数学任意角三角函数讲义湘教必修二

1、 任意角的三角函数任意角的三角函数知识迁移知识迁移1.1.设设是一个任意角，它的终边与单位是一个任意角，它的终边与单位圆交于点圆交于点P P（x x，y y），角），角的三角函数的三角函数是怎样定义的？是怎样定义的？sinycosxtan(0)yxx2.2.三角函数在各象限的函数值符号分别三角函数在各象限的函数值符号分别如何？如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦. .3.3.公式公式 ， ， ( ).( ).其数学意义如何？其数学意义如何？ sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ终边相同的角的同名三角函数值相等终边相同的角的同名三角函数

2、值相等. .知识探究（一）：知识探究（一）：思考思考1 1：如图，设角：如图，设角为第一象限角，其为第一象限角，其终边与单位圆的交点为终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是正数，你能分都是正数，你能分别用一条线段表示角别用一条线段表示角的正弦值和余弦的正弦值和余弦值吗？值吗？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM|sinMPy|cosOMx思考思考2 2：若角：若角为第三象限角，其终边为第三象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是负数，此时都是负数，此时角角的正弦值和余弦值分别用哪条线的正弦值和余

3、弦值分别用哪条线段表示？段表示？sinycosx|sinMPy|cosOMxP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考3 3：为了简化上述表示，我们设想将线：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号点，使得线段具有方向性，带有正负值符号. .定义：规定了方向定义：规定了方向( (即规定了起点和终点即规定了起点和终点) ) 的线段称为有向线段的线段称为有向线段. .类似的类似的, ,规定了正方向的直线称为有向直线规定了正方向的直线称为有向直线. .有向线段的数量有向线段的数量：若

4、有向线段若有向线段AB在有向在有向直线或与有向直线平行，根据有向线段直线或与有向直线平行，根据有向线段AB与有向直线方向相同和相反，分别把与有向直线方向相同和相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量。数，叫做有向线段的数量。 ABCAAB=4BA=4CB=2思考思考4 4：由上分析可知，当角：由上分析可知，当角为第一、三为第一、三象限角时，象限角时，sinsin、coscos可分别用有向线可分别用有向线段段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP= sin，OM=cosOM=cos，那么当角那么当角为第二、四象限角时，你

5、能检为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？验这个表示正确吗？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考5：当角：当角的终边在坐标轴上的终边在坐标轴上时，角时，角的正弦线和余弦线的含的正弦线和余弦线的含义如何？义如何？O Ox xy yP PP P定义定义：设角：设角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P，过点过点P P作作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M M，称有向线段，称有向线段MPMP，OMOM分别为角分别为角的的正弦线正弦线和和余弦线余弦线. .P PO Ox xy yM M思考思考6 6：设：设为

6、锐角，你能根据正弦线和为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明余弦线说明sinsincoscos1 1吗？吗？P PO Ox xy yMMPMPOMOMOP=1OP=1知识探究（二）：知识探究（二）：A AT T思考思考1 1：如图，设角：如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，用哪条有向线段表示角是正数，用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxAT T思考思考2 2：若角：若角为第四象限角，其终边与单为第四象限角，其终边与单位圆的交点为位圆的交点为

7、P P（x x，y y），则），则 是负数，是负数，此时用哪条有向线段表示角此时用哪条有向线段表示角的正切值最的正切值最合适？合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxA AT TP PO Ox xy yM M思考思考3 3：若角：若角为第二象限角，其终边与单位圆为第二象限角，其终边与单位圆的交点为的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪是负数，此时用哪条有向线段表示角条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxtanyATx思考思考4 4：若角：若角为第三象限角，其终边为第三象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y

8、y），则），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角是正数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MtanyxA AT TtanyATx思考思考5 5：根据上述分析，你能描述正切线的几：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？何特征吗？过点过点A A（1 1，0 0）作单位圆的切线，与角）作单位圆的切线，与角的终的终边或其反向延长线相交于点边或其反向延长线相交于点T T，则，则AT=tanAT=tan. .A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考思考6 6：当角：当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正

9、切线的几何含义如何？的正切线的几何含义如何？O Ox xy yP PP P当角当角的终边在的终边在x x轴上时，角轴上时，角的正切线的正切线是一个点；当角是一个点；当角的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角的正切线不存在的正切线不存在. .应用举例应用举例 例例1 1 作出下列各角的正弦线、余弦作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：线、正切线： （1 1） ； （2 2） ；12523 例例2 2 在在0 0 内，求使内，求使 成立的成立的的取值范围的取值范围. .23si n2aO Ox xy yP PM MP P1 1P P2 232y=小结说明小结说明1.1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具步研究三角函数图象的有效工具. .2.2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点分别是原点O O和点和点A A（1 1，0 0）. .3.3.利用三角函数线处理三角不等式问题，利用三角函数线