几何与代数：3-3 平 面

1、返回 平面平面 可由可由 上任意一点上任意一点和垂直于和垂直于 的任一向量完全的任一向量完全确定确定. . 垂直于垂直于 的任一向量的任一向量称为称为 的的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量设设 ),(CBAn ),(0000zyxM为平面为平面 上的任一点，上的任一点，),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、点法式方程一、点法式方程3.3 平平 面面 xyzo0MMn.),(0000zzyyxxMM )1(0)()()(000 zzCyyBxxA 方程方程(1)(1)称为平面的称为平面的点法式方程点法式方程, , 平面上的点都

2、满足方程平面上的点都满足方程(1)(1)，不在平面上，不在平面上的点都不满足方程（的点都不满足方程（1 1），方程），方程(1)(1)称为平面称为平面 的方程，平面的方程，平面 称为方程称为方程(1)(1)的图形的图形其中法向量其中法向量),(CBAn 已知点已知点).,(000zyx解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC,1, 9,14 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx取取ACABn 346231ijk ),1, 1, 1(1 n)12, 2, 3(2 n取法向量取法向量21nnn ),5,15,10(1223111

3、 kji, 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAx:0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量).,(CBAn 二、一般式方程二、一般式方程=D平面一般方程的几种特殊情况平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy

4、类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. 00,0,1,0 CB例例3 3 观察下列平面观察下列平面(1) 2x - y - z = 0;(2) - x + 3y + 6 = 0;(3) 3z - 7 = 0.xyzoxyzo62xyzo设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA),2 , 1, 4( n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将

5、三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解三、三、 截距式方程截距式方程,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba 解解,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t, 1, 6, 1 c

6、ba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为设空间3个不共线的点),(),(),(333322221111zyxMzyxMzyxM于是有于是有是三个共面向量，是三个共面向量，、，则，则点点个平面，现取平面上一个平面，现取平面上一则由它们可完全确定一则由它们可完全确定一MMMMMMzyxM321),(0131313121212111 zzzyxxzzyyxxzzyyxx.)(方方程程称称为为三三点点式式formpointthree 1M3M2MM定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11

7、111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(2222CBAn 1. 两平面的夹角两平面的夹角四、平面与平面的位置关系四、平面与平面的位置关系 按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式2. 两平面垂直与平行的充要条件：两平面垂直与平行的充要条件：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA , 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA 两平面的位置关系两平面的位置关系的的方方程程

8、分分别别为为与与设设平平面面210212121 CBA0222222 CBA21212121/CCBBAA （包括重合）（包括重合）则则1 21n2n2121212121DDCCBBAA 重合重合与与2121212121/DDCCBBAA 但不重合但不重合1 21n2n1 1n22n22211121:CBACBA 相交相交与与021212121 CCBBAA垂垂直直与与122n1n1n23n例例8 8 讨论以下各组平面的位置关系：讨论以下各组平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231

9、)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(),1, 1, 2(1 n)2, 2, 4(2 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合. 例例9 求过点求过点M0(-1,3,2)且与平面且与平面2x - y + 3z - 4 = 0和和x + 2y +2z -1=0都垂直的平面都垂直的平面 的方程的方程.解解两个已知平面两个已知

10、平面的法向量为的法向量为),3, 1, 2(1 n),2 , 2 , 1(2 n故平面故平面 的法向量为的法向量为21nnn 221312 kjikji58 故平面故平面 的方程为的方程为-8(x +1) - (y - 3) +5(z -2) =0,即即 8x + y - 5z +15 =0. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 解解.nPPnnPPn0101 010101222()()()A xxB yyC zzABC 点到平面距离公式点到平面距离公式 . 222111000)(CBACzByAxCzByAx .222000CBADCzByAx 平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离