三维设计江苏专用高三数学一轮总复习板块命题点专练八数列推理与证明理

1、三维设计江苏专用高三数学一轮总复习板块命题点专练八数列推理与证明理1、.1. (2015江办局考)设数列an满足a=1,且an+1an=n+1(nCN),则数列一刖an10项的和为n- 12+n n2+n 2解析：由题意有a2-a1=2,a3a=3,，an-an1=n(n>2).以上各式相加，得anai =2+3+ + n =.n 答案：23.(2014 安徽高考)如图，在等腰直角三角形 ABC中，斜边BC =2啦.过点A作BC的垂线，垂足为 A1 ;过点 A1作AC的垂线， 垂足为人；过点A作AC的垂线，垂足为 A3 ;，依此类推.设 BA= a1 , AA = a2 , AA2=a3

2、 ,， AA= a7 ,则 a7=.+n.又a1=1,-an=2(nn2).当n= i时也满足此式，an =n2+ n2-(nC N).10解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，余边 BC= 2 2,所以 AB= AC=1211an-n2+n2n-n+1.11.+io-1i120=2X1-=111120答案：a1-2. (2014全国卷n)数列an满足an+1=a，a8=2,则a1=一一，、1一1一，1、1一解析：将a8=2代入an+1=,可求得a7=-；再将a7=不代入an+1=,可求得1an221an1a6=1;再将a6=-1代入an+1=-，可求得a5=2；由此可以推出数列a

3、n是一个周期1一an,一，,1数列，且周期为3,所以ai=a7=2.AA5= a7= a1 xa=2,AA=32=42,AAa=a3=1,法二：求通项：等腰直角三角形ABC,余边BC=272,所以AB=AC=a=2,AA=a2=啦，Ai-lA= 3n+兀=sin , 3n=3n=2X2 n,故 a7=2x j14.i1答案：14命题点二等差数列与等比数列难度：中、低命题指数：1.（2015全国卷n改编）设&是等差数列an的前n项和，若ai+as+35=3,则S=，2由解得ai=-,d=1.32答案：3-15. (2015北京高考)已知等差数列an满足ai+a2=10,a4-as=2.(

4、1)求an的通项公式；设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7,问：b6与数列an的第几项相等?解：(1)设等差数列an的公差为d.因为a4as=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a+d=10,故a1=4.*所以an=4+2(n1)=2n+2(nCN).设等比数列bn的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4X26t=128.由128=2n+2得n=63,所以b6与数列an的第63项相等.6. (2015天津高考)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1,bz+b3=2a3,a53b2=7.(1)求an和bn的通项

5、公式；(2)设cn=anbn,nCN,求数列cn的刖n项和.解：(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,由题意知q>0.由已知，有2q2 3d=2, 4.q - 3d = 10,消去d,整理得q4- 2q28 = 0,解得q2=4.又因为q>0,所以q=2,所以d=2.所以数列an的通项公式为an= 2数列 bn的通项公式为 bn= 2n- 1 由(1)有 Cn=(2n1) 2n1,n1, ne N*；*设Cn的前n项和为S,则 Sn= 1 X 2 0+ 3X 2 1 + 5X 2 2+(2 n3) X2 n 2+ (2 n1) X2n- 12$= 1 X 2 1 + 3X

6、 2 2 + 5X 2 3+ (2n3) X2 n 1 + (2n-1) X2 n,上述两式相减，得S=1+22+23+2n(2n1)X2n=2n+1-3-(2n-1)-2n=-(2n-3)-2n-3,所以S=(2n3)2n+3,nN*.命题点三数列的综合应用难度：高、中命题指数：1. (2015湖南高考)设数列an的前n项和为S.已知ai=1,a?=2,且an+2=3$一$*+1+3,nCN.(1)证明:an+2=3an；(2)求S.解：(1)证明：由条件，对任意nCN,有an+2=3$S+1+3,因而对任意nCN*,n>2,有an+1=3S1S+3.两式相减，得an+2an+1=3a

7、nan+1,即an+2=3an,n>2.又a1=1,a2=2,所以a3=3S1$+3=3a1(an-a2)+3=3a1故对一切nCN,an+2=3al.Hn+2(2)由(1)知，anW0,所以=3.an于是数列a2n1是首项a1=1,公比为3的等比数歹U；数列a2n是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n1=31,a2n=2X31.于是Szn=ai+a2+32n=(a+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n1)+2(1+3+3n1)=3(1+3+3n1)33n1从而3n1 2X3n-1=|(5X3n2-1).3n_325x321,n是奇数,综上所述，&=

8、3-2321,n是偶数.2. (2015 江苏高考a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(dw。)的等差数列.证明：2ai,2a,2a3,2a4依次构成等比数列.(2)是否存在ai,d,使得ai,a2,a3,a4依次构成等比数列？并说明理由.解：(1)证明：因为 （20i5 山东高考）观察下列各式: d=40;C3+ c3= 4i;6+ G5+ d = 42;c7+ g7+ G2 + G3=43；照此规律，当nC N时，G2n_ i + Gn_ i + G2n_ i + + G2n-i = .解析：观察每行等式的特点，每行等式的右端都是哥的形式，底数均为4,指数与等式左端最后一个组合数的上标相

9、等，故有G2ni + C2ni+ G2n i + C2n = 4" I答案：4一 (20i5 陕西高考)观察下列等式:aU=2an+ian=2d(n=1,2,3)是同一个常数，所以2ai,2a，,2a3,2an2a4依次构成等比数列.(2)不存在，理由如下：令ai+d=a,则ai,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,dw0).假设存在ai,d,使得ai,a2,a3,a4依次构成等比数列，则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=,则i=(it)(i+t)3,a且(i+t)6=(i+2t)42vtvi,tw

10、o,化简得t3+2t22=0(*),且t2=t+i.将t2=t+i代入(*)式，得t(t+i)+2(t+i)2=t2+3t=t+i+3t=4t+i=0,则ti=一4._i_,显然t=-4不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在ai,d,使得ai,ai,a3,a4依次构成等比数列.命题点四合情推理与演绎推理难度：中、低命题指数：11-=22'111111111111112+34=3+"1-一十一一一十=十一十一23456456据此规律，第n个等式可为解析：等式的左边的通项为11-2n12n'“一111刖n项和为1尹,I+23411T:2n12n，一，1一，一右

11、边的每个式子的第一项为一共有n项,n+1故为,d+o+.n+1n+2n+n答案:1J，2+34+2n-12nn+1+n+2+2n命题点五直接证明与间接证明难度：高、中命题指数：1.(2015北京局考节选)已知数列an满足：a1eN,aK36,且an+1=2an,an<18,2an-36,a>18(n=1,2,).记集合M=a/nCN.(1)若d=6,写出集合M的所有元素；(2)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数.解：(1)6,12,24.(2)证明：因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数.2an,an<18,由an+1=2an-

12、36,an>18可归纳证明对任意n>k,an是3的倍数.如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为ak=2ak1或ak=2ak1-36,所以2a1是3的倍数，于是aI是3的倍数.类似可得，a-2,，d都是3的倍数.从而对任意n>1,an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数.解析：法:31+35=233,31+33+35=333=3,33=1,Ss=-22a=533=5.法二：31+33+35=31+(31+2d)+(31+4d)=331+6d=3,1-3H-2d=1,S5=531T2d=5(31+2d)=5.答案：52.(2015陕西高考)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015,则该数列的首项为.解析：设数列首项为31,皿31+20154则2=1010,故31=5.答案：53.(2015广东高考)若三个正数3,b,c成等比数列，其中3=5+2，6,c=5-276,贝Ub=.解析