微积分：5-8 常系数非齐次线性微分方程

1、 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程15.8 常系数常系数非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程小结小结 思考题思考题 作业作业xxPxflx cos)(e)( 型型)(e)(xPxfmx 型型sin)(xxPn 非齐次非齐次第第5 5章章 微分方程微分方程 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程2方程方程对应对应齐次齐次方程方程0 qyypy通解结构通解结构),(xPm,e )(xmxP ,cos)(exxPlx .sin)(exxPnx Yy)(xf难点难点方法方法二阶二阶 常系数常系数非齐次非齐次线性线性的的类类型型)(xf y yY次次多多项项式式

2、是是mxPm)( qyypy如何求如何求非齐次非齐次方程特解方程特解?待定系数法待定系数法.,ex ,sin)(cos)(exxPxxPnlx 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程3)(xQy 求导代入原方程求导代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根不是特征方程的根若若 )1(可可设设是特征方程的单根是特征方程的单根若若 )2( )(xQ可可设设xmxxQy e )( xmxQy e )( x e)(xQm)(xQ )(xQmx)(xQxmxPqyypy e)( m0 )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 0 0 型

3、型一、一、)(e)(xPxfmx 设设非齐次方程特解非齐次方程特解为为特征方程特征方程02 qprr 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程4是特征方程的重根是特征方程的重根若若 )3( )(xQ可可设设综上讨论设非齐次方程特解为综上讨论设非齐次方程特解为, )(exQxymxk kxmxQxy e )(2 注注)(xQm2x)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm , 1, 0, 20 0 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程(k是重根次数是重根次数).不是特征方程根不是特征方程根是特征方程的单根是特征方程的单根

4、是特征方程的二重根是特征方程的二重根xmxPqyypy e)( 特征方程特征方程02 qprr 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程5.e232的通解的通解求方程求方程xxyyy 解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根2, 121 rrxxCCY221ee ,2 是是单单根根 y设设例例(1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解此题此题.e )(e)(2型型属属于于xmxxPxxf 其中其中, 1 m2 )(BAx 1xx2e?所以所以 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性

5、微分方程6代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BA,e )121(2xxxy 于是于是原方程通解为原方程通解为 xxCC221ee.e232的通解的通解求方程求方程xxyyy xBAxxy2e )( yyy,将将 yYy.e )121(2xxx 对应对应齐次齐次方程通解方程通解xxCCY221ee 所以所以 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程7二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解为的通解为 考研数学一考研数学一, 4分分.e2ee2231xxxCCY xAy2e 设设 xAy2e2 xAy2e4 对应对应齐次齐次方程通解方程通解特

6、征方程特征方程0342 rr特征根特征根1, 321 rrxxCCYee231 (1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解)2(不不是是特特征征根根 (2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解解解代入方程代入方程, 得得xy2e2 原方程通解为原方程通解为.e2ee2231xxxCC yYyxyyy2e234 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程8在该点处在该点处处的切线与曲线处的切线与曲线其图形在点其图形在点1)1 , 0(2 xxy解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根, 2, 121 rrxxCCY221ee (1)

7、 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题此题.e )(e2)(型型属属于于xmxxPxf )1, 0( m例例考研数学考研数学(一一, 二二, 三三) 8分分二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程,e223)(xyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数的切线重合的切线重合,求函数求函数y的解析表达式的解析表达式. 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程9)1(是是单单根根 y设设(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解Axex1解得解得2 A所以所以xxye2 xxCCy221ee (3) 求求原方程原方程的特解的特解得得由由, 12 xxy,

8、1)0( y且且211CC 即即11 r1 特征根特征根原方程通解为原方程通解为(求函数求函数y的解析表达式的解析表达式)在在处的切线与曲线处的切线与曲线其图形在点其图形在点1)1 , 0(2 xxy,该该点点处处的的切切线线重重合合.的的解解析析表表达达式式求求函函数数yxxe2 将点将点(0,1)的坐标代入通解的坐标代入通解, 得得,e223)(xyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数, 12 xy 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程10 xxxxxCCye2e2e2e221 由题意由题意, 得得 )0(y即即1221 CC联立联立 1212121CCCC

9、 0121CC将之代入通解得将之代入通解得xxxye2e 211CC 1)0( y 2221CC1 所以所以, 函数函数y的解析表达式为的解析表达式为得得求导求导将通解将通解,e2ee221xxxxCCy .e )21(xxy 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程11型型二、二、sin)(cos)(e)(xxPxxPxfnlx ysin)(cos)(e)2()1(xxRxxRxmmxk 是是其其中中)(),()2()1(xRxRmmm次多项式次多项式, nlm,max 注注上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次阶常系数非齐次线性微分方程线性微分方程. k, 0,

10、1不是特征方程的根不是特征方程的根 i 是特征方程的单根是特征方程的单根 i 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程12.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解.sincos21xCxCY 例例(1) 求对应求对应齐次齐次方程方程 0 yy012 r特征根特征根ir 其通解其通解这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程. 且且.sin)(cos)(e)(型型属于属于xxPxxPxfnlx , 0( 其中其中特征方程特征方程, 1 , 0)( xPl)4)( xPn0 014的通解的通解 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程13xCxC

11、ysincos21 (2) 求求非齐次非齐次方程方程 xyysin4 i故设故设代入方程代入方程, 比较系数比较系数. 得得xxycos2 这里这里i 0Asin x?1 yx.cos2xx , 0 1 特征根特征根ir 非齐次方程特解为非齐次方程特解为是特征根是特征根.原方程通解为原方程通解为B xcos 的特解的特解. 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程14考研考研(数学一数学一, 二二, 三三)7分分 xttftxxxf0,d)()(sin)(设设解解 )(xf xcos xttfx0d)(cos两端再对两端再对x求导求导,得得 )(xf积分方程积分方程 微分方程微

12、分方程 xttftxxxf0d)()(sin)( x积分方程积分方程 xcos xtttf0d)( x()(xxf xttf0d)()(xxf ) xttfx0d)(即即xxfxfsin)()( 即即xyysin 这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程.)(sinxfx 其中其中 f 为连续函数为连续函数, 求求f (x). 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程15即即xxfxfsin)()( 即即xyysin .)(为为未未知知函函数数其其中中xfy 初始条件初始条件, 0)0( f得得又由又由,d)(cos)(0 xttfxxf初始条件初始条件, 1)

13、0( f .sin)(cos)(e型型自由项属于自由项属于xxPxxPnlx , 0( 其中其中, 1 , 0)( xPl)1)( xPn001 11000; 0)0( y即即000. 1)0( y即即 xttftxxxf0,d)()(sin)(设设,为为连连续续函函数数其其中中f).(xf求求得得由由 xttftxxxf0,d)()(sin)( 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程16.sincos21xCxCY 其通解其通解(1)对应对应齐次齐次方程方程0 yy012 r特征方程特征方程特征根特征根ir xyysin ii 0(2)设原方程的特解为设原方程的特解为 xA

14、cossin xB yx0,21 BA 解得解得xxycos21 则则方程的通解为方程的通解为xCxCysincos21 xxcos21 由初始条件由初始条件,得得21, 021 CC所以所以, 0( , 1 , 0)( xPl)1)( xPn初始条件初始条件, 0)0( y. 1)0( y是特征根是特征根.cos2sin21)(xxxxfy 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程17三、小结三、小结)(e)()1(xPxfmx )(exQxymxk sin)(cos)(e)()2(xxPxxPxfnlx sin)(cos)(e)2()1(xxRxxRxymmxk 待定系数法

15、待定系数法 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程18思考题思考题考研考研(数学一数学一, 二二) 5分分,e44的通解的通解求微分方程求微分方程axyyy 解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0442 rr特征根特征根2 r(1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题此题.e )(e)(型型属属于于xmaxxPxf .a 其中其中0 m(0次多项式次多项式),(二重二重)其中其中a为实数为实数.e )(221xxCCY 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程19(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解,2时时当当 a.e44的通

16、解的通解求微分方程求微分方程axyyy )a , 0( m2 即即 y且且,eaxAay ,e2 axAay yyy,将将,)2(12 aA所以所以,axaye)2(12 原方程通解为原方程通解为 yYyxxCC221e )( .e)2(12axa Aaxex0axAe 特征根特征根2 r)(二二重重不是特征根不是特征根.代入方程代入方程, 设特解设特解得得 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程20,2时时当当 a2 即即设设特特解解 yBxaxe2 yyy,将将21 B所以所以,xxy22e21 原方程通解为原方程通解为 yYyxxCC221e )( .e2122xx 特

17、征根特征根2 r是是二重特征根二重特征根.代入方程代入方程, 得得.e44的通解的通解求微分方程求微分方程axyyy (二重二重) 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程21 综上所述综上所述,的通解为的通解为微分方程微分方程axyyye44 y2 a,e)2(1e )(2221axxaxCC 2 a,e )21(2221xxxCC 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程22baAx e.baxBx e.bxaCx e.bxaxDx e.提示提示根椐线性微分方程的性质根椐线性微分方程的性质, 可先求方程可先求方程xyye 和和1 yy的特解的特解, 两个解的

18、和就是原方程的特解两个解的和就是原方程的特解.Bxxaye1 by 2考研数学一考研数学一, 3分分的特解形式可设为的特解形式可设为微分方程微分方程1e)( xyy 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程23xxyysin12 考研数学二考研数学二, 4分分微分方程微分方程的特解形式可设为的特解形式可设为).cossin()A(2xBxAxcbxaxy ).cossin()B(2xBxAbxaxxy .sin)C(2xAcbxaxy .cos)D(2xAcbxaxy 012 r特征根特征根ir 特征方程特征方程解解 1y 2y,2cbxax ).cossin(xBxAx 5.

19、8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程24若二阶常系数线性齐次微分方程若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为的通解为 考研数学一考研数学一, 填空填空, 4分分2e xxx,BAxy 所以所以,故故特征根特征根, 121 rr的解为的解为设特解为设特解为解解所以所以,2 xy所求所求. 2e xxyx则非齐则非齐次方程次方程 满足条件满足条件 0)0(, 2)0( yy y特征方程特征方程, 02 barr, 1, 2 ba微分方程微分方程为为2, 1 BA得得特解特解,0)0(, 2)0(代入代入把把 yy, 1, 021 CC得得所以所以,0 byyay,e )(21xxCCy x