三角函数在实际生活中的应用

1、三角函数在实际生活中的应用目录摘要：1关键词：21引言31.1三角函数起源32三角函数的基础知识42.1 下列是关于三角函数的诱导公式42.2 两角和、差的正弦、余弦、正切公式62.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式63.三角函数与生活63.1 火箭飞升问题63.2 电缆铺设问题73.3 救生员营救问题83.4 足球射门问题83.5 食品包装问题93.6 营救区域规划问题103.7 住宅问题103.8 最值问题124总结12Abstract14Trigonometricfunctioninthecourseofhistoricaldevelopmentofcontinuousimprovemen

2、t,hasformula,richthoughts,flexible,permeabilityisstrongandsoonThecharacteristicisnotonlyanimportantpartofscientificresearch,orinmathematicslearningtokeyanddifficult.Inaworditinteachingandotherfieldshasimportantrole.Inthispaper,wewillmakeabriefdiscussionabouttheapplicationoftrigonometricfunctionsinso

3、lvingpracticalproblems.Keywords:mathematicstrigonometricfunctionApplicationoftrigonometricfunction摘要:三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，总之它在教学和其他领域中具有重要的作用。本文将对一些关于三角函数在解决实际问题中的应用做简单的讨论。关键词：数学三角函数三角函数的应用1引言三角函数是高中学习的一类基本的、重要的函数，他是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型。三角函数是高中数学重要的基

4、础知识之一，有着广泛的实际背景和应用空间.三角函数包括三角函数的概念及关系、诱导公式、三角函数的图象和性质、正弦型函数Y=Asin侬x+中）的图象及应用、三角包等变换、解三角形.它不但在生活中的很多方面都有很广的应用，如：潮汐和港口水深、气象方面有气温的变化，天文学方面有白昼时间的变化，地理学方面有潮汐变化，物理方面有各种振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力等.测量山高测量树高，确定航海行程问题，确定光照及房屋建造合理性等。在数学的很多问题研究方面都有着广泛的应用。三角函数是对函数概念的深化，也是沟通代数，几何，与平面向量等的一种工具。其中三角函数在导数的应用也颇为广泛。1.1三角函数起源“

5、三角学”，来自拉丁文trigonometry。现代三角学一词最初见於希腊文。最先使用trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯（BartholomeoPitiscus,1516-1613）,他在1595年出版一本著作三角学：解三角学的简明处理，创造了这个新词。它是由钟钠2（三角学）及1色e（测量）两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。后来阿拉伯数学家专门的整理和研究三角学，但是他们并没有创立起一门独立的三角学。最后是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯，真正把三角学作为数学的一个独立学科进行阐释。“正

6、三角函数包含于最早被称为三角学，“三角学”一词来自拉丁文Trigonometry,原意是三角形。与其他科学一样，三角学也是解决实际问题中发展起来的。近代三角学是从欧拉的无穷分析引论开始的。欧拉用小写的拉丁字母a、b、c表示三角形的三边，进一步简化了三角公式。欧拉还引用sinz、cosz、tanz等表示z角的三角函数的简写符号，这是三角函数的现代形式。由于上述数学家及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号与手拿教学的完整理论。2三角函数的基础知识在直角三角形ABC中，a、b、c分别是/A、/B、/C的对边，/C为直角。则定义以下运算方式：sinA=ZA的对边长/斜边长，sinA记为/

7、A的正弦；sinA=a/ccosA=ZA的邻边长/斜边长，cosA记为/A的余弦；cosA=b/ctanA=/A的对边长/A的邻边长，tanA=sinA/cosA=a/btanA记为/A的正切；当/A为锐角时sinA、cosA、tanA统称为“锐角三角函数”。SinA=cosBsinB=cosA在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP,设旋转角为9,设OP=r,P点的坐标为(x,y)。该直角三角形中，8对边为y临边为x斜边为r,运算方法见表一表1基本函数央乂表iA式语百描述正弦函数Sinesin0=y/r角8的对边比斜边余弦函数Cosinecos0=x/r角8的邻边比斜边正切函数Tan

8、genttan0=y/x角8的对边比邻边余切函数Cotangentcot0=x/y角8的邻边比对边正割函数Secantsec0=r/x角8的斜边比邻边余割函数Cosecantcsc0=r/y角8的斜边比对边2.1下列是关于三角函数的诱导公式终边相同的角的同一三角函数的值相等。由此可得到下列公式：公式一：sin(2k”不)=sin:,cos(2k+二。=cos1tan(2k.：；=tan二.其中kZ.P(x,y),直线OP的反向延长线OE交圆O于F点，则F点的坐标为F(x,y)由此可得到下列公式：公式二：sin（=+二）=-sin二，cos（，工）=-cos二,tan（二：）=tan:.公式三s

9、in（-：）-sin;，cos（t-）=cos工,tan（-二）-tan：.公式四：sin（二-：）=sin;，cos（二-）=-cos1,tan（二-：）-tan：.我们可以用下面的话来概括公式一四：a+2kn（kwz）-«,n的三角函数，等于a的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。公式五:sin（-：）-cos：,itcos（：）=sin：.由于二十以=n-（二-二）,由公式四及公式五可得：22公式六：nsin（二）=cos.工,2冗cos（1）=_sin2公式五、公式六可以概括如下：j±«的正弦（余弦）函数值，分别等于a的余弦（正弦）函数值

10、，前面加上一个把口看成锐角的符号。2.2 两角和、差的正弦、余弦、正切公式sin（二 sin（二 cos（: cos（二tan（二tan（二）一） 一）二 sin 二 coscos二 sin=sin 二 cos- cos二 sin二 cos 二cos- sin二 sin二 cos 二cossin二 sin_ tan - tan1 - tan : tan_ tan 二 tan :1 - tan 二 tan2.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2：-2sin二cos二,2.2cos2：=cos二一sin22,=1-2sin:-2cos:-1,2 一sincos 2 二tan 2 二1 -cos

11、2:一2_1cos2;一22tan二221 一tan3.三角函数与生活实际生活中，三角函数可以用来模拟很多周期现象，如物理中简谐振动、生活中的潮汐现象，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题也可以转化为三角函数来解决，房地产、航海、测量、国防中都能找到三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广，解决实际问题有一定的优越地位。3.1 火箭飞升问题一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得AC的flOC距离是6km，仰角是4311s后，火箭到达B点，此时测得BC的距离是6.13km，仰角为45.54。（1）火箭到达B点时距离发射点有多远

12、？（2）火箭从A点到B点的平均速度是多少？OB解：(1)在RtOCB中，sin45.54=CBOB=6.13xsin45.54=4.375(km)火箭到达B点时距发射点约4.38km一一.OA(2)在RtAOCA中，sin43=CA(3)OA=6xsin43=4.09(km)v=(OB-OA)-t=(4.38-4.09)-10.3(km/s)答：火箭从A点到B点的平均速度约为0.3km/s3.2电缆铺设问题如图，一条河宽a千米，两岸各有一座城市A和B,A与B的直线距离是b千米,今需铺设一条电缆连A与B,已知地下电缆的修建费是c万元/千米，水下电缆的修建费是d万元/千米，假定河岸是平行的直线(没

13、有弯曲)，问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？分析：设电缆为AD+DB时费用最少，因为河宽AC为定值，为了表示AD和BD的长，不妨设.CAD-工解：设/CAD=8(0mH<90°),AD=asec1,CB=b2a2,BD=.b2-a2-atarn总费用为y=adsec日+c(Vb2-ay-atan日)=ad-acsin,22：c,b-acos问题转化为求u=ad-acsin"的最小值及相应的0cos-值,sin? -d而 u = - ac?-ccos-表示点P(0, dc)与点Q(cose,sin 8)斜率-ac倍(0<6<900),有图可得Q在1单位圆

14、周上运动，当直线PQ与圆弧切于点Q时,4u取到最小值。然后通过三角函数的边角关系求出直线PQ的斜率，再求出此时的最小值u即可，可以根据实际问题带入求值。3.3 救生员营救问题如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中.救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒.若/BAD=45,/BCD=60,三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B.解:（1）在ABD中，/A=

15、45°.AB=AD,=300、2cos45"A C DBD=ADUtan450=300.D =90, AD =300.D =90。BC 二BD 300sin 60；、32二 200、, 3CD 二BD 300sin 60、 丫3=100.3号救生员到达B点所用的时间为300 2=150 2 : 2102300-100、.3 200、. 32（秒）号救生员到达B点所用的时间为（秒），250 -. 3=50 191.73在BCD中，；'/BCD=600,3003002003号救生员到达B点所用的时间为62（秒）V191-7<200<210,2号救生员先到达营

16、救地点B.3.4 足球射门问题在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线GC的直线EF助攻到前场（如图，设球门宽AB=a米，球门柱B到FE的距离BF=b米），那么你推进到距底线CD多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角NAPB最大时为射门的最佳位置）？请你帮助左前锋回答上述问题。分析：此题关键在于求解射门时最大射门角，此时就是最佳位置。若直接在非特殊APB中利用边来求NAPB的最值，显得比较繁琐，注意到/APB=/APF/BPF,而后两者都在R1中，故可应用直角三角形的性质求解。解：如图，设FP=x,/APB=a,ZBPF=P（a、P为锐角），则/APF=ot+P,tg(ot+P)=a

17、0,tgp=xtg 二tg(.：s)：-) -tg - a1 tgC " ) tg 1 (a b) bx若令 y = x+3q, x则y上2Jx.LajLbljb=2j(a+b)b，当x=(a+b)b，即x=J(a+b)b时,y取到.xx最小值2f（a+b）b,从而可知x=J（a+b）b时，tga取得最大值，即tga=,=时,a有最大值。故当P点距底线CD为式a+b），b米时，为2、（ab）b射门的最佳位置。依图像知，在白天的915时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。3.5 食品包装问题某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。问能否设计出一个

18、封闭的圆锥形状的外包装，其体积最小和所用材料达到最省？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装体积是多少？用料是多少？分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC、母线PA及高PC,这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。解：如图，设/ OAC二9，则OC=1,下底面半径AC=R=cot 9，母线长1=高 h=Rtan2 9 , 8 C (0,九Rl+兀R2=兀R(cos21+R)=R2(cos21+1)=兀 cot2 0 (2- +1)=1 - tan c1 tan2 ftan2 - (1 - tan%)'V= 1 兀 R2h=l 兀 R2

19、Rtg2 9 =1 兀 R3tg2 9 =1 兀 ctg3 9331 -tg22tgucos 2 '2tg2i(1-tg2u)当且仅当tg2-Tg2，即T时,能使S.和V同时取到最小值，此时R=72,h=2,即当圆锥的下底面半径和高分别为42、2时能同时满足条件,外包装用料是8冗,体积是8n。33.6 营救区域规划问题如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A,一机艇以60千米/小时的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。分析：1、要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示

20、，所以应首先建立直角坐标系;2、题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角日作为变量来求解。解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为9 ,设OP方向前进m到达点P,然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则m+n =30，令点Q的坐标为x,y),则x =msin 日 + ny m m cos 9jiec°, 2AQ 2=x2+y2 = m2+n2 + 2mnsin9 E m2 + n2 + 2mn = (m + n) 2 = 900V机艇中途东拐，a x2 +y2 <900 0 冗又x+y=m(sin 0 +cos 0 )+n= 22 m

21、sin( 0 + ' )+n > m+n=30,.,.x+y>30满足不等式组和的点Q(x,y)所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示。3.7 住宅问题在某小区内，有一块地，这块地有这样三种情况：(1)是半径为10米的半圆；(2)是半径为10米，圆心角为60的扇形；(3)是半径为10米，圆心角为120的扇形；在这块地里种块矩形的草皮，具体见下图，应如何设计，使得此面积最大？面积的最大值是多少。分析1:第一种情况，如图所示：连结OC,设/BOC=6,贝JBC=10sin日，OB=10cos日AB=2OB20cos= 100sin 2iS矩形=ABBC=200sin丁cos-7

22、sin2<1S矩形_100即2-901-45：这时BO=AO=10cos45；=5/2,BC=5、2此时，点A、D分别位于点O的左右方5.处时S取得最大值100。OB = 10cos 二CB FO A分析2:第二种情况，连结OC,设/BOC=日，贝JBC=10sin日，：10、.3OABCcot60=sim3S巨形=ABBC=(OB-OA)BC，八.10、,3.二(10cos-一sn)10sini二100sin二cos-1003sin23=50sin2i-5；3(1cos2u)二Xin(2：)且363Smax2JlKsin(21)=11-当且仅当6时，即6时,EOA = 10cosu5 50sin 2-分析3:如图所示：连结OB,设/AOB=e,贝(JAB=10sin9,S矩形=OAAB=100sincos当且仅当sin29=1时，即一4时，Smax=503.8 最值问题如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是一半径为AT=90m的扇形小山，其余部分都是平地。一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边C