选修不等式讲义

1、知识点一、不等式和绝对值不等式1. 不等式的基本性质2. 基本不等式1) a2 b2 2ab a,bR ，（当且仅当 a b 时取“ ”号）22变形公式： ab a b22）（基本不等式）a b ab a,bR ，（当且仅当 a b 时取号）变形公式： a b 2 ababab23. 三个正数的算术几何平均不等式（1）如果 a,b,c R ，那么 a b c 3 abc ，当且仅当 a b c 时，等号成立。3（2）推广：如果 a1,a2, ,an 为n个正数，则 a1 a2an n a1a2 an ，当且n仅当 a1 a2an 时，等号成立。4. 绝对值三角不等式（1）如果 a,b是实数，则

2、 a b a b ，当且仅当 ab 0 时，等号成立。（2）如果 a, b, c是实数，那么 a c a b b c ，当且仅当 a b b c 0 时，等号成立。5. 绝对值不等式的解法一般地，当 a 0时，有： x a a x a ，因此不等式 x a的解集是 a,a ；a a,x a x a或 x a ，因此，不等式 x a 的解集是a f x b b a 0 a f x b 或 b f x a 。二、证明不等式的基本方法1. 比较法（1）作差法（2）作商法2. 综合法3. 分析法4. 反证法5. 放缩法三、柯西不等式与排序不等式1. 二维形式的柯西不等式（1）一般形式：设 a1,a2,

3、 an，b1,b2, ,bn 为实数，则a12a22an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn 2 ，当且仅当 bi0 ，或存在一个实数 k ，使得 ai kbi i 1,2, n 时，等号成立。（2）二维形式的柯西不等式代数形式：设 a,b,c,d 均为实数，则 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 。上式等号成 立 ad bc向量形式：设 ， 为平面上的两个向量，则 。当且仅当 是零 向量或存在实数 k 使得 k 时，等号成立。三角形式：设 x1,x2, y1, y2R，则x12y12x22y22x1x22y1y22 ，其几何意义是三角形的两边之和大于第三边。注意：应用柯西不等式求

4、解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”2. 排序不等式设a1 a2an，b1 b2bn为两组实数 . c1,c2, ,cn 是b1,b2, bn 的任一排列，则 a1bn a2bn 1anb1 a1c1 a2c2ancn a1b1 a2b2anbn ，（反序和 乱序和 顺序和），当且仅当 a1 a2an或b1 b2bn时，反序和等于顺序和 .四、数学归纳法证明不等式1. 数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n都成立时， 可 以用一下两个步骤：（1）证明当 n n0时命题成立；（ 2）假设 n k k N 且 k n0 时命题成立，证明 n k 1时命题成

5、立。完成以上两个步骤后，就可以断定命题 对于不小于 n0 的所有正整数都成立。2. 贝努力不等式如果x是实数，且 x 1，x 0 ， n为大于1的自然数，那么有 1 x n 1 nx。典型例题33例1.已知a b 0，比较 aa3 bb3与aa bb的大小。变式 1-1. 已知 a 0， a2 2ab c220， bc a2 ，试比较 a,b,c的大小。例 2. （ 1）已知：2（2）已知： 1 a b 1 ，12 ，求 2 的范围；a 2b 3 ，求 a 3b 的范围。变式 2-1. 若二次函数 yf x 的图象过原点，且 11 2， 3 f 14 ，求f 2 的范围例 3. 若 a b 0

6、 ， c d0，e 0 。求证：1）acebd2)a变式 3-1. 已知 a bc 0 ，求证：babbca c a c例 4. 已知 a,b,c R ，且 a b c 1，求证： 3a 2 3b 2 3c 2 6 。变式 4-1. 设 a,b, c R ，求证： a2 b2 b2 c2 c2 a22 a19例5. （1）已知 x 0,y 0，且 1 9 1，求x y的最小值xy2）已知 a 0,b0 ，且 4a b 1，求 ab 的最大值。例 6.1）求函数x 1 2 3 2x1 x 23 的最大值；变式 6-1. 求函数 y42x1x 1 2的最小值例 7. 设 a,b,c R a,b,

7、cR ，求证：11a b b cca变式7-1. 已知 a,b, c 是形的长，求证1abc1bca19c a b a b c例 8. 已知 a 1, b1，试比较：abb与 2的大小。变式 8-1. （1）求函数 f xx 1 x 1 的最小值；2）求函数 f xx11 的值域。例 9. 解下列不等式：（ 1）2) x 1 4 2 。变式 9-1. （1）解不等式x22x；2）若 满 足 不 等2a 1 的 x 值 也 满 足 不 等 式 2x2 3 a 1 x 2 3a0，求 a 的取值范围。3）若不等式 kx2 的解集为 x 1 x3 ，则实数 k例 10. 若 a b c ，求证： b

8、c 2 ca2 ab 2b2c c2a a2b 。变式 10-1. 若 a,b,c 为正实数，且 abc 1，求证：1。ab bc ca22 22 2 2a2b 2ab b2c2bc c2a 2ca例 11. 已知 a b c 1 ，求证 ab bc ca 1 32例 12. 已知 a b 0 ，求证：b28aab28b变式 12-1. 设 x, y 0,，求证： 1 x y 2 1 x y x y y x 。 24变式 12-2. 已知 a,b, c且 abbc ca求证：（1） a b c 3；2) bcacb3ac。例 13. 已知 0 x 2 ，0 y2 ，0 z 2 ，求证： x 2

9、y ，y 2变式 11-1. 已知 a,b 是正实数，且 a b 1，求证：都大于 1.变式 13-1. 已知 a,b,c 是 ABC 的三边长，求证： a bc ，a cb，至少有一个不大于 a,b,c 的几何平均数。例 14. 求证： 2 n 1 112变式 14-1. 求证：23nnn 1 2nN2变式 14-2. 求证：1n1122n 2且 n N 。2 例 15. 设 m2 x2n2 y，求证：变式 15-1. 设 a, bR，且 a2b210求 3ab的最大值与最小值。变式 15-2. 已知 2x3y 1，求 4x2 9 y2的最小值。11例 16. 设 x1, x2, , xn

10、都是正数，求证： 1 1x1 x2xnx1 x2xn变式17-1.已知（1）11bcca（2）3 ab3333c3 ca1 aba,b , c为正数，c ，求证：3c33ab变式16-1. 设 2x3y5z 29 ，求函数 u2x 1 3y 4 5z 6 的最大值。例17.已知a,b, c,dR ， 求 证4 a 22 2 2 bcda2 b2 c2d 2 a bc d 。变式 18-1 已知数列 an 满足 a10, a2 1，当 n N 时， an 2an 1 an ，求证：例18. 用数学归纳法证明：11111 1 1 112342 n 1 2n n 1 n 22nn1, n N 。数列 an 的第 4m