微积分：4-7 反常积分

1、 4.7 反常积分反常积分1无穷限的反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分无界函数的反常积分小结小结 思考题思考题 作业作业4.7 反常反常积分积分improper integral第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分 4.7 反常积分反常积分2常义积分常义积分积分区间有限积分区间有限被积函数有界被积函数有界积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限反常反常积分积分推广推广 4.7 反常积分反常积分3 axxfd)( tatxxfd)(lim 定义定义4.44.4,),)(上上连连续续在在设设 axf,at 取取 axxfd)( 即即 axxf

2、.d)(记作记作当极限存在时当极限存在时,称反常积分称反常积分当极限不存在时当极限不存在时, 称反常积分称反常积分如果极限如果极限存在存在,ttlim则称这个极限值则称这个极限值反常积分反常积分,(1)收敛收敛; ;发散发散. .上的上的在在为为),)(axf一、无穷限的一、无穷限的反常反常积分积分 4.7 反常积分反常积分4 bxxfd)( bttxxfd)(lim 即即当极限存在时当极限存在时,称反常积分称反常积分当极限不存在时当极限不存在时, 称反常积分称反常积分,()(上上连连续续在在设设bxf bt 取取 bxxfd)(上的上的在在为为,()(bxf bxxf.d)(记作记作存在存在

3、,ttlim如果极限如果极限则称这个极限值则称这个极限值反常积分反常积分,(2)收敛收敛; ;发散发散. . 4.7 反常积分反常积分5,),()(上上连连续续在在设设 xf如果反常积分如果反常积分和和 xxfd)( xxfd)(都收敛都收敛, 则称上述两反常积分之和为函数则称上述两反常积分之和为函数 f (x) xxfd)( 0d)(xxf 0d)(xxf 0d)(xxf 0d)(xxf称反常积分称反常积分 tlim tlim00),( 在在上的上的反常积分反常积分,tt即即收敛收敛;记作记作发散发散.否则称反常积分否则称反常积分(3),d)( xxf xxfd)( xxfd)( 4.7 反

4、常积分反常积分6注注为了方便起见为了方便起见, 规定规定:对反常积分可用如下的简记法使用对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式公式, aaxFxxf)(d)().(lim)(xFFx ),()(aFF ),()( FbF).(lim)(xFFx )(d)(xFxxf).()( FF若若F(x)是连续函数是连续函数 f (x)的原函数的原函数.bbxFxxf )(d)( 这时这时反常反常积分的收敛与发散取决于积分的收敛与发散取决于)(F.)(是否存在是否存在和和F 4.7 反常积分反常积分7例例 计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解 21dxxxxarctanlim .22 xarcta

5、nxxarctanlim 反常积分的积分反常积分的积分值值的的几何意义几何意义211xy Oxy 4.7 反常积分反常积分8计算反常积分计算反常积分解解 021112121x.21 022)1(dxxx 022)1(dxxx 0222)1()d(121xx考研数学考研数学(二二)填空填空4分分21 4.7 反常积分反常积分9已知已知解解 kxxk则则, 1de|考研数学考研数学(二二), 填空题填空题, 4分分2 xxkde1| 0de2xkx 0)d(e2kxkkx 0e2kxk因为此反常积分因为此反常积分收敛收敛, 所以所以0 k)10(2 k. 2 k 4.7 反常积分反常积分10证证)

6、1( 1d1xx 1ln x )2( 111pxp , 1 p, 1 p因此因此时时当当1 p收敛收敛, 其值为其值为;11 p时时当当1 p发散发散.1 p, 1 p11 p例例 证明反常积分证明反常积分,d11xxp .1时发散时发散当当 p,1时收敛时收敛当当 pxxpd11 xxpd11 4.7 反常积分反常积分11xxxdln1e2 1. 计算计算考研数学考研数学(一一)填空填空3分分解解xxxdln1e2 xxdlnln1e2 eln1x. 1 2. 位于曲线位于曲线)0(e xxyx下方下方, x轴上方的轴上方的无界图形的面积是无界图形的面积是解解考研数学考研数学(二二)填空填空

7、3分分xxAxde0 xx de0dee00 xxxx . 1 4.7 反常积分反常积分12 xxxd11123. 考研数学考研数学(二二)填空填空4分分解解 设设,sectx ,dsectandtttx xxxd1112tttttdsectansectan120 .2 2 4.7 反常积分反常积分13定义定义4.54.5,at 取取 btxxfd)( baxxfd)( btatxxfd)(lim,d)( baxxf即即当极限不存在当极限不存在时时,称称反常积分反常积分).)(lim( xfx即即则称此极限为函数则称此极限为函数仍然记为仍然记为如极限如极限存在存在, atlim也称也称反常积分

8、反常积分 a二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分( (瑕积分瑕积分) ) f (x)在在(a, b上的上的反常积分反常积分,收敛收敛; ; baxxfd)( baxxfd)(发散发散. .瑕点瑕点(1)设设f (x)在在(a, b上连续上连续,在在a点点右邻域右邻域内内f (x)无界无界 4.7 反常积分反常积分14, bt 取取 baxxfd)( tabtxxfd)(lim否则否则,).)(lim( xfx即即 taxxfd)(则定义则定义如极限如极限存在存在, btlim b(2)瑕点瑕点, ,称称反常积分反常积分 baxxfd)(发散发散. .设设f (x)在在a, b)上连续上

9、连续, 点点b为为f (x)的的 4.7 反常积分反常积分15 baxxf写成写成d)( baxxfd)(若等号右边两个反常积分若等号右边两个反常积分 baxxfd)().)(lim( xfx即即 c如果如果 axxfd)( bxxfd)(cc则定义则定义 taxxfd)( btxxfd)( ctlim否则否则, 就称反常积分就称反常积分 baxxfd)(发散发散. .都收敛都收敛,(3)瑕点瑕点反常积分反常积分注注如瑕点在区间内部如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分分别讨论各段瑕点积分.通常通常用瑕点将区间分开用瑕点将区间分开,设设f (x)在在a, b上上c点为点为f (x)的的,)(外

10、连续外连续除除bcacx ctlim 4.7 反常积分反常积分16例例 计算反常积分计算反常积分解解).0(d022 axaxa 221limxax, aax 为为瑕点瑕点, , axax022d txax022dtatax0arcsinlim 0arcsinlim atat.2 atlim这个这个反常反常积分值的积分值的几何意义几何意义: :直线直线x = 0与与x = a之之位于曲线位于曲线221xay x 轴轴之上之上,间的图形面积间的图形面积.之下之下, 221xay Oxyat因为因为所以所以a1 4.7 反常积分反常积分17,()(baCxf 注注为了方便起见为了方便起见, ),)

11、(baCxf 由由N-L公式公式, 则反常积分则反常积分规定规定: baxF)(如如a为瑕点为瑕点, 如如b为瑕点为瑕点, baxF)(),()(xfxF baxxfd)( )(bF)(limxFax baxxfd)()()(limaFxFbx )(bF);( aF).()(aFbF 4.7 反常积分反常积分18例例 计算反常积分计算反常积分解解.lnd21 xxx 21lndxxx 21ln)(lndxx 21)ln(ln x )2ln(ln. 故原反常积分发散故原反常积分发散.)ln(lnlim1xx 4.7 反常积分反常积分19证证, 1)1( q 10d1xx 10ln x , 1)2

12、( q 10d1xxq1011 qxq 10d1xxq,11q , 1 q. 1 q, ,1时时当当 q反常积分收敛反常积分收敛,其值为其值为,11q ,1时时当当 q反常积分发散反常积分发散.例例 证明反常积分证明反常积分,d110 xxq .1时发散时发散当当 q,1时收敛时收敛当当 q 4.7 反常积分反常积分20例例 求求xxd111 解解 xx1lim0.0为为瑕瑕点点 xxxd111 , 10ln x0发散发散.|lnlim00 xx 也发散也发散.注注 11d1xx 11ln x. 0错误的做法错误的做法: xxd110因为因为所以所以因为因为所以所以 4.7 反常积分反常积分2

13、1例例 解解,sintax 令令 taattata22233sindcossin原式原式 2033dsintta.323a 注注此反常积分经变量代换化成了定积分此反常积分经变量代换化成了定积分.02 2200dcosdsinxxxxInnn,3254231 nnnnn为大于为大于1的正奇数的正奇数).0(d0223 axxaxa求求ttaxdcosd 4.7 反常积分反常积分22,d11d04204xxxxx 并求其值并求其值. . 041dxx令令xt1 tttd1042 xxxd1042 041dxxxxxd1121042 xxxxd111210222 例例 证明证明解解xxx xxxxx

14、d11d0420421tttd)1(11124 0 4.7 反常积分反常积分23)1(d2)1(121102xxxx 1021arctan221xx .22 xxxxd111210222 xxxxxxxxd11121d11121122210222 )1(d2)1(12112xxxx 121arctan221xx 4.7 反常积分反常积分24例例 xxxxxf2, 120,210, 0)(已知已知 xttf.d)(解解, 0 x0 , 20 x 0d0 txt024 xttfd)(ttxd210 试用分段函数表示试用分段函数表示 xttfd)( xttfd)(00.412x ttfd)( 4.7

15、 反常积分反常积分25,2x 0 20 x2 xttfd)( xxxxxf21202100)(已知已知 xttf.d)(试用分段函数表示试用分段函数表示td0ttd21td1. 1 x 4.7 反常积分反常积分26考研数学考研数学(四四)选择题选择题4分分下列结论中正确的是下列结论中正确的是( ).1)(d1)(d)A(101都收敛都收敛与与 xxxxxx.1)(d1)(d)B(101都发散都发散与与 xxxxxx.1)(d,1)(d)C(101收敛收敛发散发散 xxxxxx.1)(d,1)(d)D(101发散发散收敛收敛 xxxxxxD 4.7 反常积分反常积分27考研数学考研数学(四四)选

16、择题选择题4分分解解 101)(dxxx 11)(dxxxxxxbbd)111(lim1 )1ln(lnlim11bbbxx 2ln)1ln(lnlim bbb2ln1lnlim bbb2ln 所以所以 11)(dxxx收敛收敛.1010)1ln(lnxx . 所以所以 101)(dxxx发散发散. ? 11d11d1xxxx )1(lnlim2(ln)lnlim1(ln00 xxxx 4.7 反常积分反常积分28无界函数的无界函数的反常反常积分积分(瑕积分瑕积分)无穷限的反常积分无穷限的反常积分 xxfd)(,d)( bxxf,d)( axxf注意注意 baxxfd)(三、小结三、小结 (1) 不要与常义积分混淆不要与常义积分混淆; (2) 不能忽略内部的瑕点不能忽略内部的瑕点. 4.7 反常积分反常积分29思考题思考题1(选择题选择题),0 x设设).(1d1d10202 xxtttt则则xA arctan)(xBarctan2)(2)(C0)(D解答解答 xxttttxf102021d1d)(令令),0( x )(xf0 f (x)恒等于常数恒等于常数. .,时时当当 x xxtt