三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明问题

1、三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明问题课时跟踪检测理一保高考，全练题型做到高考达标1 .如图所示，椭圆Fi,右焦点为F2,过Fi的直线交(1)求椭圆E的方程;(2)设动直线l ： y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x = 4相交于点Qx2y2w出E：孑+g=1(ab0)的左焦点为证明：点M(1,0)在以PQ为直径的圆上.解：(1)因为点A,B都在椭圆上，所以根据椭圆的定义有|AF|+|A同=2a且|BF|十|BE|=2a,又因为ABF的周长为8,所以|AB+|BF+|AF=|AF|+|AE|+|BF|+|BF=4a=

2、8,所以a=2.因为椭圆是关于x,y轴，原点对称的，所以AFF2为正三角形，当且仅当A为椭圆的短轴端点，则a=2c?c=1,b2=a2c2=3,故椭圆E的方程为x-+y-=1.43(2)证明：由题意彳导,动直线l为椭圆的切线,故不妨设切点Rx0,y0),因为直线l的斜率存在且为k,所以yow。，则直线l:y=k(x-xo)+yo,y=kxx0+y0,消去V，联立方程组x2y24+i=1得3x2+4k(x-xo)+yo2-12=0,3X0由=0?k=-.4y0则直线i的方程为xox+yoy=i,4331Xo联立直线l与直线x=4得到点Q4,yor31_Xo则PMQM=(1xo)(1-4)+(yo

3、)=-3(1xo)+3(1xo)=0,所以PMqM,即点MB以PQ为直径的圆上.2.设椭圆M5+-=1(aJ2)的右焦点为F1,直线l：x=14_与x轴交于点A,a2a2若OF；=2F1A(其中O为坐标原点).(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+(y2)2=1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点)，求PEPF的最大值.2a解：由题意知，点A；ya2T2，0，F1h/a2T2,o),a2由of1=2fa,得/?=202=27a2-2,解得a2=6.所以椭圆M的方程为卷十4=1.62(2)设圆N：x2+(y2)2=1的圆心为点N,则点N的坐标为(0,2)，则P

4、EPF=(NE-NP)(NF-NP)=(-NFNP)(NFNP)=NP2-NPF2=NP2-1,从而求PEPF最大值转化为求NP2的最大值.因为P是椭圆M上的任意一点，设Rxo,yo),即x0=63y0.因为点N的坐标为(0,2),所以NP2=|NP|2=x0+(yo-2)2=-2(yo+1)2+12.因为点P(xo,yo)在椭圆M上，则yoC/，啦,所以当yo=1时，NP2取得最大值12,所以PEPF的最大值为11.3. (2016无锡期末)已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=当,且过点P(1,1).(1)求椭圆的方程；(2)若点A(x。,y0)为圆x24 x 3 4y x06x01=1 +

5、-2 -22 一 2 , 22,+ 2y0 3x0+ y0 y0 3x0 + y0 平4y0 4y0 4y0x0 4y(2 1 y2 4y2x2+y2=1上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B,C两点，求x y孑+ b2= 1( ab0).证：COLOBO为坐标原点).解：(1)由题意可设椭圆方程为,一0c,：6c22由题意得4=牙，则？=4a3a3又a2=b2+c2,所以a2=3b2.因为R1,1)在椭圆上，所以4+1=1,ab解得a2=4,b2=3x0+y0 y23x0y0+y4，所以COL OB综上所述，COL OB.322所以椭圆的方程为x4+3y=1.(2)证明：由题意得切线方程为xx

6、o+yyo=1.若y=0,则切线方程为x=1或x=1,所以R1,1),C(1,1)或B(1,1),C(-1,1),所以COLOB当yowo时，切线方程为xx+yy0=1,与椭圆方程联立并化简得(3x2+y2)x26xx+3-4y0=0.设B(x1,y1),Qx2,y2).6x0x1+x2=0，x1x2 =34y222,3x + y03x1x2+ yy2=21+-x1x2(x1+x2)+-y0y0y0224. (2016合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，+/=1(ab1)的离心率e=g且椭圆C上一点N到Q0,3)距离的最大值为4,过点M(3,0)的直线交椭圆C于点A, B(1)求

7、椭圆C的方程;(2)设P为椭圆上一点，且满足OA+ OB =tOP ( O为坐标原点)，当 AB43时,求实数t的取值范围.c2 a2b2 31一4,a2=4b2,22则椭圆方程为条+缶1,即x2+ 4y2= 4b2.a= 4,7设N(x,y),则|NQ=0,解得k25.由题意得OA+OB=(xi+X2,yi+y2)=t(x,y),r124k6k则x=Jx+X2)=t卜2y=f(y1+y2)=fk(xi+X2)6kl=t1+4k2由点p在椭圆上，得t2224k.2144k2 1+4k2 2+t2 1 + 4k2 2=4,化简得36k2=t2(1+4k2).由|AB=、1+k2|x1-x2|季,

8、得(1+k2)(x1+x2)24x1x2112v3,1+4k1+4k化简得(8k21)(16k2+13)0,则8k2-10,即k2!88k242_由得t2=36k八91+4k2=9-1+4k2,由得3t24,2t-乖或乖tb0)的左焦点，直线l：x=，与x轴交于P点，MM椭圆的长轴，已知|MN=8,且|PM=2|M(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A,B.证明：/AFM=/BFN求ABF积的最大值.解：(1),|MN=8,又|PM=2|MF,1e=2.，c=2,b2=a2c2=12.22，椭圆的标准方程为亲+y2=i.(2)证明：当AB的斜率为0时，显然/AFM=/BFNk0,满足题意;当AB的斜率不为0时，设A(Xa,yA),B(Xb,yB),AB的方程为x=my-8,22代入椭圆万程整理得(3m+4)y48my+144=0.=576(m24)0,得R24,48myyB=3m27144yAyB=3m.则kAF+kBF=册+x=myh+myh48m3n2+ 4 0，yB yA|yAmy_6+yBmy6my6my6即 Saabf=724 43 m 416722myyB6yyBmy- 6my 6 ，十144而 2myyB6(yA+ yB) = 2m- 3m+4-6kAF+