三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用1S 漕 S saaob= 或S aab C 故 oa +OB + OC=0；若。是SBC的重心，则S绯0c1 .。是AABC的重心uOA+OB+OC=0；PG=1-(PA十PB十PC)uG为AABC的重心.32 .。是AABC的垂心仁OAOB=OBOC=OC0A若。是MBC(非直角三角形)的垂心，则S用0c：SMOC：SMOB=tanA：tanB：tanCf故tanAOAtanBOBtanCOC=02223,。是AABC的外心u|OAHOB|=|OC|(或OA=OB=OC)若O是MBC的外心则S国OC：SOC：SOB=sin/BOC：sin/AOC：sin

2、ZAOB=sin2A:sin2B:sin2c故sin2A0Asin2B0Bsin2C0C=0ABAC"BABCCACBOA()=OB()=OC()=04.O是内心AABC的充要条件是IAB|AC|BA|BC|CA|CB|引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1，e2，e3,则刚才。是AABC内心的充要条件可以写成0A(ei+e3)=0B(ei+e2)=0C(e2+e3)=0,0是ABC内心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC=00若。是&ABC的内心，则S$OC：S总OC:S小OB=a：b：c故aOAbOBcOC=麒sinAOAsinBOBs

3、inCOC=0；|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0uP是AABC的内心；向量£（4+）（九#0）所在直线过&ABC的内心（是/BAC的角平|AB|AC|分线所在直线）；（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1 . 0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA + £(rAB+詈),AB ACw b,）则P点的轨迹一定通过 MBC的（）-2 -（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为普是向量ABAB的单位向量设AB与IC方向上的单位向量分别为OPOA=AP,则原式可化为AP=Me+2）2）,由菱形的基本性质知AP平分/

4、BAC,那么在ABBC中，AP平分/BAC,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是ABC所在平面内任一点，HAHB=HB.HC=HCHA点H是ABC的垂心.由HAHB=HBHCyHB（HC-HA）=0uHB.AC=0=HB_LAC,同理HC_lAB,HA_LBC.故H是4人3。勺垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是ABCff在平面上一点，若pA,pB=pBPC=PCPA,则P是ABC勺（D）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：由PAPB=PB而得PAPB-PBPC=0.即PB（PA-PC）=0，即PBCA=0则PB_LCA,同理PA_LBC,PC_LAB所

5、以P为AABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是ABC所在平面内一点，GA+GB+GC=0=点G是4ABC的重/斗证明作图如右，图中GB+GC=GE连结BE和CE则CE=GBBE=GCBGCE平行四边形nD是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GB+GC=GE代入GA4GB+GC=0,得gA+EG=0=gA=-gE=-2GD,故G是4人3。勺重心.（反之亦然（证略）例5.P是ABC所在平面内任一点.G是4ABC的重心uPG=1（PA+PB+PC）.3证明PG二PAAG:PBBG:PCCG=3PG=（AGBGCG）（PAPBPC）.G是ABC的重心.GA+

6、GB+GC=0=AG+BG4CG=0,gp3pG=PA+PB+PC由此可得pG=1（pA+pB+pc）.（反之亦然（证略）3TT.例6若O为&ABC内一点，OA+OB+OC=0,则O是&ABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心TTT.TTT解析：由OA+OB+OC=0得OB+OC=-OA,如图以OBOC为相邻两边构作平行四边形，则OBOC.OD,由平行四边形性质知OEUOD,2OA=2OE,同理可证其它两边上的这个性22y2-4 -，则O是AABC的（B .外心D.重心,选B质，所以是重心，选Db（四）将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为&ABC内一点，A.内心

7、解析：由向量模的定义知。到AABC的三顶点距离相等。故O是AABC的外心（五）将平面向量与三角形四心结合考查例8.已知向量OPi,OP2,OP3满足条件OK+Op2+Op3=0,|OPi|=|范|=|OP3|=1,求证证明PiP2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）由已知OP；+OP2=OP；,两边平方得0P；。"二弓，同理一一一一iop2-op3=op3-OPi=，'|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=V3,从而PlP2P3是正三角形.反之，若点。是正三角形PiP2P3的中心，则显然有OPi+OP2+OP3=0且|OPi|=|OP2|=|OP3

8、|.即。是ABCff在平面内一点，OPi+OP2+OP3=0且|OPi|=|OP21=|OP3|a点。是正PiP2P3的中心.例9.在ABC中，已知QGH分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：线，且QG:GH=i:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系（xi,0）、C（X2,y2）,DE、F分别为ABBCAC的中点,则有：D（10）、£（,当、Fd为22222G（X±iX，y3L）,工=（X2,y4）QF=（QGH三点共设A(0,0)、BBC-XL):AH_BCAH*BC=x2(x2-x1)y2y4=0y，X2(X2-Xi)y2,QF-AC0

9、_x2xiy2.QF.ACux2(，-)y2产-y3)=0222X2(X2-Xi)N2x/QH三化2-，y4-y3)=(22x2-X13x2(x2-X1)X2/X2XiXiy2z2x2-Xiy2X2(X2-Xi)、QG=(-,y3)=(-,)323632y223x2(X2 -x1)6y2y 21 2x2 X i_7)=3(F-3x2(X 2 - Xi) y2、一2一万)-13 -=iQH3即 QH =3QG',故 QG H三点共线，且QG GH=i:例i0.若O、H分别是ABC的外心和垂心.求证OH=OAOBOC.证明若ABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结A

10、RCDAD1AB,CDIBC.又垂心为H,AH±BC,CH1AB,.AH/CDCH/ADJ四边形AHCM平行四边形，AH=DC=DO-+CC,故OH=OA+AH=OA+OB+OC.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：(i)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例ii.设QGH分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.求证ogUoH3证明按重心定理G是ABC的重心wOG=-(O

11、A+OB+OC)3按垂心定理OH =OA OB OC由此可得 OG=1OH3“重心”的向量风采【命题i】G是4ABC所在平面上白一点，若 GA+GB +GC =0,则G是 ABC的重心.如图(1).图【命题2 已知O是平面上一定点,图A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+MAB+AC),九三(0,十比)，则P的轨迹一定通过ABC的重心.【解析】由题意AP=A(AB+AC),当九w(0,+8)时，由于K(品十足)表示BC边上的中线所在直线的向量,所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，如图.的向量风采【命题3】P是4ABC所在平面上一点，若PAPB=PBPC=PCPA,则P是A

12、ABC的垂心.【解析】由PA.PB=PBPC,得PB(PA-PC)=0,即7BCA=0,所以EBCABC.aP是ABC的垂心.如图.PC±ABABC是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA_ABABcosBAC+ACcosC,儿w(0,+叼，则动点P的轨迹一定通过zABC的垂心.ABACABBCcosBABcosBACcosCACcosCABcosBcosC'J=|bc|CB'=0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过4ABC的垂心，如图.“内心”的向量风采【命题5】已知I为ABC所在平面上的一点，且AB=c,

13、AC=b,BC=a.若aIA+bIB+clC=0,则I是ABC的内心.图图bABcAC,贝U由题意得(a+b+c)IA+bAB+cAC=0,abc分别为AB和"AC方向上的单位向量,【解析】由题意得AP 当九w(0,+s)时,k +AP表示/ BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过 ABC的内心，如图四、“外心”的向量风采【命题7】 已知。是 ABC所在平面上一点，若则O是4ABC的外心.oA =O? =OC ,【解析】若 OA =OB =OC'，则则O是4ABC的外心，如图A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足【命题7 已知O是平面上的一定点,九w

14、 (0, +/)，则动点P的轨迹一定通过4ABC的外心.K与/BAC平分线共线，即AI平分/BAC.同理可证：BI平分NABC,CI平分NACB.从而I是4ABC的内心，如图.【命题6】已知。是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足九w(0,+g),则动点P的轨迹一定通过ZXABC的内心.【解析】由于汽生过BC的中点，当）时,AB九ABjcosB ACACcosC表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4条解释。）,所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过ABC的外心,如图。补充练习1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=-(-OA

15、+-OB+2OC),则点P一定为三角形ABC的322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点1111 .B取AB边的中点M,则OA+OB=2OM,由OP=-（-OA+OB+2OC）可得32230P=3OM+2MC,MP，=2MC,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且3点P不过重心，故选B.人十=|»一2-2-2-2-22 .在同一个平面上有aabc及一点o酒足关系式：oa+BC=OB+CA=OC+AB、则O为MBC的A外心B内心C重心D垂心3 .已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA+PB+PC=0,则P为AABC的（

16、C）A外心B内心C重心D垂心4 .已知0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP=OA+mAB+AC）,则p的轨迹一定通过abc的（c）A外心B内心C重心D垂心5 .已知ABCP为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：TtTtTTPA,PC+PA,PB+PBPC=0,则P点为三角形的（D）A外心B内心C重心D垂心6 .已知ABCP为三角形所在平面上的一点，且点P满足：aPA+bPb+c*PC=0,则P点为三角形的（B）A外心B内心C重心D垂心-226 .在三角形ABC中，动点P满足：CA=CB-2AB,CP,则P点轨迹一定通过ABC的:（B）A外心B内心C重心D垂心一

17、aBaC一厂aBaCi，7 .已知非零向量ABWAC两足（十）-BG=0且鬲=2,则4ABC为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形Tr解析：非零向量与满足（用_+屿_）=0,即角A的平分线垂直于BC,.AB=AC,又|AB|AC|cosA=_A，.牛=1,/A=2,所以4ABC为等边三角形，选D.|AB|AC|238 .MBC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m（0A+0B+0C）,则实数m二9 .点0是MBC所在平面内的一点，满足0AOB=OBOC=OCOA,则点O是AABC的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线

18、的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10 .如图1,已知点G是AABC的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于MN两点，且扁=xAB,AN=yAC,则。十工=3。xy证点G是AABC的重心，知+GB十GC=0,得AG（AB-AG）（AC-AG）=0,有AG=1（AB+AC）。又M,N,G三点共线（A不在直线MN3上），i于是存在加N,使得斑=九扁+RAN（且儿+N=1）,有AG=lxAB+RyAC=1(AB+AC),3.J=111得1,于是得工+2=3。h=Ny=-xy1、课前练习.2221.1 已知。是ABC内的一点，若OA=OB=OC，则。是ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内

19、心1.2 在4ABC中，有命题aBAC=BC;aB+BC+cA=0；若（AB+AC）.（AB而）=0,则ABCJ等腰三角形；若AB，ACA0,则4ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、B、C、D、例1、已知AB/,有1AB+1AC前=0和普昌=，试判断ABC的形状JABIMl）网网2练习1、已知ABC中，AB=a,BC=b,B是4ABC中的最大角，若a*b<0,试判断ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知。是ABC所在平面内的一点，满足Oa2|bc2ob2|ac2oc2|ab2,则O是AABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、已知P是 ABC所在平面内的一动点，且点 P满足OP = OA +九AB AC 十ABAC则动点P一定过ABC的A重心B 、垂心C 、外心D 、内