnd 2n【解解】在直线上令在直线上令, 0 z

30、,04201 yxyx得得L的方程的方程:59）；，（），（）（取取3-1-431- , 21 , 1 , 1 d【例例】32,35 yx3132435 zyx【解解】从而该直线的对称式方程为从而该直线的对称式方程为:60，由由令令先先求求直直线线上上一一点点0, z【例例】 20yxyx.011. 1）是直线上的一点）是直线上的一点，因此，点（因此，点（求得求得 yx)1, 1, 1(.1 ns分分别别为为由由于于这这条条直直线线是是法法向向量量再再求求直直线线的的方方向向向向量量取取且且此此的的两两个个平平面面的的交交线线，因因和和.)2, 1 , 1(212nsnsn .23211111

31、21kjikjinns .23111zyx:0,AxByCzD 3. 3. 直线与平面间的关系直线与平面间的关系 ( ,)nA B C (, , )dm n p （【直线与平面的特殊位置关系判定直线与平面的特殊位置关系判定】61pzznyymxxl000:设00),()0() 1 (000000 DCzByAxpCnBmAzyxnsnsl且且的的方方程程满满足足且且点点即即上上在在 00),()2(000000 DCzByAxpCnBmAzyxnsl且且的的方方程程不不满满足足且且点点平平行行与与 0 )4( pCnBmAnsl不垂直不垂直与与相交相交与与 pCnBmAnsnsl )0(/)3

32、(即即垂直垂直与与 l【两直线的特殊位置关系判定两直线的特殊位置关系判定】4. 4. 两直线间的关系两直线间的关系1s2s )2l621111(,)P xy z2222(,)P xyz1111111:pzznyymxxl 2222222:pzznyymxxl 1l),();,(),();,(),(12121221222222222111111111zzyyxxPPpnmszyxPlpnmszyxPl 的的坐坐标标为为向向量量且且方方向向向向量量为为过过点点且且方方向向向向量量为为过过点点判判别别方方法法如如下下：不不是是共共面面就就是是异异面面，其其与与直直线线21ll)4 . 4(. 0,

33、0),(,1221122112212121212121 zzppyynnxxmmPPssPPssll即即共面共面三个向量三个向量共面共面与与直线直线4. 4. 两直线间的关系两直线间的关系63情况，其判别方法如下情况，其判别方法如下三种三种合、平行、垂直和相交合、平行、垂直和相交共面时，它们之间有重共面时，它们之间有重与与当当21ll)(:)(:)(:/)1(121212222111212121zzyyxxpnmpnmPPssll 重合重合与与)(:)(:)(:/)2(121212222111212121zzyyxxpnmpnmPPssll 且不平行于且不平行于平行平行与与2221112121

34、2121:)4 . 4(,)4(pnmpnmssPPssll 式成立且式成立且不平行不平行与与共面且共面且交于一点交于一点与与0)3(2121212121 ppnnmmssll垂直垂直与与【解解】64【例例】过点过点且方向向量为且方向向量为过点过点显然，显然，2111).1, 2, 1()1, 2, 1(lsPl 并且并且的坐标为的坐标为且方向向量为且方向向量为).2, 4, 1().2, 2()1, 2,(2122 rPPtsrP).4)(3(22142121),(2121 trtrPPss:由此可得由此可得. 0),(43)1(212111异面异面与与因此，因此，时，时，且且当当llPPs

35、str 设两条直线分别为设两条直线分别为.2122:.112211:21 ztyrxlzyxl.和2的相对位置的相对位置加以讨论，分析加以讨论，分析和和对对lltr165.),2(:4:)1()2(:)4(:21:2:1,4)2(21平行平行与与因此因此）（都有都有对任意对任意时，时，当当llrRrt .)2(:21:2:)1(0),(34)3(212111相交相交与与知知且且由由时，时，且且当当lltPPssrt .33. 02)4(2121时为垂直异面）时为垂直异面）当当时为共面垂直相交；时为共面垂直相交；（当（当垂直垂直与与因此，因此，时，时，当当 rrllsst66夹角和距离夹角和距离

36、 平面和平面的夹角平面和平面的夹角直线和平面的夹角直线和平面的夹角点到平面的距离点到平面的距离直线和直线的夹角直线和直线的夹角点到直线的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离，两条平行直线间的距离，两个平行平面间的距离，两个平行平面间的距离，平行于平面的直线与平面间的距离平行于平面的直线与平面间的距离【两直线的夹角两直线的夹角】 方向的夹角方向的夹角( (锐角锐角).).【两直线的特殊位置关系判定两直线的特殊位置关系判定】21) 1ll 21/)2ll(1). (1). 直线与直线的夹角直线与直线的夹角1s2s)2l1l675.5.直线和平面间的夹角直线和平面间的夹角2121cosssss 2

37、1ss 21/ ss则这两个平面的夹角则这两个平面的夹角【约定约定】 两个平面的法线两个平面的法线( (不是法向不是法向) )的夹角的夹角( (锐角锐角) )称称为为两个平面的夹角两个平面的夹角. .若两个平面的法向为若两个平面的法向为1212|arccos| |nnnn 121212222222111222|arccosA AB BC CABCABC 68(2) .平面和平面的夹角平面和平面的夹角1n2n，)()(22221111CBAnCBAn (3). (3). 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 1n1s（则则【直线与平面的特殊位置关系判定直线与平面的特殊位置关系判定】1111ns/)1

38、( l1111/)2(nsl 69 .),cos(minsin1111nsns 1l1不不同同。，这这与与向向量量的的夹夹角角有有所所三三种种夹夹角角都都不不大大于于上上述述注注意意，2)3)(2)(1( .,min2 【解解】70【例例】由由的的法法向向量量为为的的方方向向向向量量为为),2, 1, 1(),1, 2, 1(nsl , 321121)1( ns,612)1(222 s:得得.6 因此，因此，.32:112211: 的的夹夹角角平平面面与与求求直直线线 zyxzyxl,621)1(222 n,21sin nsns (1). (1). 点到直线的距离点到直线的距离【公式公式】1P

39、0PsL【证明证明】根据几何图形知根据几何图形知711110000(,)xxyyzzP xyzmnp点点到到直直线线L:L:的的距距离离为为100(,)sP Pd PLs 1010010sin(, )sins PPsPPd P LPPss 10010101(, , ),(,)sm n pPPxxyy zz 6. 距离距离【解解】72【例例】.424221:),(,21221:),(222111 zyxsPlzyxsPl可可得得由由kiPPlPdlld 211221).,(),(可得可得以及以及再由再由331211 sPPs. 1),(21 lld因此，因此，其其中中的的距距离离和和求求两两条条

40、平平行行直直线线),(),(),(21222111lldsPlsPl.22101221211kjikjiPPs . 133),(121112 sPPslPd（2 2）. . 点到平面的距离点到平面的距离距离为距离为的的到平面到平面点点0),( 0000 DCzByAxzyxP000222|AxByCzDABC 【公式公式】P0P nN( , ),P x y z在在平平面面上上任任取取一一点点【证明证明】000222|()()()|A xxB yyC zzABC 222000|CBADCzByAxd ()AxByCzD00| |cos |dP NPP 000| | |PPnPPPPn 0| |P

41、Pnn 73 74(3). 两条平行直线间的距离，两条平行直线间的距离， 两个平行平面间的距离，两个平行平面间的距离， 平行于平面的直线与平面间的距离平行于平面的直线与平面间的距离1. 两条平行直线间的距离：两条平行直线间的距离：规定为规定为一条直线上任意一点到另外一条直线的距离一条直线上任意一点到另外一条直线的距离2. 两个平行平面间的距离：两个平行平面间的距离：规定为规定为一个平面上任意一点到另外一个平面的距离一个平面上任意一点到另外一个平面的距离3. 平行于平面的直线与平面间的距离：平行于平面的直线与平面间的距离：规定为规定为直线上任意一点到平面的距离直线上任意一点到平面的距离【解解】7

42、5【例例】. 03442:, 0322:21 zyxzyx 则则上上取取一一点点在在),0,0,3(1 P 其其中中的的距距离离和和求求下下列列两两平平行行平平面面),(2121 d.23)4(4230404)3(2),(),(222221 Pdd习题课习题课 判断下列结论是否正确判断下列结论是否正确, 并说明理由并说明理由. 1.| | |,.abab(1)(1) 若若 ,0,.a bc bbac(2)(2) 若若且且则则 ()().a b ca b c(3)(3) 第第一一部部分分76,.aabb(5)(5) 若若则则 ,/.abacabc(6)(6) 若若则则 (1,1,1)a ( (7

43、 7) )是是单单位位向向量量. . |,.ababab(8)(8) 若若则则 ()()0.abaabb(4)(4) 77对于空间两点对于空间两点 P (2, 2, 5) 和和 Q (1, 6, 7). 试求试求: :2.解解 3, 8, 2.PQ 3,8,2.PQPQ iPQ jPQ k 在在三三个个坐坐标标轴轴上上的的投投影影分分别别为为(1)(1) 01 ().| |bababab ab向向量量在在向向量量上上的的投投影影78(4)(4)01771 3, 8, 2.|PQPQPQ (5)(5)0aPQaPQ 1()4.| |a PQa (3)(3)377cos, 877cos, 277c

44、os. (2)(2)222|( 3)8277.PQ 79解解 (1)(1)(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2.,3),ABCABC给给定定三三点点对对于于三三角角形形求求BABC (1)(1) 向向量量在在上上的的投投影影. .ABC(2)(2)的的面面积积. .BCAD(3)(3)上上高高的的长长度度. .CCE(4)(4) 过过的的中中线线的的长长度度. .ACBD4, 2,0,BA 0, 2,2,BC BCBA 1()2.|BC BABC 80ABC(2)(2)的的面面积积. .4, 2,0 0, 2,2BABC 4,8,8; 12|6.ABCSBABC BCAD(3)(3)上

45、上高高的的长长度度. .12| |6BCAD|2 2BC |3 2.ADACBDECCE(4)(4) 过过的的中中线线的的长长度度. .(2,1,0);E点点的的坐坐标标为为222|(20)(10)(02)3.CE 4. ,;ab ab (1)(1) 求求 ,.ab ab(2)(2) 求求以以为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积解解 (1)(1)3| | |cos,2a baba b () ()2,ababa ab b 222|() ()| | |2ababababa b323127, 222| | |21,ababa b 82(2)(2)() ()ababaabbbaab 2();ba |() ()|2 |ababba 2 | | | | sin3.6ab 2cos,7ab ab 2,arccos.7ab ab |() ()| | sinabababab 477113. 另另解解83证证5. 用数量积证明三角形的三条高交于一点用数量积证明三角形的三条高交于一点. . , 0)( , 0)( acbcba从从而而, 0 cbca , 0)()( acbcba, 0)( bacABOC ,BCbc ;ABabABCabOc ? ABOC ,CAca84直线直线 L 的方向向量为的方向向量为解解 (i) 用用点点法法式式:(: